6.E: La transformación de Laplace (Ejercicios)
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Estos son ejercicios de tarea para acompañar el mapa de texto "Ecuaciones Diferenciales para Ingeniería" de Libl. Se trata de un libro de texto dirigido a un primer curso de un semestre sobre ecuaciones diferenciales, dirigido a estudiantes de ingeniería. El requisito previo para el curso es la secuencia básica de cálculo.
6.1: La transformación de Laplace
Encuentra la transformación de Laplace de\(3+ t^5 + \sin (\pi t)\).
Encuentra la transformación de Laplace de\(a + bt +ct^2\) para algunas constantes\(a\),\(b\), y\(c\).
Encuentra la transformación de Laplace de\(A \cos (\omega t) + B \sin (\omega t ) \).
Encuentra la transformación de Laplace de\( \cos^2 (\omega t ) \).
Encuentra la transformada inversa de Laplace de\(\dfrac{4}{s^2-9}\).
Encuentra la transformada inversa de Laplace de\( \dfrac{2s}{s^2-1}\).
Encuentra la transformada inversa de Laplace de\( \dfrac{1}{(s-1)^2(s+1)}\).
Encuentra la transformación de Laplace de\(f(t)= \left\{ \begin{array}{cc} t & {\rm{if~}}t \geq 1, \\ 0 & {\rm{if~}}t < 1.\end{array} \right.\).
Encuentra la transformada inversa de Laplace de\( \dfrac{s}{(s^2+s+2)(s+4)}\).
Encuentra la transformación de Laplace de\(\sin \left( \omega (t-a) \right) \).
Encuentra la transformación de Laplace de\( t \sin (\omega t) \). Sugerencia: Varias integraciones por partes.
Encuentra la transformación de Laplace de\(4(t+1)^2\).
- Responder
-
\(\frac{8}{s^{3}}+\frac{8}{s^{2}}+\frac{4}{s}\)
Encuentra la transformada inversa de Laplace de\(\dfrac{8}{s^3 (s+2)}\).
- Responder
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\(2t^{2}-2t+1-e^{-2t}\)
Encuentra la transformación de Laplace de\(te^{-t}\) (Pista: integrar por partes).
- Responder
-
\(\frac{1}{(s+1)^{2}}\)
Encuentra la transformación de Laplace de\(\sin (t) e^{-t}\) (Pista: integrar por partes).
- Responder
-
\(\frac{1}{s^{2}+2s+2}\)
6.2: Transformadas de Derivados y ODEs
Verificar Cuadro 6.2.1.
Usando la función Heaviside anote la función por partes que es\(0\)\(t<0, t^2\) for\(t\) in\([0,1]\) y\(t\) for\(t>1\).
Usando la solución de transformación de Laplace
\[ mx'' + cx'+kx =0,\quad x(0)=a, \quad x'(0)=b.\]
donde\(m>0,c>0,k>0\), y\(c^2-4km>0\) (el sistema está sobreamortiguado).
Usando la solución de transformación de Laplace
\[ mx'' + cx'+kx =0,\quad x(0)=a, \quad x'(0)=b.\]
donde\(m>0,c>0,k>0\), y\(c^2-4km<0\) (el sistema está subamortiguado).
Usando la solución de transformación de Laplace
\[ mx'' + cx'+kx =0,\quad x(0)=a, \quad x'(0)=b.\]
donde\(m>0,c>0,k>0\), y\(c^2=4km\) (el sistema está amortiguado críticamente).
Resolver\(x''+x=u(t-1)\) por condiciones iniciales\(x(0)=0\) y\(x'(0)=0\).
Mostrar la diferenciación de la propiedad transform. Supongamos\(\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)\), luego mostrar
\[ \mathcal{L}\{-tf(t)\}=F'(s).\]
Sugerencia: Diferenciar bajo el signo integral.
Resolver\(x'''+x=t^3u(t-1)\) por condiciones iniciales\(x(0)=1\) y\(x'(0)=0\),\(x''(0)=0\).
