2.5E: Ecuaciones Exactas (Ejercicios)

Q2.5.1

En Ejercicios 2.5.1-2.5.17 determinar qué ecuaciones son exactas y resolverlas.

1. \(6x^2y^2\,dx+4x^3y\,dy=0\)

2. \((3y\cos x+4xe^x+2x^2e^x)\,dx+(3\sin x+3)\,dy=0\)

3. \(14x^2y^3\,dx+21 x^2y^2\,dy=0\)

4. \((2x-2y^2)\,dx+(12y^2-4xy)\,dy=0\)

5. \((x+y)^2\,dx+(x+y)^2\,dy=0\)

6. \((4x+7y)\,dx+(3x+4y)\,dy=0\)

7. \((-2y^2\sin x+3y^3-2x)\,dx+(4y\cos x+9xy^2)\,dy=0\)

8. \((2x+y)\,dx+(2y+2x)\,dy=0\)

9. \((3x^2+2xy+4y^2)\,dx+(x^2+8xy+18y)\,dy=0\)

10. \((2x^2+8xy+y^2)\,dx+(2x^2+xy^3/3)\,dy=0\)

11. \( {\left({1\over x}+2x\right)\,dx+ \left({1\over y}+2y\right)\,dy=0}\)

12. \((y\sin xy+xy^2\cos xy)\,dx+(x\sin xy+xy^2\cos xy)\,dy=0\)

13. \( {{x\,dx\over(x^2+y^2)^{3/2}}+{y\,dy \over(x^2+y^2)^{3/2}}=0}\)

14. \(\left(e^x(x^2y^2+2xy^2)+6x\right)\,dx+(2x^2ye^x+2)\,dy=0\)

15. \(\left(x^2e^{x^2+y}(2x^2+3)+4x\right)\,dx+(x^3e^{x^2+y}-12y^2)\,dy=0\)

16. \(\left(e^{xy}(x^4y+4x^3)+3y\right)\,dx+(x^5e^{xy}+3x)\,dy=0\)

17. \((3x^2\cos xy-x^3y\sin xy+4x)\,dx+(8y-x^4\sin xy)\,dy=0\)

Q2.5.2

En Ejercicios 2.5.18-2.5.22 resolver el problema de valor inicial.

18. \((4x^3y^2-6x^2y-2x-3)\,dx+(2x^4y-2x^3)\,dy=0,\quad y(1)=3\)

19. \((-4y\cos x+4\sin x\cos x+\sec^2x)\,dx+ (4y-4\sin x)\,dy=0,\quad y(\pi/4)=0\)

20. \((y^3-1)e^x\,dx+3y^2(e^x+1)\,dy=0,\quad y(0)=0\)

21. \((\sin x-y\sin x-2\cos x)\,dx+\cos x\,dy=0,\quad y(0)=1\)

22. \((2x-1)(y-1)\,dx+(x+2)(x-3)\,dy=0,\quad y(1)=-1\)

Q2.5.3

23. Resolver la ecuación exacta\[(7x+4y)\,dx+(4x+3y)\,dy=0.\nonumber \] Trazar un campo de dirección y algunas curvas integrales para esta ecuación en el rectángulo\[\{-1\le x\le1,-1\le y\le1\}.\nonumber \]

24. Resolver la ecuación exacta\[e^x(x^4y^2+4x^3y^2+1)\,dx+(2x^4ye^x+2y)\,dy=0.\nonumber \] Trazar un campo de dirección y algunas curvas integrales para esta ecuación en el rectángulo\[\{-2\le x\le2,-1\le y\le1\}.\nonumber \]

25. Trazar un campo de dirección y algunas curvas integrales para la ecuación exacta\[(x^3y^4+x)\,dx+(x^4y^3+y)\,dy=0\nonumber \] en el rectángulo\(\{-1\le x\le 1,-1\le y\le1\}\). (Ver Ejercicio 2.5.37 a)).

26. Trazar un campo de dirección y algunas curvas integrales para la ecuación exacta\[(3x^2+2y)\,dx+(2y+2x)\,dy=0\nonumber \] en el rectángulo\(\{-2\le x\le 2,-2\le y\le2\}\). (Ver E xercise 2.5.37 b)).

27.

1. Resolver la ecuación exacta\[(x^3y^4+2x)\,dx+(x^4y^3+3y)\,dy=0 \tag{A} \] implícitamente.
2. ¿Para qué opciones de\((x_0,y_0)\) Teorema 2.3.1 implica que el problema de valor inicial\[(x^3y^4+2x)\,dx+(x^4y^3+3y)\,dy=0,\quad y(x_0)=y_0, \tag{B}\] tiene una solución única en un intervalo abierto\((a,b)\) que contiene\(x_0\)?
3. Trazar un campo de dirección y algunas curvas integrales para (A) en una región rectangular centrada en el origen. ¿Cuál es el intervalo de validez de la solución de (B)?

28.

1. Resolver la ecuación exacta\[(x^2+y^2)\,dx+2xy\,dy=0 \tag{A} \] implícitamente.
2. ¿Para qué opciones de\((x_0,y_0)\) Teorema 2.3.1 implica que el problema del valor inicial\[(x^2+y^2)\,dx+2xy\,dy=0,\quad y(x_0)=y_0, \tag{B} \] tiene una solución única\(y=y(x)\) en algún intervalo abierto\((a,b)\) que contiene\(x_0\)?
3. Trazar un campo de dirección y algunas curvas integrales para (A). De la parcela determinar, el intervalo\((a,b)\) de b, las propiedades de monotonicidad (si las hubiera) de la solución de (B), y\(\lim_{x\to a+}y(x)\) y\(\lim_{x\to b-}y(x)\).

