7.2E: Revisión de la serie Power (Ejercicios)

Q7.1.1

1.Para cada serie de potencia utilice el Teorema 7.1.3 para encontrar el radio de convergencia\(R\). Si\(R>0\), encuentra el intervalo abierto de convergencia.

1. \({\displaystyle \sum_{n=0}^\infty {(-1)^n\over2^nn}(x-1)^n}\)
2. \({\displaystyle \sum_{n=0}^\infty 2^nn(x-2)^n}\)
3. \({\displaystyle \sum_{n=0}^\infty {n!\over9^n}x^n}\)
4. \({\displaystyle \sum_{n=0}^\infty{n(n+1)\over16^n}(x-2)^n}\)
5. \({\displaystyle \sum_{n=0}^\infty (-1)^n{7^n\over n!}x^n}\)
6. \({\displaystyle \sum_{n=0}^\infty {3^n\over4^{n+1}(n+1)^2}(x+7)^n}\)

2. Supongamos que hay un entero\(M\) tal que\(b_m\ne0\) para\(m\ge M\), y\[\lim_{m\to\infty}\left|b_{m+1}\over b_m\right|=L,\nonumber \] donde\(0\le L\le\infty\). Mostrar que el radio de convergencia de\[\displaystyle \sum_{m=0}^\infty b_m(x-x_0)^{2m}\nonumber \] es\(R=1/\sqrt L\), que se interpreta en el sentido de que\(R=0\) si\(L=\infty\) o\(R=\infty\) si\(L=0\).

3. Para cada serie de potencia, utilice el resultado del Ejercicio 7.1.2 para encontrar el radio de convergencia\(R\). Si\(R>0\), encuentra el intervalo abierto de convergencia.

1. \({\displaystyle \sum_{m=0}^\infty (-1)^m(3m+1)(x-1)^{2m+1}}\)
2. \({\displaystyle \sum_{m=0}^\infty (-1)^m{m(2m+1)\over2^m}(x+2)^{2m}}\)
3. \({\displaystyle \sum_{m=0}^\infty {m!\over(2m)!}(x-1)^{2m}}\)
4. \({\displaystyle \sum_{m=0}^\infty (-1)^m{m!\over9^m}(x+8)^{2m}}\)
5. \({\displaystyle \sum_{m=0}^\infty(-1)^m{(2m-1)\over3^m}x^{2m+1}}\)
6. \({\displaystyle \sum_{m=0}^\infty(x-1)^{2m}}\)

4. Supongamos que hay un entero\(M\) tal que\(b_m\ne0\) para\(m\ge M\), y\[\lim_{m\to\infty}\left|b_{m+1}\over b_m\right|=L,\nonumber \] donde\(0\le L\le\infty\). Dejar\(k\) ser un entero positivo. Mostrar que el radio de convergencia de\[\displaystyle \sum_{m=0}^\infty b_m(x-x_0)^{km}\nonumber \] es\(R=1/\sqrt[k]L\), que se interpreta en el sentido de que\(R=0\) si\(L=\infty\) o\(R=\infty\) si\(L=0\).

5. Para cada serie de potencia usa el resultado del Ejercicio 7.1.4 para encontrar el radio de convergencia\(R\). Si\(R>0\), encuentra el intervalo abierto de convergencia.

1. \({\displaystyle \sum_{m=0}^\infty{(-1)^m\over(27)^m}(x-3)^{3m+2}}\)
2. \({\displaystyle \sum_{m=0}^\infty{x^{7m+6}\over m}}\)
3. \({\displaystyle \sum_{m=0}^\infty{9^m(m+1)\over(m+2)}(x-3)^{4m+2}}\)
4. \({\displaystyle \sum_{m=0}^\infty(-1)^m{2^m\over m!}x^{4m+3}}\)
5. \({\displaystyle \sum_{m=0}^\infty{m!\over(26)^m}(x+1)^{4m+3}}\)
6. \({\displaystyle \sum_{m=0}^\infty{(-1)^m\over8^mm(m+1)}(x-1)^{3m+1}}\)

6. Graph\(y=\sin x\) y el polinomio Taylor\[T_{2M+1}(x)=\displaystyle \sum_{n=0}^M{(-1)^nx^{2n+1}\over(2n+1)!}\nonumber \] en el intervalo\((-2\pi,2\pi)\) para\(M=1\)\(2\),\(3\),,..., hasta encontrar un valor\(M\) para el que no hay diferencia perceptible entre las dos gráficas.

