6.3: Convolución

Convolución

Dijimos que la transformación de Laplace de un producto no es producto de las transformaciones. Sin embargo, no se pierde toda esperanza. Simplemente tenemos que usar un tipo diferente de “producto”. Tomar dos funciones\(f(t)\) y\(g(t)\) definir para\(t \geq 0\), y definir la convolución \(^{1}\)de\(f(t)\) y\(g(t)\) como

\[\label{eq:1} (f \ast g)(t) \overset{\rm{def}}{=} \int_0^t f(\tau)g(t- \tau)d\tau . \]

Como puede ver, la convolución de dos funciones de\(t\) es otra función de\(t\).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Tomar\(f(t)=e^t\) y\(g(t) = t\) para\(t \geq 0\). Entonces

\[ (f \ast g)(t) = \int_0^t e^{\tau}(t- \tau)d\tau = e^t-t-1. \nonumber \]

Para resolver la integral hicimos una integración por partes.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Tomar\( f(t)=\sin(\omega t)\) y\( g(t)=\cos(\omega t)\) para\(t \geq 0\). Entonces

\[ (f \ast g)(t) = \int_0^t \sin(\omega \tau)\cos(\omega (t- \tau))d\tau. \nonumber \]

Aplicamos la identidad

\[ \cos(\theta)\sin(\psi)= \dfrac{1}{2}(\sin(\theta + \psi)-\sin(\theta -\psi )) \nonumber \]

Por lo tanto,

\[\begin{align}\begin{aligned} (f \ast g)(t) & = \int_0^t \dfrac{1}{2}(\sin(\omega t) - \sin(\omega t-2 \omega \tau )) d\tau \\ &=\left[ \dfrac{1}{2} \tau \sin(\omega t)+\dfrac{1}{4\omega} \cos(2\omega \tau -\omega t) \right]_{\tau =0}^t \\ &= \dfrac{1}{2} t \sin(\omega t). \end{aligned} \end{align} \nonumber \]

La fórmula se mantiene solo para\(t \geq 0 \). Supusimos que\(f\) y\(g\) son cero (o simplemente no definidos) para negativos\(t\).

La convolución tiene muchas propiedades que hacen que se comporte como un producto. Let\(c\) be a constant and \(f\), \(g\), and \(h\) be functions then

\[\begin{align}\begin{aligned} f*g &= g* f \\ (c\,f)*g &= f*(c\,g)=c\,(f*g) \\ (f*g)*h&=f*(g*h) \end{aligned}\end{align} \nonumber \]

La propiedad más interesante para nosotros, y el principal resultado de esta sección es el siguiente teorema.

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Dejar\(f(t)\) y\(g(t)\) ser de tipo exponencial, entonces

\[ \mathcal\{(f \ast g)(t)\}= \mathcal{L} \left\{ \int_0^t f(\tau)g(t- \tau)d\tau \right\}=\mathcal{L}\{f(t)\} \mathcal{L} \{g(t)\}. \nonumber \]

En otras palabras, la transformación de Laplace de una convolución es producto de las transformaciones de Laplace. La forma más sencilla de utilizar este resultado es a la inversa.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Supongamos que tenemos la función de\(s\) definido por

\[ \dfrac{1}{(s+1)s^2}=\dfrac{1}{s+1}\dfrac{1}{s^2}. \nonumber \]

Reconocemos las dos entradas del Cuadro 6.1.2. Eso es

\[ \mathcal{L}^{-1} \left\{ \dfrac{1}{s+1} \right\}=e^{-t}~~~~~~ {\rm{and}}~~~~~~ \mathcal{L}^{-1} \left\{ \dfrac{1}{s^2} \right\}=t. \nonumber \]

Por lo tanto,

\[ \mathcal{L}^{-1} \left\{ \dfrac{1}{s+1} \dfrac{1}{s^2} \right\}=\int_0^t \tau e^{-(t- \tau)}d\tau =e^{-t}+t-1. \nonumber \]

El cálculo de la integral implicó una integración por partes.

Resolviendo ODEs

El siguiente ejemplo demuestra todo el poder de la convolución y la transformación de Laplace. Podemos dar la solución al problema de la oscilación forzada para cualquier función de forzamiento como una integral definida.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Encuentre la solución para

\[ x''+\omega_0^2x=f(t),~~~~~x(0)=0,~~~~~x'(0)=0, \nonumber \]

para una función arbitraria\(f(t)\).

