7.E: Métodos de la serie Power (Ejercicios)
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7.1: Serie Power
Es la serie de potencia\( \sum_{k=0}^\infty e^k x^k\) convergent? If so, what is the radius of convergence?
Es la serie de potencia\( \sum_{k=0}^\infty k x^k\) convergent? If so, what is the radius of convergence?
Es la serie de potencia\( \sum_{k=0}^\infty k! x^k\) convergent? If so, what is the radius of convergence?
Es la serie de potencia\( \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k)!} {(x-10)}^k\) convergent? If so, what is the radius of convergence?
Determine la serie Taylor para\(\sin x\) around the point \(x_0 = \pi\).
Determine la serie Taylor para\(\ln x\) around the point \(x_0 = 1\), and find the radius of convergence.
Determinar la serie Taylor y su radio de convergencia de\(\dfrac{1}{1+x}\) around \(x_0 = 0\).
Determinar la serie Taylor y su radio de convergencia de\(\dfrac{x}{4-x^2}\) around \(x_0 = 0\). Hint: You will not be able to use the ratio test.
Ampliar\(x^5+5x+1\) as a power series around \(x_0 = 5\).
Supongamos que la prueba de relación se aplica a una serie\( \sum_{k=0}^\infty a_k x^k\). Show, using the ratio test, that the radius of convergence of the differentiated series is the same as that of the original series.
Supongamos que\(f\) is an analytic function such that \(f^{(n)}(0) = n\). Find \(f(1)\).
Es la serie de potencia\( \sum_{n=1}^\infty {(0.1)}^n x^n\) convergent? If so, what is the radius of convergence?
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Sí. El radio de convergencia es\(10\).
Es la serie de potencia\( \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{n^n} x^n\) convergent? If so, what is the radius of convergence?
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Sí. El radio de convergencia es\(e\).
Usando la serie geométrica, expanda\(\frac{1}{1-x}\) around \(x_0=2\). For what \(x\) does the series converge?
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\(\frac{1}{1-x}=-\frac{1}{1-(2-x)}\)así\(\frac{1}{1-x}=\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^{n+1}(x-2)^{n}\), que converge para\(1<x<3\).
Encuentra la serie Taylor para\(x^7 e^x\) around \(x_0 = 0\).
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\(\sum\limits_{n=7}^\infty \frac{1}{(n-7)!} x^{n}\)
Imagina\(f\) and \(g\) are analytic functions such that \(f^{(k)}(0) = g^{(k)}(0)\) for all large enough \(k\). What can you say about \(f(x)-g(x)\)?
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\(f(x)-g(x)\)es un polinomio. Pista: Use la serie Taylor.
7.2: Soluciones en serie de ODEs lineales de segundo orden
En los siguientes ejercicios, cuando se le pide que resuelva una ecuación usando métodos de series de potencia, se deben encontrar los primeros términos de la serie, y si es posible encontrar una fórmula general para el\(k^{\text{th}}\) coefficient.
Utilice los métodos de la serie de potencia para resolver\(y''+y = 0\) at the point \(x_0 = 1\).
Utilice los métodos de la serie de potencia para resolver\(y''+4xy = 0\) at the point \(x_0 = 0\).
Utilice los métodos de la serie de potencia para resolver\(y''-xy = 0\) at the point \(x_0 = 1\).
Utilice los métodos de la serie de potencia para resolver\(y''+x^2y = 0\) at the point \(x_0 = 0\).
Los métodos funcionan para otros órdenes que no sean de segundo orden. Pruebe los métodos de esta sección para resolver el sistema de primer orden\(y'-xy = 0\) at the point \(x_0 = 0\).
Ecuación de orden de Chebyshev\(p\):
- Resolver\((1-x^2)y''-xy' + p^2y = 0\) using power series methods at \(x_0=0\).
- Para qué\(p\) is there a polynomial solution?
Encuentre una solución polinómica para\((x^2+1) y''-2xy'+2y = 0\) using power series methods.
- Utilice los métodos de la serie de potencia para resolver\((1-x)y''+y = 0\) at the point \(x_0 = 0\).
- Utilice la solución de la parte a) para encontrar una solución para\(xy''+y=0\) around the point \(x_0=1\).
Utilice los métodos de la serie de potencia para resolver\(y'' + 2 x^3 y = 0\) at the point \(x_0 =0\).
