2.4E: Transformación de ecuaciones no lineales en ecuaciones separables (ejercicios)

Q2.4.1

En Ejercicios 2.4.1-2.4.4 resolver la ecuación de Bernoulli dada.

1. \(y'+y=y^2\)

2. \( {7xy'-2y=-{x^2 \over y^6}}\)

3. \(x^2y'+2y=2e^{1/x}y^{1/2}\)

4. \( {(1+x^2)y'+2xy ={1 \over (1+x^2)y}}\)

Q2.4.2

En los Ejercicios 2.4.5 y 2.4.6 encuentra todas las soluciones. Además, se traza un campo de dirección y algunas curvas integrales en la región rectangular indicada.

5. \(y'-xy=x^3y^3; \quad \{-3\le x\le 3, 2\le y\ge 2\}\)

6. \( {y'-{1+x\over 3x}y=y^4}; \quad \{-2\le x\le2,-2\le y \le2\}\)

Q2.4.3

En Ejercicios 2.4.7-2.4.11 resolver el problema de valor inicial.

7. \(y'-2y=xy^3,\quad y(0)=2\sqrt2\)

8. \(y'-xy=xy^{3/2},\quad y(1)=4\)

9. \(xy'+y=x^4y^4,\quad y(1)=1/2\)

10. \(y'-2y=2y^{1/2},\quad y(0)=1\)

11. \( {y'-4y={48x\over y^2},\quad y(0)=1}\)

Q2.4.4

En los Ejercicios 2.4.12 y 2.4.13 resolver el problema de valor inicial y graficar la solución.

12. \(x^2y'+2xy=y^3,\quad y(1)=1/\sqrt2\)

13. \(y'-y=xy^{1/2},\quad y(0)=4\)

Q2.4.5

14. Es posible que hayas notado que la ecuación logística\[P'=aP(1-\alpha P)\] del modelo de Verhulst para el crecimiento poblacional se puede escribir en forma de Bernoulli como\[P'-aP=-a\alpha P^2.\] Esto no es particularmente interesante, ya que la ecuación logística es separable, y por lo tanto solucionable por el método estudiado en la Sección 2.2. Entonces consideremos un modelo más complicado, donde\(a\) es una constante positiva y\(\alpha\) es una función continua positiva de\(t\) on\([0,\infty)\). La ecuación para este modelo es\[P'-aP=-a\alpha(t) P^2,\] una ecuación de Bernoulli no separable.

1. Suponiendo que\(P(0)=P_0>0\), encuentra\(P\) para\(t>0\).
2. Verifique que su resultado se reduzca a los resultados conocidos para el modelo maltusiano donde\(\alpha=0\), y el modelo Verhulst donde\(\alpha\) es una constante distinta de cero.
3. Suponiendo que\[\lim_{t\to\infty}e^{-at}\int_0^t\alpha(\tau)e^{a\tau}\,d\tau=L\] existe (finito o infinito), encuentra\(\lim_{t\to\infty}P(t)\).

Q2.4.6

En Ejercicios 2.4.15-2.4.18 resolver la ecuación explícitamente.

15. \(y'= {y+x\over x}\)

16. \(y'= {y^2+2xy \over x^2}\)

17. \(xy^3y'=y^4+x^4\)

18. \(y'= {y\over x}+\sec{y\over x}\)

Q2.4.7

En Ejercicios 2.4.19-2.4.21 resolver la ecuación explícitamente. Además, se traza un campo de dirección y algunas curvas integrales en la región rectangular indicada.

19. \(x^2y'=xy+x^2+y^2; \quad \{-8\le x\le 8,-8\le y\le 8\}\)

20. \(xyy'=x^2+2y^2; \quad \{-4\le x\le 4,-4\le y\le 4\}\)

21. \(y'= {2y^2+x^2e^{-(y/x)^2}\over 2xy}; \quad \{-8\le x\le 8,-8\le y\le 8\}\)

Q2.4.8

En Ejercicios 2.4.22-2.4.27 resolver el problema de valor inicial.

