8: Sistemas no lineales
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Las ecuaciones lineales son suficientes en muchas aplicaciones, pero en realidad la mayoría de los fenómenos requieren ecuaciones no lineales. Las ecuaciones no lineales, sin embargo, son notoriamente más difíciles de entender que las lineales, y muchos fenómenos nuevos y extraños aparecen cuando permitimos que nuestras ecuaciones sean no lineales.
- 8.1: Linealización, Puntos Críticos y Equilibrios
- Las ecuaciones no lineales a menudo pueden aproximarse por unas lineales si solo necesitamos una solución “localmente”, por ejemplo, solo por un corto período de tiempo, o solo para ciertos parámetros. Comprender las ecuaciones lineales también puede darnos una comprensión cualitativa sobre un problema no lineal más general. La idea es similar a lo que hiciste en cálculo al tratar de aproximar una función por una línea con la pendiente correcta.
- 8.2: Estabilidad y clasificación de puntos críticos aislados
- Un punto crítico se aísla si es el único punto crítico en algún pequeño “barrio” del punto. Es decir, si nos acercamos lo suficiente es el único punto crítico que vemos. En el ejemplo anterior, se aisló el punto crítico. Si por otro lado hubiera toda una curva de puntos críticos, entonces no estaría aislada.
- 8.3: Aplicaciones de sistemas no lineales
- En esta sección estudiaremos dos ejemplos muy estándar de sistemas no lineales. Primero, veremos la ecuación del péndulo no lineal. Vimos la linealización de la ecuación del péndulo antes, pero notamos que solo era válida para ángulos pequeños y tiempos cortos. Ahora vamos a averiguar qué sucede para los ángulos grandes. A continuación, veremos la ecuación depredador-presa, que encuentra diversas aplicaciones en modelar problemas en biología, química, economía y otros lugares.
- 8.4: Límite de ciclos
- Para los sistemas no lineales, las trayectorias no necesitan simplemente acercarse o dejar un solo punto. De hecho, pueden acercarse a un conjunto más grande, como un círculo u otra curva cerrada.
- 8.5: Caos
- El caos matemático no es realmente un caos, hay un orden preciso detrás de escena. Todo sigue siendo determinista. Sin embargo, un sistema caótico es extremadamente sensible a las condiciones iniciales. Esto también significa que incluso los pequeños errores inducidos a través de la aproximación numérica crean grandes errores muy rápidamente, por lo que es casi imposible aproximarse numéricamente durante largos tiempos. Esto es gran parte del problema ya que los sistemas caóticos no pueden resolverse en general analíticamente.
- 8.E: Ecuaciones no lineales (Ejercicios)
- Estos son ejercicios de tarea para acompañar el mapa de texto “Ecuaciones diferenciales para ingeniería” de Libl. Se trata de un libro de texto dirigido a un primer curso de un semestre sobre ecuaciones diferenciales, dirigido a estudiantes de ingeniería. El requisito previo para el curso es la secuencia básica de cálculo.
Miniaturas: Una animación de péndulo de doble varilla que muestra un comportamiento caótico. Iniciar el péndulo desde una condición inicial ligeramente diferente resultaría en una trayectoria completamente diferente. El péndulo de doble varilla es uno de los sistemas dinámicos más simples que tiene soluciones caóticas. (Dominio público; Catslash).