6.1: La transformación de Laplace
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Transformar
En este capítulo discutiremos la transformación de Laplace \(^{1}\). La transformación de Laplace resulta ser un método muy eficiente para resolver ciertos problemas de ODE. En particular, la transformada puede tomar una ecuación diferencial y convertirla en una ecuación algebraica. Si se puede resolver la ecuación algebraica, aplicar la transformada inversa nos da nuestra solución deseada. La transformada de Laplace también tiene aplicaciones en el análisis de circuitos eléctricos, espectroscopía de RMN, procesamiento de señales y otros lugares. Finalmente, comprender la transformada de Laplace también ayudará a comprender la transformada de Fourier relacionada, la cual, sin embargo, requiere una mayor comprensión de los números complejos.
La transformación de Laplace también da mucha idea de la naturaleza de las ecuaciones con las que estamos tratando. Se puede ver como una conversión entre el dominio del tiempo y la frecuencia. Por ejemplo, tomemos la ecuación estándar
\[mx''(t) = cx'(t) + kx(t) = f(t). \nonumber \]
Podemos pensar en el\(t\) tiempo y\(f(t)\) como señal entrante. La transformada de Laplace convertirá la ecuación de una ecuación diferencial en el tiempo a una ecuación algebraica (sin derivados), donde la nueva variable independiente\(s\) es la frecuencia.
Podemos pensar en la transformación de Laplace como una caja negra que come funciones y escupe funciones en una nueva variable. Escribimos\(\mathcal{L} \{f(t)\} = F(s)\) para la transformación de Laplace de\(f(t)\). Es común escribir letras minúsculas para funciones en el dominio del tiempo y letras mayúsculas para funciones en el dominio de frecuencia. Usamos la misma letra para denotar que una función es la transformada de Laplace de la otra. Por ejemplo\(F(s)\) es la transformación de Laplace de\(f(t)\). Definamos la transformación.
\[\mathcal{L} \{f(t)\} = F(s) \overset{\rm{def}}{=} \int_0^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt. \nonumber \]
Observamos que sólo estamos considerando\(t \ge 0\) en la transformación. Por supuesto, si pensamos en el tiempo no hay problema, generalmente nos interesa saber qué pasará en el futuro (Laplace transform es un lugar donde es seguro ignorar el pasado).\(t\) Vamos a calcular algunas transformaciones simples.
Supongamos\(f(t)=1\), entonces
\[\mathcal{L} \{1\} = \int_0^{\infty} e^{-st}dt = \left[ \dfrac{e^{-st}}{-s} \right]_{t=0}^{\infty} = \lim_{h\rightarrow \infty} \left[ \dfrac{e^{-st}}{-s} \right]_{t=0}^h = \lim_{h \rightarrow \infty} \left( \dfrac{e^{-sh}}{-s} - \dfrac{1}{-s} \right) = \dfrac{1}{s}. \nonumber \]
El límite (la integral impropia) sólo existe si\(s>0\). Así que sólo\( \mathcal{L} \{1\}\) se define para\(s>0\).
Supongamos\(f(t)=e^{-at})\), entonces
\[\mathcal{L} \{e^{-at}\} = \int_0^{\infty} e^{-st}e^{-at} dt = \int _0^{\infty} e^{-(s+a)t} dt = \left [ \dfrac{e^{-(s+a)t}}{-s(s+a)} \right] _{t=0}^{\infty} = \dfrac{1}{s+a} . \nonumber \]
El límite sólo existe si\(s+a > 0\). Así que sólo\( \mathcal{L} \{ e^{-at}\}\) se define para\(s+a > 0\).
Supongamos\(f(t)=t\), luego usando la integración por partes
\[\begin{align}\begin{aligned} \mathcal{L} \{t\} &= \int_0^{\infty} e^{-st}t dt \\ &= \left[ \dfrac{-te^{-st}}{s} \right]_{t=0}^{\infty} + \dfrac{1}{s} \int_0^{\infty} e^{-st} dt \\ &=0 + \dfrac{1}{s} \left[ \dfrac{e^{-st}}{-s} \right]_{t=0}^{\infty} \\ &= \dfrac{1}{s^2}.\end{aligned}\end{align} \nonumber \]
Nuevamente, el límite sólo existe si\(s>0\).
Una función común es la función de paso de unidad, que a veces se llama la función Heaviside \(^{2}\). Esta función se da generalmente como
\[u(t)= \left\{ \begin{array}{cc} 0 & {\rm{if~}}t<0, \\ 1 & {\rm{if~}}t \geq 0.\end{array} \right. \nonumber \]
Encontremos la transformación de Laplace de\(u(t-a)\), donde\(a \ge 0\) hay alguna constante. Es decir, la función que es 0 para\(t<a\) y 1 para\( t \ge a\).
\[ \mathcal{L} \{ u(t-a)\}= \int_0^{\infty}e^{-st}u(t-a)dt= \int_a^{\infty}e^{-st}dt= \left[ \dfrac{e^{-st}}{-s}\right]_{t=a}^{e^{-as}}, \nonumber \]
donde por supuesto\(s>0\) (y\(a \ge 0\) como dijimos antes).