Mostrar la segunda propiedad de desplazamiento:\( \mathcal{L}\{f(t-a)u(t-a)\}=e^{-as}\mathcal{L}\{f(t)\} \).
Pensemos en el sistema masa-resorte con un cohete del Ejemplo 6.2.2. Notamos que la solución seguía oscilando después de que el cohete dejó de funcionar. La amplitud de la oscilación depende del tiempo en que se disparó el cohete (durante 4 segundos en el ejemplo).
- Encuentra una fórmula para la amplitud de la oscilación resultante en términos de la cantidad de tiempo que se dispara el cohete.
- Hay un tiempo distinto de cero (si es así, ¿qué es?) para lo cual el cohete dispara y la oscilación resultante tiene amplitud 0 (la masa no se mueve)?
Definir
\[ f(t)= \left\{ \begin{array}{ccc} (t-1)^2 & if~1 \leq t<2, \\ 3-t & if~2 \leq t<3, \\ 0 & otherwise. \end{array} \right. \]
- Esbozar la gráfica de\(f(t)\).
- Anote\(f(t)\) usando la función Heaviside.
- Resuelve\(x''+x=f(t), x(0)=0,x'(0)=0\) usando la transformación de Laplace.
Encuentre la función de transferencia para\(mx'' + cx'+kx =f(t)\) (asumiendo que las condiciones iniciales son cero).
Usando la función Heaviside\(u(t)\), anote la función
\[ f(t)= \left\{ \begin{array}{ccc} 0 & if~~~~~t<1, \\ t-1 & if~1 \leq t<2, \\ if~~~~~2 \leq t. \end{array} \right. \]
- Responder
-
\(f(t)=(t-1)(u(t-1)-u(t-2))+u(t-2)\)
Resuelve\(x''-x=(t^2-1)u(t-1)\) las condiciones iniciales\(x(0)=1,x'(0)=2\) usando la transformada de Laplace.
- Responder
-
\(x(t)=(2e^{t-1}-t^{2}-1)u(t-1)-\frac{1}{2}e^{-t}+\frac{3}{2}e^{t}\)
Encuentre la función de transferencia para\(x'+x=f(t)\) (asumiendo que las condiciones iniciales son cero).
- Responder
-
\(H(s)=\frac{1}{s+1}\)
6.3: Convolución
Dejemos\(f(t)=t^2\) para\(t \geq 0\), y\(g(t)=u(t-1)\). Computar\(f * g\).
Dejar\(f(t)=t\) para\(t \geq 0\), y\(g(t)=\sin t\) para\(t \geq 0\). Computar\(f * g\).
Encuentre la solución para
\( mx''+cx'+kx=f(t),\quad x(0)=0,\quad x'(0)=0,\)
para una función arbitraria\(f(t)\), donde\(m>0,c>0,k>0\), y\(c^2-4km>0\) (el sistema está sobreamortiguado). Escribe la solución como una integral definitiva.
Encuentre la solución para
\( mx''+cx'+kx=f(t),\quad x(0)=0,\quad x'(0)=0,\)
para una función arbitraria\(f(t)\), donde\(m>0,c>0,k>0\), y\(c^2-4km<0\) (el sistema está subamortiguado). Escribe la solución como una integral definitiva.
Encuentre la solución para
\( mx''+cx'+kx=f(t),\quad x(0)=0,\quad x'(0)=0,\)
para una función arbitraria\(f(t)\), donde\(m>0,c>0,k>0\), y\(c^2=4km\) (el sistema está amortiguado críticamente). Escribe la solución como una integral definitiva.
Resolver
\( x(t)=e^{-t} +\int_0^t\cos(t-\tau)x(\tau)~d\tau . \)
Resolver
\( x(t)=\cos t +\int_0^t\cos(t-\tau)x(\tau)~d\tau . \)
Calcular\(\mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{s}{(s^2+4)^2}\right\}\) usando convolución.
