2.5: Ecuaciones Exactas
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En esta sección es conveniente escribir ecuaciones diferenciales de primer orden en la forma
\[\label{eq:2.5.1} M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0.\]
Esta ecuación puede interpretarse como
\[\label{eq:2.5.2} M(x,y)+N(x,y)\,{dy\over dx}=0,\]
donde\(x\) es la variable independiente y\(y\) es la variable dependiente, o como
\[\label{eq:2.5.3} M(x,y)\,{dx\over dy}+N(x,y)=0,\]
donde\(y\) es la variable independiente y\(x\) es la variable dependiente. Dado que las soluciones de Ecuación\ ref {eq:2.5.2} y Ecuación\ ref {eq:2.5.3} muchas veces tendrán que dejarse en forma implícita diremos que\(F(x,y)=c\) es una solución implícita de la Ecuación\ ref {eq:2.5.1} si cada función diferenciable\(y=y(x)\) que satisface\(F(x,y)=c\) es una solución de Ecuación\ ref {eq:2.5.2} y cada función diferenciable\(x=x(y)\) que satisface\(F(x,y)=c\) es una solución de Ecuación\ ref {eq:2.5.3}
Aquí hay algunos ejemplos:
| Ecuación\ ref {eq:2.5.1} | Ecuación\ ref {eq:2.5.2} | Ecuación\ ref {eq:2.5.3} |
|---|---|---|
| \(3x^2y^2\,dx+2x^3y\,dy =0\) | \(3x^2y^2+2x^3y\, {dy\over dx} =0\) | \(3x^2y^2\, {dx\over dy}+2x^3y=0\) |
| \((x^2+y^2)\,dx +2xy\,dy=0\) | \((x^2+y^2)+2xy\, {dy\over dx}=0\) | \((x^2+y^2)\, {dx\over dy} +2xy=0\) |
| \(3y\sin x\,dx-2xy\cos x\,dy =0\) | \(3y\sin x-2xy\cos x\, {dy\over dx} =0\) | \(3y\sin x\, {dx\over dy}-2xy\cos x =0\) |
Tenga en cuenta que una ecuación separable puede escribirse como Ecuación\ ref {eq:2.5.1} como
\[M(x)\,dx+N(y)\,dy=0. \nonumber\]
desarrollaremos un método para resolver la Ecuación\ ref {eq:2.5.1} bajo supuestos apropiados sobre\(M\) y\(N\). Este método es una extensión del método de separación de variables. Antes de expresarlo consideramos un ejemplo.
Demostrar que
\[\label{eq:2.5.4} x^4y^3+x^2y^5+2xy=c \]
es una solución implícita de
\[\label{eq:2.5.5} (4x^3y^3+2xy^5+2y)\,dx+(3x^4y^2+5x^2y^4+2x)\,dy=0. \]
Solución
Respecto\(y\) como una función\(x\) y diferenciación de la Ecuación\ ref {eq:2.5.4} implícitamente con respecto a\(x\) rendimientos
\[(4x^3y^3+2xy^5+2y)+(3x^4y^2+5x^2y^4+2x)\,{dy\over dx}=0. \nonumber\]
Del mismo modo, considerando\(x\) como una función\(y\) y diferenciando la Ecuación\ ref {eq:2.5.4} implícitamente con respecto a\(y\) rendimientos
\[(4x^3y^3+2xy^5+2y){dx\over dy}+(3x^4y^2+5x^2y^4+2x)=0. \nonumber\]
Por lo tanto, la Ecuación\ ref {eq:2.5.4} es una solución implícita de la Ecuación\ ref {eq:2.5.5} en cualquiera de sus dos posibles interpretaciones.
Puedes pensar que Example 2.5.1 no tiene sentido, ya que inventar una ecuación diferencial que tenga una solución implícita dada no es particularmente interesante. Sin embargo, ilustra el siguiente teorema importante, que probaremos mediante el uso de diferenciación implícita, como en Ejemplo 2.5.1 .
Si\(F=F(x,y)\) tiene derivadas parciales continuas\(F_x\) y\(F_y\), entonces
\[\label{eq:2.5.6} F(x,y)=c \]
(con\(c\) como constante) es una solución implícita de la ecuación diferencial
\[\label{eq:2.5.7} F_x(x,y)\,dx+F_y(x,y)\,dy=0.\]
- Prueba
-
Respecto\(y\) como una función\(x\) y diferenciación de la Ecuación\ ref {eq:2.5.6} implícitamente con respecto a\(x\) rendimientos
\[F_x(x,y)+F_y(x,y)\,{dy\over dx}=0. \nonumber\]
Por otro lado, considerando\(x\) como una función\(y\) y diferenciando la Ecuación\ ref {eq:2.5.6} implícitamente con respecto a\(y\) rendimientos
\[F_x(x,y)\,{dx\over dy}+F_y(x,y)=0. \nonumber\]
Así, la Ecuación\ ref {eq:2.5.6} es una solución implícita de la Ecuación\ ref {eq:2.5.7} en cualquiera de sus dos posibles interpretaciones.