Aplicando procedimientos similares podemos calcular las transformaciones de muchas funciones elementales. Muchas transformaciones básicas se enumeran en la Tabla\(\PageIndex{1}\).
| \(f(t)\) | \(\mathcal \{f(t)\}\) |
|---|---|
| \ (f (t)\)” style="text-align:center; ">\(C\) | \ (\ mathcal\ {f (t)\}\)” style="text-align:center; ">\(\dfrac{C}{s}\) |
| \ (f (t)\)” style="text-align:center; ">\(t\) | \ (\ mathcal\ {f (t)\}\)” style="text-align:center; ">\(\dfrac{1}{s^{2}}\) |
| \ (f (t)\)” style="text-align:center; ">\(t^2\) | \ (\ mathcal\ {f (t)\}\)” style="text-align:center; ">\(\dfrac{2}{s^3}\) |
| \ (f (t)\)” style="text-align:center; ">\(t^3\) | \ (\ mathcal\ {f (t)\}\)” style="text-align:center; ">\(\dfrac{6}{s^4}\) |
| \ (f (t)\)” style="text-align:center; ">\(t^n\) | \ (\ mathcal\ {f (t)\}\)” style="text-align:center; ">\(\dfrac{n!}{s^{s+1}}\) |
| \ (f (t)\)” style="text-align:center; ">\(e^{-at}\) | \ (\ mathcal\ {f (t)\}\)” style="text-align:center; ">\(\dfrac{1}{s+a}\) |
| \ (f (t)\)” style="text-align:center; ">\(\sin(\omega t)\) | \ (\ mathcal\ {f (t)\}\)” style="text-align:center; ">\(\dfrac{\omega}{s^2+\omega^2}\) |
| \ (f (t)\)” style="text-align:center; ">\(\cos(\omega t)\) | \ (\ mathcal\ {f (t)\}\)” style="text-align:center; ">\(\dfrac{s}{s^2+\omega^2}\) |
| \ (f (t)\)” style="text-align:center; ">\(\sinh(\omega t)\) | \ (\ mathcal\ {f (t)\}\)” style="text-align:center; ">\(\dfrac{\omega}{s^2- \omega^2}\) |
| \ (f (t)\)” style="text-align:center; ">\(\cosh(\omega t)\) | \ (\ mathcal\ {f (t)\}\)” style="text-align:center; ">\(\dfrac{s}{s^2-\omega^2}\) |
| \ (f (t)\)” style="text-align:center; ">\(u(t-a)\) | \ (\ mathcal\ {f (t)\}\)” style="text-align:center; ">\(\dfrac{e^{-as}}{s}\) |
Verifica todas las entradas en la Tabla\(\PageIndex{1}\).
Ya que la transformación se define por una integral. Podemos utilizar las propiedades de linealidad de la integral. Por ejemplo, supongamos que\(C\) es una constante, entonces
\[ \mathcal{L} \{f(t)\} = \int_o^{\infty} e^{-st}Cf(t)\, dt = C \int _0^{\infty} e^{-st}f(t) \,dt = C \mathcal{L} \{f(t)\}. \nonumber \]
Para que podamos “sacar” una constante fuera de la transformación. De igual manera tenemos linealidad. Dado que la linealidad es muy importante la declaramos como teorema.
Linealidad de la Transformación de Laplace
Supongamos que\(A\)\(B\),, y\(C\) son constantes, entonces
\[ \mathcal{L} \{Af(t) + Bg(t)\} = A\mathcal{L} \{f(t)\} + B\mathcal{L} \{g(t)\} \nonumber \]
y en particular
\[\mathcal{L} \{Cf(t)\} = C\mathcal{L} \{f(t)\} . \nonumber \]
Verificar teorema\(\PageIndex{1}\). That is, show that\( \mathcal{L} \{Af(t) + Bg(t)\} = A\mathcal{L} \{f(t)\} + B\mathcal{L} \{g(t)\} \).
Estas reglas junto con Table\(\PageIndex{1}\) hacen que ya sea fácil encontrar la transformación de Laplace de un montón de funciones. Pero ten cuidado. Es un error común pensar que la transformación de Laplace de un producto es producto de las transformaciones. En general
\[\mathcal{L} \{f(t)g(t)\} \neq \mathcal{L} \{f(t)\} \mathcal{L} \{g(t)\}. \nonumber \]
También hay que señalar que no todas las funciones tienen una transformación de Laplace. Por ejemplo, la función\(1/t\) no tiene una transformada de Laplace ya que la integral diverge para todos\(s\). De igual manera,\(\tan\, t\) o\(e^{t^2} \) no tienen transformaciones de Laplace.
