2.1E: Ecuaciones Lineales de Primer Orden (Ejercicios)

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Q2.1.1

En Ejercicios 2.1.1-2.1.5 encuentra la solución general.

1. \(y'+ay=0\)(\(a\)=constante)

2. \(y'+3x^2y=0\)

3. \(xy'+(\ln x)y=0\)

4. \(xy'+3y=0\)

5. \(x^2y'+y=0\)

Q2.1.2

En Ejercicios 2.1.6-2.1.11 resolver el problema de valor inicial.

6. \( {y'+\left({1+x\over x}\right)y=0,\quad y(1)=1}\)

7. \( {xy'+\left(1+{1\over\ln x}\right)y=0,\quad y(e)=1}\)

8. \( {xy'+(1+ x\cot x)y=0,\quad y\left({\pi\over 2} \right)=2}\)

9. \( {y'-\left({2x\over 1+x^2}\right)y=0,\quad y(0)=2}\)

10. \( y'+\frac{k}{x}y=0,\quad y(1)=3\quad(k=\text{constant})\)

11. \( y'+(\tan kx)y=0,\quad y(0)=2\quad (k=\text{constant})\)

Q2.1.3

En Ejercicios 2.1.12-2.1.15 encuentra la solución general. Además, trazar un campo de dirección y algunas curvas integrales en la región rectangular\(\{−2 ≤ x ≤ 2, −2 ≤ y ≤ 2\}\).

12. \(y'+3y=1\)

13. \( {y'+\left({1\over x}- 1\right)y=-{2\over x}}\)

14. \(y'+2xy=xe^{-x^2}\)

15. \( {y'+{2x\over1+x^2}y={e^{-x}\over1+x^2}}\)

Q2.1.4

En Ejercicios 2.1.16-2.1.24 encuentra la solución general.

16. \( {y'+{1\over x}y={7\over x^2}+3}\)

17. \( {y'+{4\over x-1}y = {1\over (x-1)^5}+{\sin x\over (x-1)^4}}\)

18. \(xy'+(1+2x^2)y=x^3e^{-x^2}\)

19. \( {xy'+2y={2\over x^2}+1}\)

20. \(y'+(\tan x)y=\cos x\)

21. \( {(1+x)y'+2y={\sin x \over 1 + x}}\)

22. \((x-2)(x-1)y'-(4x-3)y=(x-2)^3\)

23. \(y'+(2\sin x\cos x) y=e^{-\sin^2x}\)

24. \(x^2y'+3xy=e^x\)

Q2.1.5

En Ejercicios 2.1.25-2.1.29 resolver el problema de valor inicial y bosquejar la gráfica de la solución.

25. \(y'+7y=e^{3x},\quad y(0)=0\)

26. \( {(1+x^2)y'+4xy={2\over 1+x^2},\quad y(0)=1}\)

27. \( {xy'+3y={2\over x(1+x^2)},\quad y(-1)=0}\)

28. \( {y'+ (\cot x)y=\cos x,\quad y\left({\pi\over 2}\right)=1}\)

29. \( {y'+{1\over x}y={2\over x^2}+1,\quad y(-1)=0}\)

Q2.1.6

En Ejercicios 2.1.30-2.1.37, resolver el problema de valor inicial.

30. \( {(x-1)y'+3y={1\over (x-1)^3} + {\sin x\over (x-1)^2},\quad y(0)=1}\)

31. \(xy'+2y=8x^2,\quad y(1)=3\)

32. \(xy'-2y=-x^2,\quad y(1)=1\)

33. \(y'+2xy=x,\quad y(0)=3\)

34. \( {(x-1)y'+3y={1+(x-1)\sec^2x\over (x-1)^3},\quad y(0)=-1}\)

35. \( {(x+2)y'+4y={1+2x^2\over x(x+2)^3},\quad y(-1)=2}\)

36. \((x^2-1)y'-2xy=x(x^2-1),\quad y(0)=4\)

37. \((x^2-5)y'-2xy=-2x(x^2-5),\quad y(2)=7\)

Q2.1.7

En Ejercicios 2.1.28-2.1.42 resolver el problema de valor inicial y dejar la respuesta en una forma que involucra una integral definida. (Se pueden resolver estos problemas numéricamente por métodos discutidos en el Capítulo 3.)

38. \(y'+2xy=x^2,\quad y(0)=3\)

39. \( {y'+{1\over x}y={\sin x\over x^2},\quad y(1)=2}\)

40. \( {y'+y={e^{-x}\tan x\over x},\quad y(1)=0}\)

41. \( {y'+{2x\over 1+x^2}y={e^x\over (1+x^2)^2}, \quad y(0)=1}\)

42. \(xy'+(x+1)y=e^{x^2},\quad y(1)=2\)

43. Los experimentos indican que la glucosa es absorbida por el cuerpo a una velocidad proporcional a la cantidad de glucosa presente en el torrente sanguíneo. Dejar\(\lambda\) denotar la constante (positiva) de proporcionalidad. Ahora supongamos que la glucosa se inyecta en el torrente sanguíneo de un paciente a un ritmo constante de\(r\) unidades por unidad de tiempo. Dejar\(G=G(t)\) ser el número de unidades en el torrente sanguíneo del paciente a la vez\(t>0\). Entonces\[G'=-\lambda G+r,\] donde el primer término a la derecha se debe a la absorción de la glucosa por el cuerpo del paciente y el segundo término se debe a la inyección. Determinar\(G\) para\(t>0\), dado eso\(G(0)=G_0\). También, encuentra\(\lim_{t\to\infty}G(t)\).