22. \(y'= {xy+y^2\over x^2}, \quad y(-1)=2\)

23. \(y'= {x^3+y^3\over xy^2}, \quad y(1)=3\)

24. \(xyy'+x^2+y^2=0, \quad y(1)=2\)

25. \(y'= {y^2-3xy-5x^2 \over x^2}, \quad y(1)=-1\)

26. \(x^2y'=2x^2+y^2+4xy, \quad y(1)=1\)

27. \(xyy'=3x^2+4y^2, \quad y(1)=\sqrt{3}\)

Q2.4.9

En Ejercicios 2.4.28-2.4.34 resolver implícitamente la ecuación homogénea dada.

28. \(y'= {x+y \over x-y}\)

29. \((y'x-y)(\ln |y|-\ln |x|)=x\)

30. \(y'= {y^3+2xy^2+x^2y+x^3\over x(y+x)^2}\)

31. \(y'= {x+2y \over 2x+y}\)

32. \(y'= {y \over y-2x}\)

33. \(y'= {xy^2+2y^3\over x^3+x^2y+xy^2}\)

34. \(y'= {x^3+x^2y+3y^3 \over x^3+3xy^2}\)

Q2.4.10

35.

1. Encuentre una solución del problema de valor inicial\[x^2y'=y^2+xy-4x^2, \quad y(-1)=0 \tag{A} \] en el intervalo\((-\infty,0)\). Verifique que esta solución sea realmente válida el\((-\infty,\infty)\).
2. Utilice el Teorema 2.3.1 para demostrar que (A) tiene una solución única en\((-\infty,0)\).
3. Trazar un campo de dirección para la ecuación diferencial en (A) en un cuadrado\[\{-r\le x\le r, -r\le y\le r\},\] donde\(r\) hay cualquier número positivo. Grafique la solución que obtuvo en (a) en este campo.
4. Graficar otras soluciones de (A) que se definen en\((-\infty,\infty)\).
5. Graficar otras soluciones de (A) que se definen sólo en intervalos de la forma\((-\infty,a)\), donde es un número positivo finito.

36.

1. Resolver la ecuación\[xyy'=x^2-xy+y^2 \tag{A} \] implícitamente.
2. Trazar un campo de dirección para (A) en un cuadrado\[\{0\le x\le r,0\le y\le r\}\] donde\(r\) hay algún número positivo.
3. Dejar\(K\) ser un entero positivo. (Es posible que tenga que probar varias opciones para\(K\).) Graficar soluciones de los problemas de valor inicial\[xyy'=x^2-xy+y^2,\quad y(r/2)={kr\over K},\] para\(k=1\),\(2\),...,\(K\). Con base en sus observaciones, encuentre condiciones sobre los números positivos\(x_0\) y de\(y_0\) tal manera que el problema del valor inicial\[xyy'=x^2-xy+y^2,\quad y(x_0)=y_0, \tag{B} \] tenga una solución única (i) en\((0,\infty)\) o (ii) solo en un intervalo\((a,\infty)\), ¿dónde\(a>0\)?
4. ¿Qué se puede decir de la gráfica de la solución de (B) como\(x\to\infty\)? (Nuevamente, supongamos que\(x_0>0\) y\(y_0>0\).)

37.

1. Resolver la ecuación\[y'={2y^2-xy+2x^2 \over xy+2x^2} \tag{A} \] implícitamente.
2. Trazar un campo de dirección para (A) en un cuadrado\[\{-r\le x\le r,-r\le y\le r\}\] donde\(r\) hay algún número positivo. Al graficar soluciones de (A), determinar las condiciones necesarias y suficientes sobre\((x_0,y_0)\) tal que (A) tenga una solución en (i)\((-\infty,0)\) o (ii)\((0,\infty)\) tal que\(y(x_0)=y_0\).