Anote la solución a\(x''-2x=e^{-t^2},x(0)=0,x'(0)=0\) como una integral definitiva. Pista: No intentes calcular la transformación de Laplace de\(e^{-t^2}\).
Dejemos\(f(t)=\cos t\) para\(t \geq 0\), y\(g(t)=e^{-t}\). Computar\(f * g\).
- Responder
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\(\frac{1}{2}(\cos t+\sin t-e^{-t})\)
Calcular\(\mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{5}{s^4+s^2}\right\}\) usando convolución.
- Responder
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\(5t-5\sin t\)
Resuelve\(x''+x=\sin t, x(0)=0, x'(0)=0\) usando convolución.
- Responder
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\(\frac{1}{2}(\sin t-t\cos t)\)
Resuelve\(x'''+x'=f(t), x(0)=0, x'(0)=0,x''(0)=0\) usando convolución. Escribir el resultado como una integral definitiva.
- Responder
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\(\int_{0}^{t} f(\tau )(1-\cos (t-\tau ))d\tau \)
6.4: Delta de Dirac y respuesta al impulso
Resolver (encontrar la respuesta al impulso)\( x'' + x' + x = \delta(t),x(0) = 0, x'(0)=0.\)
Resolver (encontrar la respuesta al impulso)\(x'' + 2 x' + x = \delta(t), x(0) = 0, x'(0)=0.\)
Un pulso puede llegar más tarde y puede ser más grande. Resolver\(x'' + 4 x = 4\delta(t-1), x(0) = 0, x'(0)=0.\)
Supongamos que\(f(t)\) y\(g(t)\) son funciones diferenciables y supongamos que\(f(t) = g(t) = 0\) para todos\(t \leq 0\). Demostrar que\[ (f * g)'(t) = (f' * g)(t) = (f * g')(t) .\]
Supongamos que\(L x = \delta(t), x(0) = 0, x'(0) = 0\), tiene la solución\(x = e^{-t}\) para\(t>0\). Encuentra la solución\(Lx = t^2, x(0) = 0, x'(0) = 0\) para\(t > 0\).
Computar\(\mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{s^2+s+1}{s^2} \right\}\).
Resolver Ejemplo 6.4.3 mediante la integración 4 veces en la\(x\) variable.
Supongamos que tenemos una viga de longitud\(1\) simplemente soportada en los extremos y supongamos que la fuerza\(F=1\) se aplica\(x=\frac{3}{4}\) en dirección descendente. Supongamos que\(EI=1\) por simplicidad. Encuentra la deflección del haz\(y(x)\).
Resolver (encontrar la respuesta de impulso)\(x'' = \delta(t),\: x(0) = 0,\: x'(0)=0\).
- Contestar
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\(x(t)=t\)
Resolver (encontrar la respuesta de impulso)\(x' + a x = \delta(t),\: x(0) = 0,\: x'(0)=0\).
- Contestar
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\(x(t)=e^{-at}\)
Supongamos que\(L x = \delta(t), x(0) = 0, x'(0) = 0\), tiene la solución\(x(t) = \cos(t)\) para\(t>0\). Encuentre (en forma cerrada) la solución a\(Lx = \sin(t), x(0) = 0, x'(0) = 0 for t > 0\).
- Contestar
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\(x(t)=(\cos\ast\sin )(t)=\frac{1}{2}t\sin (t)\)
Cómponlo\({\mathcal{L}}^{-1} \left\{ \frac{s^2}{s^2+1} \right\}\).
- Contestar
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\(\delta (t)-\sin (t)\)
Cómponlo\({\mathcal{L}}^{-1} \left\{ \frac{3 s^2 e^{-s} + 2}{s^2} \right\}\).