Primero aplicamos la transformada de Laplace a la ecuación. Denotar la transformación de\(x(t)\) por\(X(s)\) y la transformación de\(f(t)\) por\(F(s)\) como de costumbre.

\[ s^2X(s)+ \omega_0^2X(s)=F(s), \nonumber \]

o en otras palabras

\[ X(s)=F(s) \dfrac{1}{s^2+ \omega_0^2}. \nonumber \]

Sabemos

\[ \mathcal{L}^{-1} \left\{ \dfrac{1}{s^2+ \omega_0^2} \right\}= \dfrac{\sin(\omega_0 t)}{\omega_0}. \nonumber \]

Por lo tanto,

\[ x(t)= \int_0^tf(\tau)\dfrac{\sin(\omega_0( t-\tau))}{\omega_0}d\tau , \nonumber \]

o si invertimos el orden

\[ x(t)= \int_0^t \dfrac{\sin(\omega_0 \tau)}{\omega_0}f(t-\tau)d\tau . \nonumber \]

Notemos una característica más de este ejemplo. Ahora podemos ver cómo Laplace transform maneja la resonancia. Supongamos que\(f(t)=\cos(\omega_0t)\). Entonces

\[ x(t)= \int_0^t \dfrac{\sin(\omega_0 \tau)}{\omega_0}\cos(\omega_0(t-\tau))d\tau = \dfrac{1}{\omega_0}\int_0^t \sin(\omega_0 \tau)\cos(\omega_0(t-\tau))d\tau . \nonumber \]

Hemos calculado la convolución de seno y coseno en el Ejemplo 6.3.2. De ahí

\[ x(t)=\left( \dfrac{1}{\omega_0}\right) \left( \dfrac{1}{2}t\sin(\omega_0t)\right) = \dfrac{1}{2\omega_0} \sin(\omega_0t). \nonumber \]

Tenga\(t\) en cuenta el frente del seno. La solución, por lo tanto, crece sin ataduras a medida que\(t\) se hace grande, es decir, obtenemos resonancia.

Del mismo modo, podemos resolver cualquier ecuación de coeficiente constante con una función de forzamiento arbitrario\(f(t)\) como una integral definida usando convolución. Una solución integral definida, en lugar de una forma cerrada, suele ser suficiente para la mayoría de los propósitos prácticos. No es difícil evaluar numéricamente una integral definida.

Ecuación Integral de Volterra

Una ecuación integral común es la ecuación integral de Volterra \(^{2}\)

\[ x(t) = f(t) + \int_0^t g(t-\tau)x(\tau)\, d\tau \nonumber \]

donde\(f(t)\) y\(g(t)\) son funciones conocidas y\(x(t)\) es un desconocido que deseamos resolver. Para encontrar\(x(t)\), aplicamos la transformada de Laplace a la ecuación para obtener

\[X(s)=F(s)+G(s)X(s), \nonumber \]

donde\(X(s)\),\(F(s)\), y\(G(s)\) son las transformaciones de Laplace de\(x(t)\),\(f(t)\), y\(g(t)\), respectivamente. ENCONTRAMOS

\[ X(s) = \dfrac{F(s)}{1-G(s)}. \nonumber \]

Para encontrar ahora\(x(t)\) necesitamos encontrar la transformada inversa de Laplace de\(X(s)\).

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Resolver

\[ x(t) = e^{-t} + \int _0^t \sinh(t-\tau)x(\tau)\, d\tau \nonumber \]

Aplicamos Laplace transform para obtener

\[ X(s) = \dfrac{1}{s+1} + \dfrac{1}{s^2-1}X(s), \nonumber \]

o

\[ X(s) = \dfrac{\dfrac{1}{s+1}}{1-\dfrac{1}{s^2-1}} = \dfrac{s-1}{s^2-2}= \dfrac{s}{s^2-2}-\dfrac{1}{s^2-2}. \nonumber \]

No es difícil aplicar Tabla 6.1.1 para encontrar

\[ x(t) = \cosh \left( \sqrt{2}\, t \right) -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \sinh \left(\sqrt{2}\,t \right). \nonumber \]

Notas al pie

[1] Para aquellos que han visto convolución definida antes, es posible que la hayas visto definida como\(f\ast g)(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau )g(t-\tau )d\tau \). Esta definición concuerda con\(\eqref{eq:1}\) si define\(f(t)\) y\(g(t)\) ser cero para\(t<0\). Al discutir la transformación de Laplace la definición que dimos es suficiente. La convolución ocurre en muchas otras aplicaciones, sin embargo, donde es posible que tenga que usar la definición más general con infinidades.

[2] Nombrado así por el matemático italiano Vito Volterra (1860—1940).