2.E: ODEs lineales de orden superior (Ejercicios)
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Estos son ejercicios de tarea para acompañar el mapa de texto "Ecuaciones Diferenciales para Ingeniería" de Libl. Se trata de un libro de texto dirigido a un primer curso de un semestre sobre ecuaciones diferenciales, dirigido a estudiantes de ingeniería. El requisito previo para el curso es la secuencia básica de cálculo.
2.1: ODEs lineales de segundo orden
\( y = e^{2x} \)Demuéstralo\( y = e^x\) y son linealmente independientes.
Tomar\( y'' + 5y = 10x + 5\). Encontrar (¡adivina!) una solución.
Demostrar el principio de superposición para ecuaciones no homogéneas. Supongamos que\(y_1\) es una solución para\( Ly_1 = f(x) \) y\( y_2\) es una solución para\( Ly_2 = g(x) \) (mismo operador lineal\( L\)). Demostrar que\( y = y_1 + y_2\) resuelve\( Ly = f(x) + g(x) \).
Para la ecuación\( x^2y'' - xy' = 0 \), encontrar dos soluciones, mostrar que son linealmente independientes y encontrar la solución general. Pista: Prueba\(y = x'\).
Las ecuaciones de la forma\( ax^2y'' + bxy' + cy = 0 \) se denominan ecuaciones de Euler o ecuaciones de Cauchy-Euler. Se resuelven intentando\( y = x^r\) y resolviendo para\(r\) (podemos suponer que\( x \geqslant 0\) por simplicidad).
Supongamos que\( {(b - a)}^2 - 4ac > 0 \).
- Encuentre una fórmula para la solución general de\(ax^2y'' + bxy' + cy = 0\). Pista: Intenta\( y = x^r \) encontrar una fórmula para\(r\).
- ¿Qué pasa cuando\( {(b - a)}^2 -4ac = 0 \) o\( {(b - a)}^2 - 4ac < 0 \)?
Revisaremos el caso cuando\((b-a)^{2}-4ac<0\) later.
La misma ecuación que en el ejercicio\(\PageIndex{2.1.5}\). Supongamos\( {(b - a)}^2 - 4ac = 0 \). Encuentre una fórmula para la solución general de\( ax^2y'' + bxy' + cy = 0 \). Pista: Prueba\( y = x^r \ln x \) por la segunda solución.
Supongamos que\( y_1\) es una solución para\( y'' + p(x)y' + q(x)y = 0 \). Demostrar que
\[ y_2 (x) = y_1 (x) \int \frac { e^{- \int p(x)dx}}{{(y_1(x))}^2} dx \]
también es una solución.
Nota: Si deseas llegar a la fórmula para la reducción del orden tú mismo, empieza por intentarlo\( y_2 (x) = y_1(x)v(x)\). Luego, conéctate\(y_2\) a la ecuación, usa el hecho de que\(y_1\) es una solución\(w = v'\), un sustituto, y tienes una ecuación lineal de primer orden en\(w\). Resolver para\(w\) y luego para\(v\). Al resolver para\(w\), asegúrese de incluir una constante de integración. Resolvamos algunas ecuaciones famosas usando el método.
Tomar\( (1 - x^2)y'' - xy' + y = 0 \).
- Demostrar que\( y = x\) es una solución.
- Utilice la reducción de orden para encontrar una segunda solución linealmente independiente.
- Anote la solución general.
Tomar\( y'' - 2xy' + 4y = 0\).
- Demostrar que\( y = 1 - 2x^2\) es una solución.
- Utilice la reducción de orden para encontrar una segunda solución linealmente independiente.
- Anote la solución general.
¿Son\( \sin (x) \) y\( e^x\) linealmente independientes? Justificar.
- Contestar
-
Sí. Para justificar tratar de encontrar una constante\(A\) tal que\(\sin (x)=Ae^{x}\) para todos\(x\).
¿Son\( e^x\) y\( e^{x+2}\) linealmente independientes? Justificar.
- Contestar
-
No. \(e^{x+2}=e^{2}e^{x}\).
Adivina una solución para\( y'' + y' + y = 5 \).