38. Siga las instrucciones del Ejercicio 2.4.37 para la ecuación\[y'={xy+x^2+y^2 \over xy}.\]

39. Elija cualquier ecuación homogénea no lineal\(y'=q(y/x)\) que desee y trazar campos de dirección en el cuadrado\(\{-r\le x\le r,\ -r\le y\le r\}\), donde\(r>0\). ¿Qué pasa con el campo de dirección a medida que varías\(r\)? ¿Por qué?

40. Demostrar: Si\(ad-bc\ne 0\), la ecuación se\[y'={ax+by+\alpha \over cx+dy+\beta}\] puede transformar en la ecuación homogénea no lineal\[{dY \over dX}={aX+bY \over cX+dY}\] por la sustitución\(x=X-X_0,\ y=Y-Y_0\), donde\(X_0\) y\(Y_0\) se eligen adecuadamente constantes.

Q2.4.11

En los Ejercicios 2.4.21-2.4.43 se utiliza un método sugerido por el Ejercicio 2.4.40 para resolver implícitamente la ecuación dada.

41. \(y'= {-6x+y-3 \over 2x-y-1}\)

42. \(y'= {2x+y+1 \over x+2y-4}\)

43. \(y'= {-x+3y-14 \over x+y-2}\)

Q2.4.12

En Ejercicios 2.4.44-2.4.51 encontramos una función\(y_{1}\) tal que la sustitución\(y = uy_{1}\) transforma la ecuación dada en una ecuación separable de la forma (2.4.6). Entonces resolver la ecuación dada explícitamente.

44. \(3xy^2y'=y^3+x\)

45. \(xyy'=3x^6+6y^2\)

46. \(x^3y'=2(y^2+x^2y-x^4)\)

47. \(y'=y^2e^{-x}+4y+2e^x\)

48. \(y'= {y^2+y\tan x+\tan^2 x\over\sin^2x}\)

49. \(x(\ln x)^2y'=-4(\ln x)^2+y\ln x+y^2\)

50. \(2x(y+2\sqrt x)y'=(y+\sqrt x)^2\)

51. \((y+e^{x^2})y'=2x(y^2+ye^{x^2}+e^{2x^{2}}\)

Q2.4.13

52. Resolver el problema de valor inicial\[y'+{2\over x}y={3x^2y^2+6xy+2\over x^2(2xy+3)},\quad y(2)=2.\]

53. Resolver el problema de valor inicial\[y'+{3\over x}y={3x^4y^2+10x^2y+6\over x^3(2x^2y+5)},\quad y(1)=1.\]

54. Demostrar: Si\(y\) es una solución de una ecuación homogénea no lineal\(y'=q(y/x)\), así es\(y_1=y(ax)/a\), donde\(a\) está cualquier constante distinta de cero.

55. Una ecuación generalizada de Riccati es de la forma\[y'=P(x)+Q(x)y+R(x)y^2. \tag{A} \] (If\(R\equiv-1\), (A) es una ecuación de Riccati.) Dejar\(y_1\) ser una solución conocida y\(y\) una solución arbitraria de (A). Vamos\(z=y-y_1\). Demostrar que\(z\) es una solución de una ecuación de Bernoulli con\(n=2\).

Q2.4.14

En los Ejercicios 2.4.56-2.4.59, dado que\(y_{1}\) es una solución de la ecuación dada, utilizar el método sugerido por el Ejercicio 2.4.55 para encontrar otras soluciones.

56. \(y'=1+x - (1+2x)y+xy^2\);\(y_1=1\)

57. \(y'=e^{2x}+(1-2e^x)y+y^2\);\(y_1=e^x\)

58. \(xy'=2-x+(2x-2)y-xy^2\);\(y_1=1\)

59. \(xy'=x^3+(1-2x^2)y+xy^2\);\(y_1=x\)