44.

(a) Trazar un campo de dirección y algunas curvas integrales\[xy'-2y=-1 \tag{A} \] en la región rectangular\(\{-1\le x\le 1, -.5\le y\le 1.5\}\). ¿Qué tienen en común todas las curvas integrales?

(b) Demostrar que la solución general de (A) on\((-\infty,0)\) y\((0,\infty)\) es

\[y={1\over2}+cx^2.\]

(c) Demostrar que\(y\) es una solución de (A) sobre\((-\infty,\infty)\) si y sólo si\[y=\left\{\begin{array}{ll} {{1\over2}+c_1x^2}, &x \ge 0,\\[4pt] {{1\over2}+c_2x^2}, &x < 0,\end{array}\right.\] donde\(c_1\) y\(c_2\) son constantes arbitrarias.

d) Concluir de c que todas las soluciones de (A) on\((-\infty,\infty)\) son soluciones del problema de valor inicial\[xy'-2y=-1,\quad y(0)={1\over2}.\]

(e) Utilice (b) para mostrar que si\(x_0\ne0\) y\(y_0\) es arbitrario, entonces el problema del valor inicial\[xy'-2y=-1,\quad y(x_0)=y_0\] tiene infinitamente muchas soluciones on (\(-\infty,\infty\)). Explique por qué esto no contradice el Teorema 2.1.1.

45. Supongamos\(f\) is continuous on an open interval \((a,b)\) and \(\alpha\) is a constant.

a) Derivar una fórmula para la solución del problema del valor inicial

\[y'+\alpha y=f(x),\quad y(x_0)=y_0, \tag{A} \]

donde\(x_0\) está en\((a,b)\) y\(y_0\) es un número real arbitrario.

b) Supongamos\((a,b)=(a,\infty)\),\(\alpha > 0\) y\(\displaystyle{\lim_{x\to\infty} f(x)=L}\). Demostrar que si\(y\) es la solución de (A), entonces\(\displaystyle{\lim_{x\to \infty} y(x)=L/\alpha}\).

46. Supongamos que todas las funciones de este ejercicio están definidas en un intervalo común\((a,b)\).

a) Demostrar: Si\(y_1\) y\(y_2\) son soluciones de

\[y'+p(x)y=f_1(x)\]

\[y'+p(x)y=f_2(x)\]

respectivamente, y\(c_1\) y\(c_2\) son constantes, entonces\(y=c_1y_1+c_2y_2\) es una solución de

\[y'+p(x)y=c_1f_1(x)+c_2f_2(x).\]

(Este es el principio de superposición.)

b) Utilizar (a) para demostrar que si\(y_1\) y\(y_2\) son soluciones de la ecuación no homogénea

\[y'+p(x)y=f(x), \quad{\rm (A)}\]

entonces\(y_1-y_2\) es una solución de la ecuación homogénea

\[y'+p(x)y=0. \quad{\rm (B)}\]

(c) Utilizar (a) para demostrar que si\(y_1\) es una solución de (A) y\(y_2\) es una solución de (B), entonces\(y_1+y_2\) es una solución de (A).

47. Algunas ecuaciones no lineales se pueden transformar en ecuaciones lineales cambiando la variable dependiente. Demuestre que si

\[g'(y)y'+p(x)g(y)=f(x)\]

donde\(y\) es una función de\(x\) y\(g\) es una función de\(y\), entonces la nueva variable dependiente\(z=g(y)\) satisface la ecuación lineal

\[z'+p(x)z=f(x).\]

48. Resolver por el método discutido en el Ejercicio 47.

(a)\((\sec^2y)y'- 3\tan y=-1\)

b)\( {e^{y^2}\left(2yy'+ {2\over x}\right) ={1\over x^2}}\)

c)\( {{xy'\over y} + 2\ln y=4x^2}\)

(d)\( {{y'\over (1+y)^2} - {1\over x(1+y)}=-{3\over x^2}}\)

49. Hemos demostrado que si\(p\) y\(f\) son continuos en\((a,b)\) entonces cada solución de

\[y'+p(x)y=f(x) \tag{A}\]

on se\((a,b)\) puede escribir como\(y=uy_1\), donde\(y_1\) es una solución no trivial de la ecuación complementaria para (A) y\(u'=f/y_1\). Ahora supongamos\(f\)\(f'\),,...,\(f^{(m)}\) y\(p\)\(p'\),,...,\(p^{(m-1)}\) son continuos en\((a,b)\), donde\(m\) es un entero positivo, y definir

\[\begin{aligned} f_0&=f,\\ f_j&=f_{j-1}'+pf_{j-1},\quad 1\le j\le m.\end{aligned}\]

Demostrar que

\[u^{(j+1)}={f_j\over y_1},\quad 0\le j\le m.\]