- Contestar
-
\(y=5\)
Encuentre la solución general para\( xy'' + y' = 0 \). Pista: Observe que es una ODE de primer orden en\(y'\).
- Contestar
-
\(y=C_{1}\ln (x)+C_{2}\)
Anote una ecuación (conjetura) para la que tenemos las soluciones\(e^{x}\) y\(e^{2x}\). Pista: Pruebe una ecuación de la forma\(y''+Ay'+By=0\) para constantes\(A\) y\(B\), conecte ambos\(e^{x}\) y\(e^{2x}\) y resuelva para\(A\) y\(B\).
- Contestar
-
\(y''-3y'+2y=0\)
2.2: ODE lineales de segundo orden de coeficiente constante
Encuentra la solución general de\( 2y'' + 2y' - 4y = 0 \).
Encuentra la solución general de\(y'' + 9y' - 10y = 0 \).
Resolver\( y'' - 8y' + 16y = 0 \) para\(y(0) = 2, y'(0) = 0 \).
Resolver\(y'' + 9y' = 0\) para\( y(0) = 1, y'(0) = 1\).
Encuentra la solución general de\( 2y'' + 50y = 0 \).
Encuentra la solución general de\( y'' + 6y' + 13y = 0 \).
Encuentre la solución general de\( y'' = 0 \) utilizar los métodos de esta sección.
El método de esta sección se aplica a ecuaciones de otros órdenes que no sean dos. Veremos órdenes superiores más adelante. Trate de resolver la ecuación de primer orden\( 2y' + 3y = 0 \) utilizando los métodos de esta sección.
Repasemos las ecuaciones de Ejercicio de Euler\(\PageIndex{1}\). Supongamos ahora eso\( {(b - a)}^2 - 4ac < 0 \). Encuentre una fórmula para la solución general de\( ax^2y'' + bxy' + cy = 0 \). Pista: Tenga en cuenta que\( x^r = e^{r \ln x} \).
Encuentre la solución a\(y''-(2\alpha )y'+\alpha^{2}y=0\),\(y(0)=a\),\(y'(0)=b\), dónde\(\alpha\)\(a\), y\(b\) son números reales.
Construir una ecuación tal que\(y=C_{1}e^{-2x}\cos (3x)+C_{2}e^{-2x}\sin (3x)\) sea la solución general.
Encuentre la solución general para\(y'' + 4y' + 2y = 0 \).
- Contestar
-
\(y=C_{1}e^{(-2+\sqrt{2})x}+C_{2}e^{(-2-\sqrt{2})x}\)
Encuentre la solución general para\( y'' - 6y' + 9y = 0\).
- Contestar
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\(y=C_{1}e^{3x}+C_{2}xe^{3x}\)
Encuentre la solución para\( 2y'' + y' + y = 0, y(0) = 1, y'(0) = -2 \).
- Contestar
-
\(y=e^{-x/4}\cos\left((\frac{\sqrt{7}}{4})x\right)-\sqrt{7}e^{-x/4}\sin\left((\frac{\sqrt{7}}{4})x\right)\)
Encuentre la solución para\( 2y'' + y' - 3y = 0, y(0) = a, y'(0) = b \).
- Contestar
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\(y=\frac{2(a-b)}{5}e^{-3x/2}+\frac{3a+2b}{5}e^{x}\)
Encuentre la solución para\( z''(t) = -2z'(t) - 2z (t), z(0) = 2, z'(0) = -2 \).
- Contestar
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\(z(t)=2e^{-t}\cos (t)\)
Encuentra la solución a\(y''-(\alpha +\beta )y'+\alpha\beta y=0\),\(y(0)=a\),\(y'(0)=b\), donde\(\alpha\), (\ beta\),\(a\), y\(b\) son números reales, y\(\alpha\neq\beta\).
- Contestar
-
\(y=\frac{\alpha\beta -b}{\beta -\alpha}e^{\alpha x}+\frac{b-a\alpha}{\beta -\alpha}e^{\beta x}\)
Construir una ecuación tal que\(y=C_{1}e^{3x}+C_{2}e^{-2x}\) sea la solución general.