29. Encuentra todas las funciones de\(M\) tal manera que la ecuación sea exacta.

1. \(M(x,y)\,dx+(x^2-y^2)\,dy=0\)
2. \(M(x,y)\,dx+2xy\sin x\cos y\,dy=0\)
3. \(M(x,y)\,dx+(e^x-e^y\sin x)\,dy=0\)

30. Encuentra todas las funciones de\(N\) tal manera que la ecuación sea exacta.

1. \((x^3y^2+2xy+3y^2)\,dx+N(x,y)\,dy=0\)
2. \((\ln xy+2y\sin x)\,dx+N(x,y)\,dy=0\)
3. \((x\sin x+y\sin y)\,dx+N(x,y)\,dy=0\)

31. Supongamos\(M,N,\) y sus derivadas parciales son continuas sobre un rectángulo abierto\(R\), y\(G\) es una antiderivada de\(M\) con respecto a\(x\); es decir,\[{\partial G\over\partial x}=M.\nonumber \] Mostrar que si\(M_y\ne N_x\) en\(R\) entonces la función no\[N-{\partial G\over\partial y}\nonumber \] es independiente de\(x\).

32. Demostrar: Si las ecuaciones\(M_1\,dx+N_1\,dy=0\) y\(M_2\, dx+N_2\,dy=0\) son exactas en un rectángulo abierto\(R\), también lo es la ecuación\[(M_1+M_2)\,dx+(N_1+N_2)\,dy=0.\nonumber \]

33. Encuentra condiciones sobre las constantes\(A\),,\(B\)\(C\), y\(D\) tal que la ecuación\[(Ax+By)\,dx+(Cx+Dy)\,dy=0\nonumber \] sea exacta.

34. Encuentra condiciones sobre las constantes\(A\),,\(B\),\(C\)\(D\),\(E\), y\(F\) tal que la ecuación\[(Ax^2+Bxy+Cy^2)\,dx+(Dx^2+Exy+Fy^2)\,dy=0\nonumber \] sea exacta.

35. Supongamos\(M\) y\(N\) son continuos y tienen derivadas parciales continuas\(M_y\) y\(N_x\) que satisfacen la condición de exactitud\(M_y=N_x\) sobre un rectángulo abierto\(R\). Demuestre que si\((x,y)\) está en\(R\) y\[F(x,y)=\int^x_{x_0}M(s,y_0)\,ds+\int^y_{y_0}N(x,t)\,dt,\nonumber \] luego\(F_x=M\) y\(F_y=N\).

36. Bajo los supuestos del Ejercicio 2.5.35, mostrar que\[F(x,y)=\int^y_{y_0}N(x_0,s)\,ds+\int^x_{x_0}M(t,y)\,dt.\nonumber \]

37. Utilice el método sugerido por el Ejercicio 2.5.35, con\((x_0,y_0)=(0,0)\), para resolver las siguientes ecuaciones exactas:

1. \((x^3y^4+x)\,dx+(x^4y^3+y)\,dy=0\)
2. \((x^2+y^2)\,dx+2xy\,dy=0\)
3. \((3x^2+2y)\,dx+(2y+2x)\,dy=0\)

38. Resolver el problema de valor inicial\[y'+{2\over x}y=-{2xy\over x^2+2x^2y+1},\quad y(1)=-2.\nonumber \]

39. Resolver el problema de valor inicial\[y'-{3\over x}y={2x^4(4x^3-3y)\over3x^5+3x^3+2y},\quad y(1)=1.\nonumber \]

40. Resolver el problema de valor inicial\[y'+2xy=-e^{-x^2}\left({3x+2ye^{x^2}\over2x+3ye^{x^2}}\right),\quad y(0)=-1.\nonumber \]

41. Reescribir la ecuación separable\[h(y)y'=g(x) \tag{A} \] como una ecuación exacta\[M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0. \tag{B} \] Mostrar que aplicar el método de esta sección a (B) produce las mismas soluciones que se obtendrían aplicando el método de separación de variables a (A)

42. Supongamos que todas las segundas derivadas parciales de\(M=M(x,y)\) y\(N=N(x,y)\) son continuas\(M\,dx+N\,dy=0\) y y\(-N\,dx+M\,dy=0\) son exactas en un rectángulo abierto\(R\). Muéstrale eso\(M_{xx}+M_{yy}=N_{xx}+N_{yy}=0\) en\(R\).

43. Supongamos que todas las segundas derivadas parciales de\(F=F(x,y)\) son continuas y\(F_{xx}+F_{yy}=0\) en un rectángulo abierto\(R\). (Se dice que una función con estas propiedades es armónica; véase también Ejercicio 2.5.42.) Demostrar que\(-F_y\,dx+F_x\,dy=0\) es exacto en\(R\), y por lo tanto hay una función\(G\) tal que\(G_x=-F_y\) y\(G_y=F_x\) en\(R\). (Se dice que una función\(G\) con esta propiedad es un conjugado armónico de\(F\).)

44. Verifique que las siguientes funciones sean armónicas y encuentre todos sus conjugados armónicos. (Ver Ejercicio 2.5.43.)

1. \(x^2-y^2\)
2. \(e^x\cos y\)
3. \(x^3-3xy^2\)
4. \(\cos x\cosh y\)
5. \(\sin x\cosh y\)