- Contestar
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\(3\delta (t-1)+2t\)
6.5: Resolviendo PDEs con la Transformación de Laplace
Resolver\[\begin{aligned} & y_t + y_x = 1, \qquad 0 < x < \infty, \enspace t > 0, \\ & y(0,t) = 1, \quad y(x,0) = 0 .\end{aligned}\]
Resolver\[\begin{aligned} & y_t + \alpha y_x = 0, \qquad 0 < x < \infty, \enspace t > 0, \\ & y(0,t) = t, \quad y(x,0) = 0 .\end{aligned}\]
Resolver\[\begin{aligned} & y_t + 2 y_x = x+t, \qquad 0 < x < \infty, \enspace t > 0, \\ & y(0,t) = 0, \quad y(x,0) = 0 .\end{aligned}\]
Para un\(\alpha > 0\), resolver\[\begin{aligned} & y_t + \alpha y_x + y = 0, \qquad 0 < x < \infty, \enspace t > 0, \\ & y(0,t) = \sin(t), \quad y(x,0) = 0 .\end{aligned}\]
Encuentra el problema ODE correspondiente para\(Y(x)\), después de transformar la\(t\) variable\[\begin{aligned} & y_{tt} + 3y_{xx} + y_{xt} + 3 y_x + y = \sin(x) + t, \qquad 0 < x < 1, \enspace t > 0, \\ & y(0,t) = 1, \quad y(1,t) = t, \quad y(x,0) = 1-x, \quad y_t(x,0) = 1 .\end{aligned}\] No resolver el problema.
Anote una solución a\[\begin{aligned} & y_t = y_{xx}, \qquad 0 < x < \infty, \enspace t > 0,\\ & y_x(0,t) = e^{-t}, \quad y(x,0) = 0 ,\end{aligned}\] como una integral definida (convolución).
Usa la transformación de Laplace en\(t\) para resolver\[\begin{aligned} & y_{tt} = y_{xx}, \qquad -\infty < x < \infty, \enspace t > 0,\\ & y_t(x,0) = \sin(x), \quad y(x,0) = 0 .\end{aligned}\] Sugerencia: Tenga en cuenta que\(e^{sx}\) no va a cero en\(s \to \infty\) cuanto a positivo\(x\), y\(e^{-sx}\) no va a cero como\(s \to \infty\) para negativo \(x\).
Resolver\[\begin{aligned} & y_t + y_x = 1, \qquad 0 < x < \infty, \enspace t > 0, \\ & y(0,t) = 0, \quad y(x,0) = 0 .\end{aligned}\]
- Contestar
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\(y=(x-t)u(t-x)+t\)
Para un\(c > 0\), resolver\[\begin{aligned} & y_t + y_x + c y = 0, \qquad 0 < x < \infty, \enspace t > 0, \\ & y(0,t) = \sin(t), \quad y(x,0) = 0 .\end{aligned}\]
- Contestar
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\(y=e^{-cx}\sin (t-x)u(t-x)\)
Encuentra el problema ODE correspondiente para\(Y(x)\), después de transformar la\(t\) variable\[\begin{aligned} & y_{tt} + 3y_{xx} + y = x+t, \qquad -1 < x < 1, \enspace t > 0, \\ & y(-1,t) = 0, \quad y(1,t) = 0, \quad y(x,0) = (1-x^2) , \quad y_t(x,0) = 0.\end{aligned}\] No resolver el problema.
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\(s^{2}Y(x)-s(1+x^{2})+3Y''(x)+Y(x)=\frac{x}{s}+\frac{1}{s^{2}},\quad Y(-1)=0,\quad Y(1)=0.\)
Usa la transformación de Laplace en\(t\) para resolver\[\begin{aligned} & y_{tt} = y_{xx}, \qquad -\infty < x < \infty, \enspace t > 0,\\ & y_t(x,0) = x^2, \quad y(x,0) = 0 .\end{aligned}\] Sugerencia: Tenga en cuenta que\(e^{sx}\) no va a cero en\(s \to \infty\) cuanto a positivo\(x\), y\(e^{-sx}\) no va a cero como\(s \to \infty\) para negativo \(x\).
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\(y=tx^{2}+\frac{t^{3}}{3}\)