Vamos a decir que la ecuación
\[\label{eq:2.5.8} M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0\]
es exacto en un rectángulo abierto\(R\) si hay una función\(F=F(x,y)\) tal\(F_x\) y\(F_y\) son continuas, y
\[\label{eq:2.5.9} F_x(x,y)=M(x,y) \quad \text{and} \quad F_y(x,y)=N(x,y)\]
para todos\((x,y)\) en\(R\). Este uso de “exact” está relacionado con su uso en cálculo, donde la expresión
\[F_x(x,y)\,dx+F_y(x,y)\,dy\nonumber \]
(obtenido sustituyendo la Ecuación\ ref {eq:2.5.9} en el lado izquierdo de la Ecuación\ ref {eq:2.5.8}) es el diferencial exacto de\(F\).
El ejemplo 2.5.1 muestra que es fácil resolver la Ecuación\ ref {eq:2.5.8} si es exacta y conocemos una función\(F\) que satisface la Ecuación\ ref {eq:2.5.9}. Las preguntas importantes son:
- Pregunta 1. Dada una ecuación Ecuación\ ref {eq:2.5.8}, ¿cómo podemos determinar si es exacta?
- Pregunta 2. Si la Ecuación\ ref {eq:2.5.8} es exacta, ¿cómo encontramos una función que\(F\) satisface la Ecuación\ ref {eq:2.5.9}?
Para descubrir la respuesta a la Pregunta 1, supongamos que hay una función\(F\) que satisface la Ecuación\ ref {eq:2.5.9} en algún rectángulo abierto\(R\), y además que\(F\) tiene derivadas parciales mixtas continuas\(F_{xy}\) y\(F_{yx}\). Entonces un teorema del cálculo implica que\[\label{eq:2.5.10} F_{xy}=F_{yx}.\] si\(F_x=M\) y\(F_y=N\), diferenciando la primera de estas ecuaciones con respecto a\(y\) y la segunda con respecto a\(x\) rendimientos
\[\label{eq:2.5.11} F_{xy}=M_y \quad \text{and} \quad F_{yx}=N_x.\]
De la Ecuación\ ref {eq:2.5.10} y la Ecuación\ ref {eq:2.5.11}, concluimos que una condición necesaria para la exactitud es esa\(M_y=N_x\). Esto motiva el siguiente teorema, que declaramos sin pruebas.
Supongamos\(M\) y\(N\) son continuos y tienen derivadas parciales continuas\(M_y\) y\(N_x\) sobre un rectángulo abierto\(R.\) Entonces
\[M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0\nonumber \]
es exacto en\(R\) si y solo si
\[\label{eq:2.5.12} M_y(x,y)=N_x(x,y)\]
para todos\((x,y)\) en\(R.\).
Para ayudarle a recordar la condición de exactitud, observe que los coeficientes de\(dx\) y\(dy\) se diferencian en la Ecuación\ ref {eq:2.5.12} con respecto a las variables “opuestas”; es decir, el coeficiente de\(dx\) se diferencia con respecto a\(y\), mientras que el coeficiente de \(dy\)se diferencia con respecto a\(x\).
Demostrar que la ecuación
\[3x^2y\,dx+4x^3\,dy=0\nonumber \]
no es exacto en ningún rectángulo abierto.
Solución
Aquí
\[M(x,y)=3x^2y \quad \text{and} \quad N(x,y)=4x^3 \nonumber\]
por lo
\[M_y(x,y)=3x^2 \quad \text{and} N_x(x,y)=12 x^2. \nonumber\]
Por lo tanto\(M_y=N_x\) en la línea\(x=0\), pero no en ningún rectángulo abierto, así que no hay ninguna función\(F\) tal que\(F_x(x,y)=M(x,y)\) y\(F_y(x,y)=N(x,y)\) para todos\((x,y)\) en cualquier rectángulo abierto.
El siguiente ejemplo ilustra dos métodos posibles para encontrar una función\(F\) que satisfaga la condición\(F_x=M\) y\(F_y=N\) si\(M\,dx+N\,dy=0\) es exacta.