Existencia y singularidad
Consideremos cuándo existe con más detalle la transformación de Laplace. Primero consideremos funciones de orden exponencial. La función\(f(t)\) es de orden exponencial como\(t\) va al infinito si
\[ \left|f(t)\right| \le Me^{ct}, \nonumber \]
para algunas constantes\(M\) y\(c\), para suficientemente grandes\(t\) (digamos para todos\(t > t_o\) para algunos\(t_o\)). La forma más sencilla de verificar esta condición es intentar calcular
\[ \lim_{t \rightarrow \infty} \dfrac{f(t)}{e^{ct}} \nonumber \]
Si el límite existe y es finito (generalmente cero), entonces\(f(t)\) es de orden exponencial.
Usa la regla de L'Hopital a partir del cálculo para mostrar que un polinomio es de orden exponencial. Pista: Tenga en cuenta que una suma de dos funciones de orden exponencial también es de orden exponencial. Entonces mostrar que\(t^n\) es de orden exponencial para cualquiera\(n\).
Para una función de orden exponencial tenemos existencia y singularidad de la transformación de Laplace.
Existencia
\(f(t)\)Sea continuo y de orden exponencial para una cierta constante\(c\). Entonces\( F(s) = \mathcal{L} \{f(t)\} \) se define para todos\(s>c\).
La existencia no es difícil de ver. \(f(t)\)Sea de orden exponencial, es decir\(|f(t)| \leq Me^{ct}\) para todos\(t>0\) (por simplicidad\(t_0=0\)). Vamos\(s>c\), o en otras palabras\((c-s)<0\). Por el teorema de comparación a partir del cálculo, existe la definición integral inadecuada si\(\mathcal{L}\{f(t)\}\) existe la siguiente integral
\[ \int_0^{\infty}e^{-st}(Me^{ct})dt= M \int_0^{\infty}e^{(c-s)t}dt=M \left[ \dfrac{e^{(c-s)t}}{c-s} \right]_{t=0}^{\infty} = \dfrac{M}{c-s}. \nonumber \]
La transformación también existe para algunas otras funciones que no son de orden exponencial, pero que no serán relevantes para nosotros. Antes de tratar con la singularidad, notemos que para las funciones de orden exponencial obtenemos que su transformada de Laplace decae al infinito:
\[ \lim_{s \rightarrow \infty} F(s)=0 \nonumber \]
Singularidad
Dejar\(f(t)\) y\(g(t)\) ser continuo y de orden exponencial. Supongamos que existe una constante\(C\), tal que\(F(s) = G(s)\) para todos\(s> C\). Entonces\(f(t)=g(t)\) para todos\(t \ge 0\).
Ambos teoremas también se mantienen para funciones continuas por partes. Recordemos que continuo por tramos significa que la función es continua excepto quizás en un conjunto discreto de puntos donde tiene discontinuidades de salto como la función Heaviside. Sin embargo, la singularidad no “ve” los valores en las discontinuidades. Entonces sólo podemos concluir eso\(F(s) = G(s)\) fuera de las discontinuidades. Por ejemplo, la función de paso de unidad a veces se define usando\(u(0)=1/2\). Esta nueva función de paso, sin embargo, tiene exactamente la misma transformación de Laplace que la que definimos anteriormente donde\(u(0)=1\).
6.1.3Transformada Inversa
Como decíamos, la transformada de Laplace nos permitirá convertir una ecuación diferencial en una ecuación algebraica. Una vez que resolvamos la ecuación algebraica en el dominio de frecuencia vamos a querer volver al dominio del tiempo, ya que eso es lo que nos interesa. Si tenemos una función\(F(s)\), para poder encontrar\(f(t)\) tal que\(\mathcal{L} \{f(t)\}=F(s) \), primero necesitamos saber si tal función es única. Resulta que estamos de suerte por Teorema\(\PageIndex{3}\). Entonces podemos sin miedo hacer la siguiente definición.
Si\( F(s) = \mathcal{L} \{f(t)\} \) para alguna función\(f(t)\). Definimos la transformada inversa de Laplace como
\[ \mathcal{L}^{-1} \{F(s)\} \overset{\rm{def}}{=} f(t) \nonumber \]
Existe una fórmula integral para la inversa, pero no es tan simple como la propia transformación, requiere números complejos e integrales de ruta. Para nosotros bastará con calcular la inversa usando Tabla\(\PageIndex{1}\).
