2.3E: Existencia y singularidad de soluciones de ecuaciones no lineales (ejercicios)

Q2.3.1

En Ejercicios 2.3.1-2.3.13, encontrar todos\((x_0,y_0)\) para los cuales Teorema 2.3.1 implica que el problema de valor inicial\(y'=f(x,y),\ y(x_0)=y_0\) tiene (a) una solución y (b) una solución única en algún intervalo abierto que contiene\(x_0\).

1. \( {y'={x^2+y^2 \over \sin x}}\)

2. \( {y'={e^x+y \over x^2+y^2}}\)

3. \(y'= \tan xy\)

4. \( {y'={x^2+y^2 \over \ln xy}}\)

5. \(y'= (x^2+y^2)y^{1/3}\)

6. \(y'=2xy\)

7. \( {y'=\ln(1+x^2+y^2)}\)

8. \( {y'={2x+3y \over x-4y}}\)

9. \( {y'=(x^2+y^2)^{1/2}}\)

10. \(y' = x(y^2-1)^{2/3}\)

11. \(y'=(x^2+y^2)^2\)

12. \(y'=(x+y)^{1/2}\)

13. \( {y'={\tan y \over x-1}}\)

Q2.3.2

14. Aplicar el Teorema 2.3.1 al problema de valor inicial\[y'+p(x)y = q(x), \quad y(x_0)=y_0\] para una ecuación lineal, y comparar las conclusiones que se pueden extraer de ella con las que se derivan del Teorema 2.1.2.

15.

1. Verifique que la función\[y = \left\{ \begin{array}{cl} (x^2-1)^{5/3}, & -1 < x < 1, \\[6pt] 0, & |x| \ge 1, \end{array} \right.\] sea una solución del problema de valor inicial\[y'={10\over 3}xy^{2/5}, \quad y(0)=-1\] en\((-\infty,\infty)\). SUMINISTRO: Necesitará la definición\[y'(\overline{x})=\lim_{x\to\overline{x}}\frac{y(x)-y(\overline{x})}{x-\overline{x}}\] para verificar que\(y\) satisfaga la ecuación diferencial en\(\overline{x}=\pm 1\).
2. Verificar que si\(\epsilon_i=0\) o\(1\) para\(i=1\),\(2\) y\(a\)\(b>1\), entonces la función\[y = \left\{ \begin{array}{cl} \epsilon_1(x^2-a^2)^{5/3}, & - \infty < x < -a, \\[6pt] 0, & -a \le x \le -1, \\[6pt] (x^2-1)^{5/3}, & -1 < x < 1, \\[6pt] 0, & 1 \le x \le b, \\[6pt] \epsilon_2(x^2-b^2)^{5/3}, & b < x < \infty, \end{array} \right.\] es una solución del problema de valor inicial de un on\((-\infty,\infty)\).

16. Utilice las ideas desarrolladas en el Ejercicio 2.3.15 para encontrar infinitamente muchas soluciones del problema de valor inicial\[y'=y^{2/5}, \quad y(0)=1\] en\((-\infty,\infty)\).

17. Considerar el problema de valor inicial\[y' = 3x(y-1)^{1/3}, \quad y(x_0) = y_0. \tag{A} \]

1. ¿Para qué puntos\((x_0,y_0)\) implica el Teorema 2.3.1 que (A) tiene una solución?
2. ¿Para qué puntos\((x_0,y_0)\) implica el Teorema 2.3.1 que (A) tiene una solución única en algún intervalo abierto que contiene\(x_0\)?

18. Encuentra nueve soluciones del problema de valor inicial\[y'=3x(y-1)^{1/3}, \quad y(0)=1\] que están todas definidas\((-\infty,\infty)\) y difieren entre sí para valores de\(x\) en cada intervalo abierto que contiene\(x_0=0\).

19. Del Teorema 2.3.1, el problema del valor inicial\[y'=3x(y-1)^{1/3}, \quad y(0)=9\] tiene una solución única en un intervalo abierto que contiene\(x_0=0\). Encuentre la solución y determine el intervalo abierto más grande en el que es único.

20.

1. Del Teorema 2.3.1, el problema del valor inicial\[y'=3x(y-1)^{1/3}, \quad y(3)=-7 \tag{A} \] tiene una solución única en algún intervalo abierto que contiene\(x_0=3\). Determine el intervalo abierto más grande y encuentre la solución en este intervalo.
2. Encuentra infinitamente muchas soluciones de (A), todas definidas en\((-\infty,\infty)\).

21. Demostrar:

1. Si\[f(x,y_0) = 0,\quad a<x<b, \tag{A} \] y\(x_{0}\) está en\((a,b)\), entonces\(y≡y_{0}\) es una solución de\[\begin{aligned} y'=f(x,y),\quad y(x_{0})=y_{0}\end{aligned}\] on\((a,b)\).
2. Si\(f\) y\(f_y\) son continuos en un rectángulo abierto que contiene\((x_0,y_0)\) y (A) sostiene, ninguna solución\(y'=f(x,y)\) distinta a\(y\equiv y_0\) puede igualar\(y_0\) en ningún punto en\((a,b)\).