- Contestar
-
\(y''-y'-6y=0\)
2.3: ODEs lineales de orden superior
Encuentre la solución general para\( y''' - y'' + y' - y = 0 \).
Encuentre la solución general para\(y^{(4)} - 5y''' + 6y'' = 0\).
Encuentre la solución general para\( y''' + 2y'' + 2y' = 0 \).
Supongamos que la ecuación característica para una ecuación diferencial es\( {(r - 1)}^2{(r -2)}^2 = 0 \).
- Encuentra tal ecuación diferencial.
- Encuentra su solución general.
Supongamos que una ecuación de cuarto orden tiene una solución\( y = 2e^{4x} x \cos x \).
- Encuentra tal ecuación.
- Encuentra las condiciones iniciales que satisface la solución dada.
Encuentra la solución general para la ecuación de Ejercicio\(\PageIndex{2.3.5}\).
Dejar\( f(x) = e^x - \cos x, g(x) = e^x + \cos x \) y\( h(x) = \cos x \). ¿Son\( f(x), g(x),\) and \(h(x) \) y linealmente independientes? Si es así, muéstralo, si no, encuentra una combinación lineal que funcione.
Vamos\(f(x) = 0, g(x) = \cos x \), y\( h(x) = \sin x \). ¿Son\( f(x), g(x),\)\(h(x) \) y linealmente independientes? Si es así, muéstralo, si no, encuentra una combinación lineal que funcione.
¿Son\( x, x^2, and x^4 \) linealmente independientes? Si es así, muéstralo, si no, encuentra una combinación lineal que funcione.
¿Son\( e^x, xe^x, and x^2e^x\) linealmente independientes? Si es así, muéstralo, si no, encuentra una combinación lineal que funcione.
Encuentra una ecuación tal que\(y=xe^{-2x}\sin (3x)\) sea una solución.
Encuentre la solución general de\(y^{(5)} - y^{(4)} = 0 \).
- Contestar
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\(y=C_{1}e^{x}+C_{2}x^{3}+C_{3}x^{2}+C_{4}x+C_{5}\)
Supongamos que la ecuación característica de una ecuación diferencial de tercer orden tiene raíces\(3 \pm 2i\).
- ¿Cuál es la ecuación característica?
- Encuentra la ecuación diferencial correspondiente.
- Encuentra la solución general.
- Contestar
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- \(r^{3}-3r^{2}+4r-12=0\)
- \(y'''-3y''+4y'-12y=0\)
- \(y=C_{1}e^{3x}+C_{2}\sin (2x)+C_{3}\cos (2x)\)
Resolver\( 1001y''' + 3.2y'' + \pi y' - \sqrt {4} y = 0, y(0) = 0, y' (0) = 0, y'' (0) = 0 \).
- Contestar
-
\(y=0\)
¿Son\(e^x, e^{x+1}, e^{2x}, \sin (x) \) linealmente independientes? Si es así, muéstralo, si no encuentra una combinación lineal que funcione.
- Contestar
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No. \(e^{1}e^{x}-e^{x+1}=0\).
¿\( \sin (x), x, x \sin (x) \)Yo soy intemprano independiente? Si es así, muéstralo, si no encuentra una combinación lineal que funcione.
- Contestar
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Sí. (Pista: Primera nota que\(\sin (x)\) está acotada. Entonces tenga en cuenta que\(x\) y\(x\sin (x)\) no pueden ser múltiplos el uno del otro.)
Encontrar una ecuación tal que\(y=\cos (x)\),\(y=\sin(x)\),\(y=e^{x}\) son soluciones.
- Contestar
-
\(y'''-y''+y'-y=0\)
2.4: Vibraciones mecánicas
Considere un sistema de masa y resorte con una masa\(m = 2\), una constante\( k = 3\) de resorte y una constante de amortiguación\(c = 1\).
- Configura y encuentra la solución general del sistema.
- ¿El sistema está amortiguado, sobreamortiguado o amortiguado críticamente?
- Si el sistema no está amortiguado críticamente, encuentre un\(c\) que haga que el sistema esté críticamente amortiguado.
Hacer ejercicio\(\PageIndex{2.4.1}\) para\(m = 3, k = 12, and c = 12 \).