Encuentra la transformada inversa de Laplace de\(F(s) = \dfrac{1}{s+1}\)
Solución
Miramos a la mesa para encontrar
\[ \mathcal{L}^{-1} \left\{ \dfrac{1}{s+1} \right\} = e^{-t} \nonumber \]
Como la transformada de Laplace es lineal, la transformada inversa de Laplace también es lineal. Es decir,
\[ \mathcal{L}^{-1} \{AF(s) + BG(s)\} = A\mathcal{L}^{-1} \{F(s)\} + B\mathcal{L}^{-1} \{G(s)\} \nonumber \]
Por supuesto, también tenemos\( \mathcal{L}^{-1} \{AF(s) = A \mathcal{L}^{-1} \{F(s)\}.\) Demostremos cómo se puede utilizar la linealidad.
Encuentra la transformada inversa de Laplace de
\[F(s)=\dfrac{s^2+s+1}{s^3+s}. \nonumber \]
Solución
Primero usamos el método de fracciones parciales para escribir\(F\) en una forma donde podamos usar Table\(\PageIndex{1}\). Facturamos el denominador como\(s(s^2+1)\) y escribimos
\[ \dfrac{s^2+s+1}{s^3+s}=\dfrac{A}{s}+\dfrac{Bs+C}{s^2+1} \nonumber \]
Poniendo el lado derecho sobre un denominador común e igualando los numeradores que obtenemos\(A(s^2+1)+s(Bs+C)=s^2+s+1\). Ampliando y igualando coeficientes obtenemos\(A + B =1\),\(C=1\),\(A=1\) y así\(B=0\). En otras palabras,
\[F(s)=\dfrac{s^2+s+1}{s^3+s} =\dfrac{1}{s}+\dfrac{1}{s^2+1} \nonumber \]
Por linealidad de la transformación inversa de Laplace obtenemos
\[ \mathcal{L}^{-1} \left\{ \dfrac{s^2+s+1}{s^3+s} \right\} = \mathcal{L}^{-1} \left\{ \dfrac{1}{s} \right\}+ \mathcal{L}^{-1} \left\{ \dfrac{1}{s^2+1} \right\} = 1 + \sin t. \nonumber \]
Propiedad cambiante de Laplace Transforms
Otra propiedad útil es la llamada propiedad de desplazamiento o la primera propiedad de desplazamiento
\[ \mathcal{L} \{e^{-at}f(t)\} = F(s+a) \nonumber \]
donde\(F(s)\) está la transformación de Laplace\(f(t)\) y\(a\) es una constante.
Derivar la primera propiedad de desplazamiento a partir de la definición de la transformación de Laplace.
La propiedad shifting se puede utilizar, por ejemplo, cuando el denominador es una cuadrática más complicada que puede surgir en el método de fracciones parciales. Completamos el cuadrado y escribimos tales cuadráticas como\((s+a)^2 + b\) y luego usamos la propiedad shifting.
Encuentra\[ \mathcal{L}^{-1} \left\{ \dfrac{1}{s^2+4s+8} \right\} . \nonumber \]
Solución
Primero completamos el cuadrado para hacer el denominador\((s+2)^2+4\). A continuación encontramos
\[ \mathcal{L} \left\{ \dfrac{1}{s^2+4} \right\} = \dfrac{1}{2}\sin (2t). \nonumber \]
Poniéndolo todo junto con la propiedad desplazable, encontramos
\[ \mathcal{L} \left\{ \dfrac{1}{s^2+4s+8} \right\} = \mathcal{L} \left\{ \dfrac{1}{(s+2)^2+4} \right\} = \dfrac{1}{2}e^{-2t} \sin (2t). \nonumber \]
En general, queremos poder aplicar la transformación de Laplace a funciones racionales, es decir funciones de la forma
\[\dfrac{F(s)}{G(s)} \nonumber \]
donde\(F(s)\) y\(G(s)\) son polinomios. Ya que normalmente, para las funciones que estamos considerando, la transformada de Laplace va a cero ya que\(s \rightarrow \infty\), no es difícil ver que el grado de\(F(s)\) debe ser menor que el de\(G(s)\). Tales funciones racionales se denominan funciones racionales adecuadas y siempre podemos aplicar el método de fracciones parciales. Por supuesto, esto significa que necesitamos ser capaces de facturar el denominador en términos lineales y cuadráticos, lo que implica encontrar las raíces del denominador,
Notas al pie
[1] Al igual que la ecuación de Laplace y la Laplaciana, la transformación de Laplace también lleva el nombre de Pierre-Simon, marqués de Laplace (1749 — 1827).
[2] La función lleva el nombre del matemático, ingeniero y físico inglés Oliver Heaviside (1850—1925). Sólo por coincidencia es la función “pesada” en “un lado”.