5.2E: Ecuaciones homogéneas de coeficiente constante (Ejercicios)

Q5.2.1

En Ejercicios 5.2.1-5.2.12 encuentra la solución general.

1. \(y''+5y'-6y=0\)

2. \(y''-4y'+5y=0\)

3. \(y''+8y'+7y=0\)

4. \(y''-4y'+4y=0\)

5. \(y'' +2y'+10y=0\)

6. \(y''+6y'+10y=0\)

7. \(y''-8y'+16y=0\)

8. \(y''+y'=0\)

9. \(y''-2y'+3y=0\)

10. \(y''+6y'+13y=0\)

11. \(4y''+4y'+10y=0\)

12. \(10y''-3y'-y=0\)

Q5.2.2

En Ejercicios 5.2.13-5.2.17 resolver el problema de valor inicial.

13. \(y''+14y'+50y=0, \quad y(0)=2,\quad y'(0)=-17\)

14. \(6y''-y'-y=0, \quad y(0)=10,\quad y'(0)=0\)

15. \(6y''+y'-y=0, \quad y(0)=-1,\quad y'(0)=3\)

16. \(4y''-4y'-3y=0, \quad y(0)={13\over 12},\quad y'(0)={23 \over 24}\)

17. \(4y''-12y'+9y=0, \quad y(0)=3,\quad y'(0)={5\over 2}\)

Q5.2.3

En Ejercicios 5.2.18-5.2.21 resolver el problema de valor inicial y graficar la solución.

18. \(y''+7y'+12y=0, \quad y(0)=-1,\quad y'(0)=0\)

19. \(y''-6y'+9y=0, \quad y(0)=0,\quad y'(0)=2\)

20. \(36y''-12y'+y=0, \quad y(0)=3,\quad y'(0)={5\over2}\)

21. \(y''+4y'+10y=0, \quad y(0)=3,\quad y'(0)=-2\)

Q5.2.4

22.

1. Supongamos que\(y\) es una solución del coeficiente constante ecuación homogénea\[ay''+by'+cy=0. \tag{A}\] Let\(z(x)=y(x-x_0)\), donde\(x_0\) es un número real arbitrario. Demostrar que\[az''+bz'+cz=0.\nonumber \]
2. Let\(z_1(x)=y_1(x-x_0)\) y\(z_2(x)=y_2(x-x_0)\), donde\(\{y_1,y_2\}\) es un conjunto fundamental de soluciones de (A). Demostrar que también\(\{z_1,z_2\}\) es un conjunto fundamental de soluciones de (A).
3. El enunciado del Teorema 5.2.1 es conveniente para resolver un problema de valor inicial\[ay''+by'+cy=0, \quad y(0)=k_0,\quad y'(0)=k_1,\nonumber \] donde se imponen las condiciones iniciales\(x_0=0\). Sin embargo, si el problema del valor inicial es\[ay''+by'+cy=0, \quad y(x_0)=k_0,\quad y'(x_0)=k_1, \tag{B}\] dónde\(x_0\ne0\), entonces determinar las constantes en\[y=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}, \quad y=e^{r_1x}(c_1+c_2x),\mbox{ or } y=e^{\lambda x}(c_1\cos\omega x+c_2\sin\omega x)\nonumber \] (lo que sea aplicable) es más complicado. Utilizar (b) para reafirmar el Teorema 5.2.1 en una forma más conveniente para resolver (B).

Q5.2.5

En Ejercicios 5.2.23-5.2.28 utilizar un método sugerido por el Ejercicio 5.2.22 para resolver el problema de valor inicial.

23. \(y''+3y'+2y=0, \quad y(1)=-1,\quad y'(1)=4\)

24. \(y''-6y'-7y=0, \quad y(2)=-{1\over3},\quad y'(2)=-5\)

25. \(y''-14y'+49y=0, \quad y(1)=2,\quad y'(1)=11\)

26. \(9y''+6y'+y=0, \quad y(2)=2,\quad y'(2)=-{14\over3}\)

27. \(9y''+4y=0, \quad y(\pi/4)=2,\quad y'(\pi/4)=-2\)

28. \(y''+3y=0, \quad y(\pi/3)=2,\quad y'(\pi/3)=-1\)

Q5.2.6

29. Demostrar: Si la ecuación característica de

\[ay''+by'+cy=0 \tag{A}\]

tiene una raíz negativa repetida o dos raíces con partes reales negativas, entonces cada solución de (A) se acerca a cero como\(x\to\infty\).

30. Supongamos que el polinomio característico de\(ay''+by'+cy=0\) tiene distintas raíces reales\(r_1\) y\(r_2\). Utilice un método sugerido por el Ejercicio 5.2.22 para encontrar una fórmula para la solución de

\[ay''+by'+cy=0, \quad y(x_0)=k_0,\quad y'(x_0)=k_1.\nonumber \]

31 Supongamos que el polinomio característico de\(ay''+by'+cy=0\) tiene una raíz real repetida\(r_1\). Utilice un método sugerido por el Ejercicio 5.2.22 para encontrar una fórmula para la solución de

\[ay''+by'+cy=0, \quad y(x_0)=k_0,\quad y'(x_0)=k_1.\nonumber \]

32. Supongamos que el polinomio característico de\(ay''+by'+cy=0\) tiene raíces conjugadas complejas\(\lambda\pm i\omega\). Utilice un método sugerido por el Ejercicio 5.2.22 para encontrar una fórmula para la solución de

\[ay''+by'+cy=0, \quad y(x_0)=k_0,\quad y'(x_0)=k_1.\nonumber \]

33. Supongamos que la ecuación característica de

\[ay''+by'+cy=0 \tag{A}\]tiene una raíz real repetida\(r_1\). Temporalmente, pensar en\(e^{rx}\) como una función de dos variables reales\(x\) y\(r\).