Usando las unidades mks (metros-kilogramos-segundos), supongamos que tiene un resorte con constante de resorte\( 4 \dfrac {N}{m} \). Quieres usarlo para pesar artículos. Asumir que no hay fricción Coloca la masa sobre el resorte y la pones en movimiento.
- Se cuenta y encuentra que la frecuencia es\(0.8\text{ Hz}\) (cycles per segunda). ¿Cuál es la misa?
- Encuentra una fórmula para la masa\(m\) dada la frecuencia\(w\) en\(\text{Hz}\).
Supongamos que añadimos posibles fricciones al Ejercicio\(\PageIndex{2.4.3}\). Además, supongamos que no conoce la constante de resorte, pero tiene dos pesos de referencia\(1\text{ kg}\) and \(2\text{ kg}\) to calibrate your configurados. Pones cada uno en movimiento en tu primavera y mides la frecuencia. Para el\(1\text{ kg}\) weight you medido\(1.1\text{ Hz}\), for the \(2\text{ kg}\) weight you measured \(0.8\text{ Hz}\).
- Encontrar\(k\) (constante de resorte) y\(c\) (constante de amortiguación).
- Encuentra una fórmula para la masa en términos de la frecuencia en\(\text{Hz}\). Tenga en cuenta que puede haber más de una masa posible para una frecuencia dada.
- Para un objeto desconocido que has medido\(0.2\text{ Hz}\), what is the mass of the object? Suppose that you know that the mass of the unknown object es más de un kilogramo.
Supongamos que desea medir la fricción de una masa\(0.1\text{ kg}\) experiences as it slides a lo largo de un piso (desea encontrar\(c\)). Tienes un resorte con constante de resorte\( k = 5 \dfrac {N}{m} \). Tomas el resorte, lo colocas a la masa y lo fijas a una pared. Después se tira del resorte y se deja ir la masa. Encuentras que la masa oscila con la frecuencia\(1\text{ Hz}\). What is the friction?
Una masa de\(2\) kilogramos está en un resorte con\(k\) newtons constantes de resorte por metro sin amortiguación. Supongamos que el sistema está en reposo y en\( t = 0 \) el momento la masa es pateada y empieza a viajar en\(2\) meters per second. How large does \(k\) tiene que ser para que la masa no vaya más allá de\(3\) meters from the rest position?
- Contestar
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\(k=\frac{8}{9}\)(y más grandes)
Supongamos que tenemos un circuito RLC con una resistencia de\(100\) miliohms (\(0.1\) ohms), inductor de inductancia de\(50\) millihenries (\(0.05\) henries), and a capacitor of \(5\) farads, with constant voltaje.
- Configura la ecuación ODE para la corriente\(I\).
- Encuentra la solución general.
- Resolver para\(I (0) = 10\) y\(I' (0) = 0 \).
- Contestar
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- \(0.05I''+0.1I'+\left(\frac{1}{5}\right)I=0\)
- \(I=Ce^{-t}\cos (\sqrt{3}t-\gamma )\)
- \(I=10e^{-t}\cos (\sqrt{3} t)+\frac{10}{\sqrt{3}}e^{-t}\sin (\sqrt{3}t)\)
A\(5000\text{ kg}\) railcar hits a bumper (a spring) at \( 1 \dfrac {m}{s} \), y el resorte comprime\(0.1\text{ m}\). Assume no damping.
- Encuentra\(k\).
- Descubre hasta qué punto se comprime el resorte cuando un\(10000\text{ kg}\) vagón de ferrocarril golpea el muelle a la misma velocidad.
- Si la primavera se rompería si se comprime más que\(0.3\text{ m}\), what is the maximum mass of a railcar that can hit it at \(1 \dfrac {m}{s} \)?
- ¿Cuál es la masa máxima de un vagón que puede golpear el muelle sin romperse\( 2 \dfrac {m}{s}\)?
