1.2E: Conceptos Básicos (Ejercicios)

1. Encuentra el orden de la ecuación.

a.\( {d^2y\over dx^2}+2 {dy\over dx}\ {d^3y\over dx^3}+x=0\)

b.\(y''-3y'+2y=x^7\)

c.\(y'-y^7=0\)

d.\(y''y-(y')^2=2\)

2. Verificar que la función sea una solución de la ecuación diferencial en algún intervalo, para cualquier elección de las constantes arbitrarias que aparecen en la función.

a.\(y=ce^{2x}; \quad y'=2y\)

b.\(y= {x^2\over3} +{c\over x}; \quad xy'+y=x^2\)

c.\(y= {1\over2}+ce^{-x^2}; \quad y'+2xy=x\)

d.\(y=(1+ce^{-x^2/2}) (1-ce^{-x^2/2})^{-1} ;\quad 2y'+x(y^2-1)=0\)

e.\(y= {\tan\left( {x^3\over3}+c\right)}; \quad y'=x^2(1+y^2)\)

f.\(y=(c_1+c_2x)e^x+\sin x+x^2; \quad y''-2y'+y=-2 \cos x+x^2-4x+2\)

g.\(y=c_1e^x+c_2x+ {2\over x}; \quad (1-x)y''+xy'- y=4(1-x-x^2)x^{-3}\)

h.\(y=x^{-1/2}(c_1\sin x+c_2 \cos x)+4x+8\);\(x^2y''+xy'+ {\left(x^2-{1\over4}\right)}y=4x^3+8x^2+3x-2\)

3. Encuentra todas las soluciones de la ecuación.

a.\(y'=-x\)

b.\(y'=-x \sin x\)

c.\(y'=x \ln x\)

d.\(y''=x \cos x\)

e.\(y''=2xe^x\)

f.\(y''=2x+\sin x+e^x\)

g.\(y'''=-\cos x\)

h.\(y'''=-x^2+e^x\)

i.\(y'''=7e^{4x}\)

4. Resolver el problema de valor inicial.

a.\(y'=-xe^x, \quad y(0)=1\)

b.\( {y'=x \sin x^2, \quad y\left({\sqrt{\pi\over2}}\right)=1}\)

c.\(y'=\tan x, \quad y(\pi/4)=3\)

d.\(y''=x^4, \quad y(2)=-1, \quad y'(2)=-1\)

e.\(y''=xe^{2x}, \quad y(0)=7, \quad y'(0)=1\)

f.\(y''=- x \sin x, \quad y(0)=1, \quad y'(0)=-3\)

g.\(y'''=x^2e^x, \quad y(0)=1, \quad y'(0)=-2, \quad y''(0)=3\)

h.\(y'''=2+\sin 2x, \quad y(0)=1, \quad y'(0)=-6, \quad y''(0)=3\)

i.\(y'''=2x+1, \quad y(2)=1, \quad y'(2)=-4, \quad y''(2)=7\)

5. Verificar que la función sea una solución del problema de valor inicial.

a.\(y=x\cos x; \quad y'=\cos x-y\tan x, \quad y(\pi/4)= {\pi\over4\sqrt{2}}\)

b.\( {y={1+2\ln x\over x^2}+{1\over2}; \quad y'={x^2-2x^2y+2\over x^3}, \quad y(1)={3\over2}}\)

c.\(y= {\tan\left({x^2\over2}\right)}; \quad y'=x(1+y^2), \quad y(0)=0\)

d.\( {y={2\over x-2}; \quad y'={-y(y+1)\over x}}, \quad y(1)=-2\)

6. Verificar que la función sea una solución del problema de valor inicial.

a.\(y=x^2(1+\ln x); \quad y''= {3xy'-4y\over x^2}, \quad y(e)=2e^2, \quad y'(e)=5e\)

b.\(y= {x^2\over3}+x-1; \quad y''= {x^2-xy'+y+1\over x^2}, \quad y(1)= {1\over3}, \quad y'(1)= {5\over3}\)

c.\(y=(1+x^2)^{-1/2}; \quad y''= {(x^2-1)y-x(x^2+1)y'\over (x^2+1)^2}, \quad y(0)=1, \; y'(0)=0\)

d.\(y= {x^2\over 1-x}; \quad y''= {2(x+y)(xy'-y)\over x^3}, \quad y(1/2)=1/2, \quad y'(1/2)=3\)

7. Supongamos que un objeto es lanzado desde un punto a 320 pies sobre la tierra con una velocidad inicial de 128 pies/seg hacia arriba, y la única fuerza que actúa sobre él a partir de entonces es la gravedad. Tomar\(g=32\) pies/seg\(^2\).

1. Encuentra la mayor altitud alcanzada por el objeto.
2. Determinar cuánto tiempo tarda el objeto en caer al suelo.

8. \(a\)Sea un número real distinto de cero.

1. Verificar que si\(c\) es una constante arbitraria entonces\[y=(x-c)^a \tag{A}\] es una solución de\[y'=ay^{(a-1)/a} \tag{B}\] on\((c,\infty)\).
2. Supongamos\(a<0\) o\(a>1\). ¿Se te ocurre una solución de (B) que no sea de la forma (A)?

9. Verifica que\[\begin{aligned}y= \left\{ \begin{array}{cl} e^x-1,& x \ge 0, \\[6pt] 1-e^{-x},& x < 0, \end{array}\right.\end{aligned}\]

es una solución de

\[\begin{aligned}y'=|y|+1\end{aligned}\]encendido\((-\infty,\infty)\).

10.

(a) Verificar que si\(c\) hay algún número real entonces\[y=c^2+cx+2c+1 \tag{A}\] satisface\[y'={-(x+2)+\sqrt{x^2+4x+4y}\over2} \tag{B}\] en algún intervalo abierto. Identificar el intervalo abierto.

(b) Verificar que\[\begin{aligned}y_1={-x(x+4)\over4}\end{aligned}\] también satisfaga (B) en algún intervalo abierto, e identificar el intervalo abierto. (Tenga en cuenta que no se\(y_1\) puede obtener seleccionando un valor de\(c\) en (A).)