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\(a_{2}=0\),\(a_{3}=0\),\(a_{4}=0\), relación de recurrencia (para\(k\geq 5\)):\(a_{k}=\frac{-2a_{k-5}}{k(k-1)}\), entonces\(y(x)=a_{0}+a_{1}x-\frac{a_{0}}{10}x^{5}-\frac{a_{1}}{15}x^{6}+\frac{a_{0}}{450}x^{10}+\frac{a_{1}}{825}x^{11}-\frac{a_{0}}{47250}x^{15}-\frac{a_{1}}{99000}x^{16}+\cdots\)
También podemos usar métodos de series de potencia en ecuaciones no homogéneas.
- Utilice los métodos de la serie de potencia para resolver\(y'' - x y = \frac{1}{1-x}\) at the point \(x_0 = 0\). Hint: Recall the geometric series.
- Ahora resuelve para la condición inicial\(y(0)=0\), \(y'(0) = 0\).
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- \(a_{2}=\frac{1}{2}\), y para\(k\geq 1\) nosotros tenemos\(a_{k}=\frac{a_{k-3}+1}{k(k-1)}\), así\(y(x)=a_{0}+a_{1}x+\frac{1}{2}x^{2}+\frac{a_{0}+1}{6}x^{3}+\frac{a_{1}+1}{12}x^{4}+\frac{3}{40}x^{5}+\frac{a_{0}+2}{30}x^{6}+\frac{a_{1}+2}{42}x^{7}+\frac{5}{112}x^{8}+\frac{a_{0}+3}{72}x^{9}+\frac{a_{1}+3}{90}x^{10}+\cdots\)
- \(y(x)=\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{6}x^{3}+\frac{1}{12}x^{4}+\frac{3}{40}x^{5}+\frac{1}{15}x^{6}+\frac{1}{21}x^{7}+\frac{5}{112}x^{8}+\frac{1}{24}x^{9}+\frac{1}{30}x^{10}+\cdots\)
Intento de resolver ¿\(x^2 y'' - y = 0\) at \(x_0 = 0\) using the power series method of this section (\(x_0\) is a singular point). Puedes encontrar al menos una solución? ¿Puedes encontrar más de una solución?
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Aplicando el método de esta sección directamente obtenemos\(a_{k}=0\) para todos\(k\) y así\(y(x)=0\) es la única solución que encontramos.
7.3: Los puntos singulares y el método de Frobenius
Encuentre una solución particular (tipo Frobenius) de\(x^2 y'' + x y' + (1+x) y = 0\).
Encuentre una solución particular (tipo Frobenius) de\(x y'' - y = 0\).
Encuentre una solución particular (tipo Frobenius) de\(y'' +\frac{1}{x}y' - xy = 0\).
Encuentra la solución general de\(2 x y'' + y' - x^2 y = 0\).
Encuentra la solución general de\(x^2 y'' - x y' -y = 0\).
En las siguientes ecuaciones clasifican el punto\(x=0\) como ordinario, singular regular, o singular pero no singular regular.
- \(x^2(1+x^2)y''+xy=0\)
- \(x^2y''+y'+y=0\)
- \(xy''+x^3y'+y=0\)
- \(xy''+xy'-e^xy=0\)
- \(x^2y''+x^2y'+x^2y=0\)
En las siguientes ecuaciones clasifican el punto\(x=0\) como ordinario, singular regular, o singular pero no singular regular.
- \(y''+y=0\)
- \(x^3y''+(1+x)y=0\)
- \(xy''+x^5y'+y=0\)
- \(\sin(x)y''-y=0\)
- \(\cos(x)y''-\sin(x)y=0\)
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- ordinario,
- singular pero no singular regular,
- singular regular,
- singular regular,
- ordinario.
Encuentra la solución general de\(x^2 y'' -y = 0\).
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\(y=Ax^{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}+Bx^{\frac{1-\sqrt{5}}{2}}\)
Encuentre una solución particular de\(x^2 y'' +(x-\frac{3}{4})y = 0\).
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\(y=x^{3/2}\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{-1}}{k!(k+2)!}x^{k}\)(Tenga en cuenta que por conveniencia no elegimos\(a_{0}=1\).)
Encuentra la solución general de\(x^2 y'' - x y' +y = 0\).
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\(y=Ax+Bx\ln (x)\)