Resolver
\[\label{eq:2.5.13} (4x^3y^3+3x^2)\,dx+(3x^4y^2+6y^2)\,dy=0.\]
Solución (Método 1)
Aquí\[M(x,y)=4x^3y^3+3x^2,\quad N(x,y)=3x^4y^2+6y^2,\nonumber \] y\[M_y(x,y)=N_x(x,y)=12 x^3y^2\nonumber \] para todos\((x,y)\). Por lo tanto, el teorema 2.5.2 implica que hay una función\(F\) tal que
\[\label{eq:2.5.14} F_x(x,y)=M(x,y)=4x^3y^3+3x^2\]
y
\[\label{eq:2.5.15} F_y(x,y)=N(x,y)=3x^4y^2+6y^2\]
para todos\((x,y)\). Para encontrar\(F\), integramos la Ecuación\ ref {eq:2.5.14} con respecto\(x\) a obtener
\[\label{eq:2.5.16} F(x,y)=x^4y^3+x^3+\phi(y),\]
donde\(\phi (y)\) está la “constante” de integración. (Aquí\(\phi\) es “constante” en que es independiente de\(x\), la variable de integración.) Si\(\phi\) es alguna función diferenciable de\(y\) entonces\(F\) satisface la Ecuación\ ref {eq:2.5.14}. Para determinar de\(\phi\) manera que\(F\) también satisfaga la Ecuación\ ref {eq:2.5.15}, asumir que\(\phi\) es diferenciable y diferenciarse\(F\) con respecto a\(y\). Esto rinde
\[F_y(x,y)=3x^4y^2+\phi'(y). \nonumber\]
Comparando esto con la Ecuación\ ref {eq:2.5.15} muestra que
\[\phi'(y)=6y^2. \nonumber\]
Integramos esto con respecto\(y\) y tomamos la constante de integración a cero porque sólo nos interesa encontrar algunas\(F\) que satisfaga la Ecuación\ ref {eq:2.5.14} y la Ecuación\ ref {eq:2.5.15}. Esto rinde
\[\phi (y)=2y^3. \nonumber\]
Sustituyendo esto en la ecuación\ ref {eq:2.5.16} rendimientos
\[\label{eq:2.5.17} F(x,y)=x^4y^3+x^3+2y^3.\]
Ahora Teorema 2.5.1 implica que\[x^4y^3+x^3+2y^3=c\nonumber \] es una solución implícita de la Ecuación\ ref {eq:2.5.13}. Resolver esto para\(y\) arroja la solución explícita
\[y=\left(c-x^3\over2+x^4\right)^{1/3}. \nonumber\]
Solución (Método 2)
En lugar de integrar primero la Ecuación\ ref {eq:2.5.14} con respecto a\(x\), podríamos comenzar integrando la Ecuación\ ref {eq:2.5.15} con respecto\(y\) a obtener
\[\label{eq:2.5.18} F(x,y)=x^4y^3+2y^3+\psi (x),\]
donde\(\psi\) es una función arbitraria de\(x\). Para determinar\(\psi\), asumimos que\(\psi\) es diferenciable y diferenciarse\(F\) con respecto a\(x\), que rinde
\[F_x(x,y)=4x^3y^3+\psi'(x). \nonumber\]
Al comparar esto con la ecuación\ ref {eq:2.5.14} se muestra que
\[\psi'(x)=3x^2. \nonumber\]
Integrando esto y tomando de nuevo la constante de integración para ser cero rendimientos
\[\psi(x)=x^3. \nonumber\]
Sustituyendo esto en la Ecuación\ ref {eq:2.5.18} produce la Ecuación\ ref {eq:2.5.17}.
La Figura 2.5.1 muestra un campo de dirección y algunas curvas integrales de la Ecuación\ ref {eq:2.5.13}.
Aquí hay un resumen del procedimiento utilizado en el Método 1 de este ejemplo. Debe resumir el procedimiento utilizado en el Método 2.
- Paso 1. Verifique que la ecuación\[\label{eq:2.5.19} M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0\] satisfaga la condición de exactitud\(M_y=N_x\). Si no, no vayas más allá con este procedimiento.
- Paso 2. Integrar\[{\partial F(x,y)\over\partial x}=M(x,y)\nonumber \] con respecto\(x\) a obtener\[\label{eq:2.5.20} F(x,y)=G(x,y)+\phi(y),\] donde\(G\) es un antiderivado de\(M\) con respecto a\(x\), y\(\phi\) es una función desconocida de\(y\).