- Contestar
-
- \(k=500000\)
- \(\frac{1}{5\sqrt{2}}\approx 0.141\)
- \(45000\text{ kg}\)
- \(11250\text{ kg}\)
Una masa de\(m\text{ kg}\) está en un resorte con\(k=3\frac{\text{N}}{\text{m}}\) y\(c=2\frac{\text{Ns}}{\text{m}}\). Encuentra la masa\(m_{0}\) para la que hay amortiguación crítica. Si\(m<m_{0}\), ¿el sistema oscila o no, es decir, está subamortiguado o sobreamortiguado?
- Contestar
-
\(m_{0}=\frac{1}{2}\). Si\(m<m_{0}\), entonces el sistema está sobreamortiguado y no oscilará.
2.5: Ecuaciones no homogéneas
Encuentre una solución particular de\(y'' - y' - 6y = e^{2x} \).
Encuentre una solución particular de\(y'' - 4y' + 4y = e^{2x} \).
Resolver el problema de valor inicial\( y'' + 9y = \cos (3x) + \sin (3x) \) para\( y(0) = 2, y'(0) = 1 \).
Configurar la forma de la solución particular pero no resolver para los coeficientes para\( y^{(4)} - 2y''' + y'' = e^x\).
Configurar la forma de la solución particular pero no resolver para los coeficientes para\( y^{(4)} - 2y''' + y'' = e^x + x + \sin x \).
- Usando variación de parámetros encontrar una solución particular de\( y'' - 2y' + y = e^x \).
- Encuentra una solución particular usando coeficientes indeterminados.
- ¿Son las dos soluciones que encontraste iguales? ¿Qué está pasando? Ver también Ejercicio\(\PageIndex{2.5.9}\)
Encuentre una solución particular de\( y'' - 2y' + y = \sin (x^2) \). Está bien dejar la respuesta como una integral definitiva.
Para una constante arbitraria\(c\) encontrar una solución particular a\(y'' - y = e^{cx} \). Pista: Asegúrate de manejar todos los bienes posibles\(c\).
- Usando variación de parámetros encontrar una solución particular de\(y''-y=e^{x}\)
- Encuentra una solución particular usando coeficientes indeterminados.
- ¿Son las dos soluciones que encontraste iguales? ¿Qué está pasando?
Encuentra un polinomio\(P(x)\), para que eso\(y=2x^{2}+3x+4\) resuelva\(y''+5y'+y=P(x)\).
Encuentre una solución particular para\( y'' - y' + y = 2 \sin (3x) \)
- Contestar
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\(y=\frac{-16\sin (3x)+6\cos (3x)}{73}\)
- Encuentre una solución particular para\( y'' + 2y = e^x + x^3 \).
- Encuentra la solución general.
- Contestar
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- \(y=\frac{2e^{x}+3x^{3}-9x}{6}\)
- \(y=C_{1}\cos (\sqrt{2}x)+C_{2}\sin (\sqrt{2}x)+\frac{2e^{x}+3x^{3}-9x}{6}\)
Resolver\( y'' + 2y' + y = x^2, y(0) = 1, y'(0) = 2 \).
- Contestar
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\(y(x)=x^{2}-4x+6+e^{-x}(x-5)\)
Utilice la variación de parámetros para encontrar una solución particular de\(y'' - y = \dfrac {1}{e^x + e^{-x}} \).
- Contestar
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\(y=\frac{2xe^{x}-(e^{x}+e^{-x})\log (e^{2x}+1)}{4}\)
Para una constante arbitraria\(c\) encontrar la solución general a\(y'' - 2y = \sin (x + c)\).
- Contestar
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\(y=\frac{-\sin (x+c)}{3}+C_{1}e^{\sqrt{2}x}+C_{2}e^{-\sqrt{2}x}\)
Los coeficientes indeterminados a veces se pueden utilizar para adivinar una solución particular a otras ecuaciones distintas de los coeficientes constantes. Encuentra un polinomio\(y(x)\) que resuelva\(y'+xy=x^{3}+2x^{2}+5x+2\).
Nota: No todos los lados de la derecha permitirán una solución polinómica, por ejemplo, no\(y'+xy=1\) lo hace, pero sí funciona una técnica basada en coeficientes indeterminados, ver Capítulo 7.