1. Demostrar que\[a{\partial^2\over\partial^2 x}(e^{rx})+b{\partial \over\partial x}(e^{rx}) +ce^{rx}=a(r-r_1)^2e^{rx}. \tag{B}\]
2. Diferenciar (B) con respecto\(r\) a obtener\[a{\partial\over\partial r}\left({\partial^2\over\partial^2 x}(e^{rx})\right)+b{\partial\over\partial r}\left({\partial \over\partial x}(e^{rx})\right) +c(xe^{rx})=[2+(r-r_1)x]a(r-r_1)e^{rx}. \tag{C}\]
3. Invierta los órdenes de las diferenciaciones parciales en los dos primeros términos del lado izquierdo de (C) para obtener\[a{\partial^2\over\partial x^2}(xe^{rx})+b{\partial\over\partial x}(xe^{rx})+c(xe^{rx})=[2+(r-r_1)x]a(r-r_1)e^{rx}. \tag{D}\]
4. Establecer\(r=r_1\) en (B) y (D) para ver eso\(y_1=e^{r_1x}\) y\(y_2=xe^{r_1x}\) son soluciones de (A)

34. En el cálculo aprendiste eso\(e^u\),\(\cos u\), y\(\sin u\) puede ser representado por la serie infinita

\[e^u=\sum_{n=0}^\infty {u^n\over n!} =1+{u\over 1!}+{u^2\over 2!}+{u^3\over 3!}+\cdots+{u^n\over n!}+\cdots \tag{A}\]

\[\cos u=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n{u^{2n}\over(2n)!} =1-{u^2\over2!}+{u^4\over4!}+\cdots+(-1)^n{u^{2n}\over(2n)!} +\cdots, \tag{B}\]

y

\[\sin u=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n{u^{2n+1}\over(2n+1)!} =u-{u^3\over3!}+{u^5\over5!}+\cdots+(-1)^n {u^{2n+1}\over(2n+1)!} +\cdots \tag{C}\]

para todos los valores reales de\(u\). A pesar de que previamente has considerado (A) solo para valores reales de\(u\), podemos establecer\(u=i\theta\), donde\(\theta\) es real, para obtener

\[e^{i\theta}=\sum_{n=0}^\infty {(i\theta)^n\over n!}. \tag{D}\]

Dados los antecedentes adecuados en la teoría de las series infinitas con términos complejos, se puede demostrar que la serie en (D) converge para todos los reales\(\theta\).

1. Recordando que\(i^2=-1,\) escribir términos suficientes de la secuencia\(\{i^n\}\) para convencerte de que la secuencia es repetitiva:\[1,i,-1,-i,1,i,-1,-i,1,i,-1,-i,1,i,-1,-i,\cdots.\nonumber \] Usa esto para agrupar los términos en (D) como\[\begin{aligned} e^{i\theta}&=\left(1-{\theta^2\over2}+{\theta^4\over4}+\cdots\right) +i\left(\theta-{\theta^3\over3!}+{\theta^5\over5!}+\cdots\right)\\ &=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n{\theta^{2n}\over(2n)!} +i\sum_{n=0}^\infty (-1)^n{\theta^{2n+1}\over(2n+1)!}.\end{aligned}\nonumber \] Al comparar este resultado con (B) y (C), concluir que\[e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta. \tag{E}\] Esta es la identidad de Euler.
2. Partiendo de\[e^{i\theta_1}e^{i\theta_2}=(\cos\theta_1+i\sin\theta_1) (\cos\theta_2+i\sin\theta_2),\nonumber \] recoger la parte real (los términos no multiplicados por\(i\)) y la parte imaginaria (los términos multiplicados por\(i\)) a la derecha, y usar las identidades trigonométricas\[\begin{aligned} \cos(\theta_1+\theta_2)&=\cos\theta_1\cos\theta_2-\sin\theta_1\sin\theta_2\\ \sin(\theta_1+\theta_2)&=\sin\theta_1\cos\theta_2+\cos\theta_1\sin\theta_2\end{aligned}\nonumber \] para verificar eso\[e^{i(\theta_1+\theta_2)}=e^{i\theta_1}e^{i\theta_2},\nonumber \] como cabría esperar del uso de la notación exponencial\(e^{i\theta}\).
3. Si\(\alpha\) y\(\beta\) son números reales, defina\[e^{\alpha+i\beta}=e^\alpha e^{i\beta}=e^\alpha(\cos\beta+i\sin\beta). \tag{F}\] Mostrar que si\(z_1=\alpha_1+i\beta_1\) y\(z_2=\alpha_2+i\beta_2\) luego\[e^{z_1+z_2}=e^{z_1}e^{z_2}.\nonumber \]
4. Dejemos\(a\)\(b\),, y\(c\) sean números reales, con\(a\ne0\). Dejar\(z=u+iv\) dónde\(u\) y\(v\) son funciones de valor real de\(x\). Entonces decimos que\(z\) es una solución de\[ay''+by'+cy=0 \tag{G}\] si\(u\) y\(v\) son ambas soluciones de (G). Utilice el Teorema 5.2.1 (c) para verificar que si la ecuación característica de (G) tiene raíces conjugadas complejas\(\lambda\pm i\omega\) entonces\(z_1=e^{(\lambda+i\omega)x}\) y\(z_2=e^{(\lambda-i\omega)x}\) son ambas soluciones de (G).