- Paso 3. Diferenciar Ecuación\ ref {eq:2.5.20} con respecto\(y\) a obtener\[{\partial F(x,y)\over\partial y}={\partial G(x,y)\over\partial y}+\phi'(y). \nonumber\]
- Paso 4. Equiparar el lado derecho de esta ecuación\(N\) y resolver para\(\phi'\); así,\[{\partial G(x,y)\over\partial y}+\phi'(y)=N(x,y), \quad \text{so} \quad \phi'(y)=N(x,y)-{\partial G(x,y)\over\partial y}. \nonumber\]
- Paso 5. Integrar\(\phi'\) con respecto a\(y\), tomando la constante de integración como cero, y sustituir el resultado en la Ecuación\ ref {eq:2.5.20} para obtener\(F(x,y)\).
- Paso 6. Establecer\(F(x,y)=c\) para obtener una solución implícita de la Ecuación\ ref {eq:2.5.19}. Si es posible, resolver para\(y\) explícitamente en función de\(x\).
Es un error común omitir el Paso 6 en el procedimiento anterior. Sin embargo, es importante incluir este paso, ya que F no es en sí misma una solución de la Ecuación\ ref {eq:2.5.19}. Muchas ecuaciones pueden resolverse convenientemente por cualquiera de los dos métodos utilizados en el Ejemplo 2.5.3 . Sin embargo, a veces la integración requerida en un enfoque es más difícil que en el otro. En tales casos elegimos el enfoque que requiere la integración más fácil.
Resolver la ecuación
\[\label{eq:2.5.21} \left( y e ^ { x y } \tan x + e ^ { x y } \sec ^ { 2 } x \right) d x + x e ^ { x y } \tan x \, dy = 0\]
Solución
Te dejamos que compruebes eso\(M_y = N_x\) en cualquier rectángulo abierto donde\(\tan x\) y\(\sec x\) estén definidos. Aquí debemos encontrar una función F tal que
\[\label{eq:2.5.22} F_x(x, y) = ye^{xy} \tan x + e^{xy} \sec^2 x\]
y
\[\label{eq:2.5.23} F_y(x, y) = xe^{xy} \tan x. \]
Es difícil integrar la Ecuación\ ref {eq:2.5.22} con respecto a\(x\), pero fácil de integrar Ecuación\ ref {eq:2.5.23} con respecto a\(y\). Esto rinde
\[\label{eq:2.5.24} F(x, y) = e^{xy} \tan x + \psi(x). \]
Diferenciando esto con respecto a\(x\) los rendimientos
\[F_x(x, y) = y e^{xy} \tan x + e^{xy} \sec^2 x + \psi'(x). \nonumber\]
Al comparar esto con la ecuación\ ref {eq:2.5.22} se demuestra que\(\psi'(x) = 0\). De ahí,\(\psi\) es una constante, que podemos tomar para ser cero en la Ecuación\ ref {eq:2.5.24}, y
\[e^{xy} \tan x = c, \nonumber\]
es una solución implícita de la Ecuación\ ref {eq:2.5.21}.
Intentar aplicar nuestro procedimiento a una ecuación diferencial que no sea exacta conducirá al fracaso en el Paso 4, ya que la función
\[N - \frac { \partial G } { \partial y } \nonumber\]
no será independiente de\(x\) si\(M_y \neq N_x\), y por lo tanto no puede ser derivado de una función de\(y\) por sí sola. El ejemplo 2.5.5 ilustra esto.
Verificar que la ecuación
\[\label{eq:2.5.25} 3x^2y^2\,dx+6x^3y\,dy=0\]
no es exacto, y muestran que el procedimiento para resolver ecuaciones exactas falla cuando se aplica a la Ecuación\ ref {eq:2.5.25}.
Solución
Aquí\[M_y(x,y)=6x^2y \quad \text{and} \quad N_x(x,y)=18x^2y,\nonumber \]
así que la ecuación\ ref {eq:2.5.25} no es exacta. Sin embargo, intentemos encontrar una función\(F\) tal que
\[\label{eq:2.5.26} F_x(x,y)=3x^2y^2\]
y
\[\label{eq:2.5.27} F_y(x,y)=6x^3y.\]
Ecuación integradora\ ref {eq:2.5.26} con respecto a\(x\) rendimientos
\[F(x,y)=x^3y^2+\phi(y), \nonumber\]
y diferenciando esto con respecto a\(y\) los rendimientos
\[F_y(x,y)=2x^3y+\phi'(y). \nonumber\]
Para que esta ecuación sea consistente con la ecuación\ ref {eq:2.5.27},
\[6x^3y=2x^3y+\phi'(y), \nonumber\]
o
\[\phi'(y)=4x^3y. \nonumber\]
Esto es una contradicción, ya que\(\phi'\) debe ser independiente de\(x\). Por lo tanto, el procedimiento falla.