- Contestar
-
\(y=x^{2}+2x+3\)
2.6: Oscilaciones forzadas y resonancia
Derivar una fórmula para\(x_{sp}\) si la ecuación es\( mx'' + cx' + kx = F_0 \sin ( \omega t) \). Asumir\( c > 0 \).
Derivar una fórmula para\( x_{sp}\) si la ecuación es\( mx'' + cx' + kx = F_0 \cos (\omega t) + F_1 \cos (3 \omega t)\). Asumir\( c > 0 \).
T ake\( mx'' + cx' + kx = F_0 \cos ( \omega t) \). Fijar\(m > 0\) y\( k > 0\). Ahora piensa en la función\( C(\omega ) \). ¿Para qué valores de\(c\) (resolver en términos de\( m, k,\) and \(F_0\)) no habrá resonancia práctica (es decir, para qué valores de no\(c\) hay máximo de\(C(\omega )\) for\(\omega > 0 \))?
Tomar\(mx'' + cx' + kx = F_0 \cos (\omega t) \). Fijar\( c > 0\) y\(k > 0 \). Ahora piensa en la función\( C(\omega ) \). ¿Para qué valores de\(m\) (resolver en términos de\(c, k, \) y\(F_0 \)) no habrá resonancia práctica (es decir, para qué valores de no\(m\) hay máximo de\(C(\omega )\) for\(\omega > 0\))?
Supongamos que una torre de agua en un sismo actúa como un sistema de muelles masivos. Supongamos que el contenedor en la parte superior está lleno y el agua no se mueve. El contenedor actúa entonces como masa y el soporte actúa como resorte, donde las vibraciones inducidas son horizontales. Supongamos que el recipiente con agua tiene una masa de\(m = 10, 000 kg \). Se necesita una fuerza de\(1000\) newtons to desplazamiento el contenedor torre de\(1\) meter. For simplicity assume no friction. When the earthquake hits the agua está en reposo (no se está moviendo).
Supongamos que un sismo induce una fuerza externa\( F(t) = mA \omega^2 \cos (\omega t). \)
- ¿Cuál es la frecuencia natural de la torre de agua?
- Si no\(\omega \) es la frecuencia natural, encuentre una fórmula para la amplitud máxima de las oscilaciones resultantes del recipiente de agua (la desviación máxima de la posición de reposo). El movimiento será una onda de alta frecuencia modulada por una onda de baja frecuencia, así que simplemente encuentra la constante frente a los senos.
- Supongamos\(A = 1\) y un sismo con frecuencia\(0.5\) cycles per second comes. What is la amplitud de las oscilaciones? Supongamos que si la torre de agua se mueve más que\(1.5\) meter, the la torre colapsa. ¿Se derrumbará la torre?
Una masa de\(4\text{ kg}\) on a spring with \(k = 4\) y una constante de amortiguación\(c = 1\). Supongamos que\(F_0 = 2 \). Using forcing of \( F_0 \cos (\omega t) \). Encuentra el\(\omega \) que causa resonancia práctica y encuentra la amplitud.
- Contestar
-
\(\omega=\frac{\sqrt{31}}{4\sqrt{2}}\approx 0.984\quad C(\omega )=\frac{16}{3\sqrt{7}}\approx 2.016\)
Derivar una fórmula\(x_{sp}\) para\( mx'' + cx' + kx = F_0 \cos (\omega t) + A \) donde\(A\) es alguna constante. Asumir\( c > 0 \).
- Contestar
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\(x_{sp}=\frac{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})F_{0}}{m(2\omega p)^{2}+m(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}}\cos (\omega t)+\frac{2\omega pF_{0}}{m(2\omega p)^{2}+m(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}}\sin (\omega t)+\frac{A}{k}\), donde\(p=\frac{c}{2m}\) y\(\omega_{0}=\sqrt{\frac{k}{m}}\)
Supongamos que no hay amortiguación en un sistema de masa y resorte con\( m = 5, k = 20, \) y\(F_0 = 5 \). Supongamos que\( \omega \) se elige para ser precisamente la frecuencia de resonancia.
- Encuentra\(\omega \).
- Encuentra la amplitud de las oscilaciones a la vez\(t = 100\).
- Contestar
-
- \(\omega =2\)
- \(25\)