7. Graph\(y=\cos x\) y el polinomio Taylor\[T_{2M}(x)=\displaystyle \sum_{n=0}^M{(-1)^nx^{2n}\over(2n)!}\nonumber \] en el intervalo\((-2\pi,2\pi)\) para\(M=1\)\(2\),\(3\),,..., hasta encontrar un valor\(M\) para el que no hay diferencia perceptible entre las dos gráficas.

8. Graph\(y=1/(1-x)\) y el polinomio Taylor\[T_N(x)=\displaystyle \sum_{n=0}^Nx^n\nonumber \] en el intervalo\([0,.95]\) para\(N=1\)\(2\),\(3\),,..., hasta encontrar un valor\(N\) para el que no hay diferencia perceptible entre las dos gráficas. Elija la escala en el\(y\) eje -para que\(0\le y\le20\).

9. Graph\(y=\cosh x\) y el polinomio Taylor\[T_{2M}(x)=\displaystyle \sum_{n=0}^M{x^{2n}\over(2n)!}\nonumber \] en el intervalo\((-5,5)\) para\(M=1\)\(2\),\(3\),,..., hasta encontrar un valor\(M\) para el que no hay diferencia perceptible entre las dos gráficas. Elija la escala en el\(y\) eje -para que\(0\le y\le75\).

10. Graph\(y=\sinh x\) y el polinomio Taylor\[T_{2M+1}(x)=\displaystyle \sum_{n=0}^M{x^{2n+1}\over(2n+1)!}\nonumber \] en el intervalo\((-5,5)\) para\(M=0\)\(1\),\(2\),,..., hasta encontrar un valor\(M\) para el que no hay diferencia perceptible entre las dos gráficas. Elija la escala en el\(y\) eje -para que\(-75~\le~y\le~75\).

Q7.1.2

En Ejercicios 7.1.11-7.1.15 encontrar una solución de series de potencia\ (y (x) =\ sum_ {n=0} ^ {\ infty} a_ {n} x^ {n}\].

11. \((2+x)y''+xy'+3y\)

12. \((1+3x^2)y''+3x^2y'-2y\)

13. \((1+2x^2)y''+(2-3x)y'+4y\)

14. \((1+x^2)y''+(2-x)y'+3y\)

15. \((1+3x^2)y''-2xy'+4y\)

Q7.1.3

16. Supongamos\(y(x)=\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n(x+1)^n\) en un intervalo abierto que contiene\(x_0~=~-1\). Encuentre una serie de potencia en\(x+1\) for\[xy''+(4+2x)y'+(2+x)y.\nonumber \]

17. Supongamos\(y(x)=\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n(x-2)^n\) en un intervalo abierto que contiene\(x_0~=~2\). Encuentre una serie de potencia en\(x-2\) for\[x^2y''+2xy'-3xy.\nonumber \]

18. Haga el siguiente experimento para varias opciones de números reales\(a_0\) y\(a_1\).

1. Utilice el software de ecuaciones diferenciales para resolver el problema del valor inicial\[(2-x)y''+2y=0,\quad y(0)=a_0,\quad y'(0)=a_1,\nonumber \] numéricamente en\((-1.95,1.95)\). Elija el método más preciso que proporcione su paquete de software. (Véase la Sección 10.1 para una breve discusión de uno de esos métodos.)
2. Para\(N=2\),,\(3\)\(4\),..., computar\(a_2\),...,\(a_N\) a partir de la Ecuación 7.1.18\[T_N(x)=\displaystyle \sum_{n=0}^N a_nx^n\nonumber \] y graficar y la solución obtenida en (a) sobre los mismos ejes. Continuar aumentando\(N\) hasta que sea obvio que no tiene sentido continuar. (Esto suena vago, pero sabrás cuándo parar).

19. Siga las instrucciones del Ejercicio 7.1.18 para el problema de valor inicial\[(1+x)y''+2(x-1)^2y'+3y=0,\quad y(1)=a_0,\quad y'(1)=a_1,\nonumber \] en el intervalo\((0,2)\). Utilice las Ecuaciones 7.1.24 y 7.1.25 para calcular\(\{a_n\}\).

20. Supongamos que la serie\(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_nx^n\) converge en un intervalo abierto\((-R,R)\), deja que\(r\) sea un número real arbitrario, y defina\[y(x)=x^r\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_nx^n=\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_nx^{n+r}\nonumber \] on\((0,R)\). Utilice el Teorema 7.1.4 y la regla para diferenciar el producto de dos funciones para mostrar que\[\begin{aligned} y'(x)&={\displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+r)a_nx^{n+r-1}},\\[10pt] y''(x)&={\displaystyle \sum_{n=0}^\infty(n+r)(n+r-1)a_nx^{n+r-2}},\\ &\vdots&\\ y^{(k)}(x)&={\displaystyle \sum_{n=0}^\infty(n+r)(n+r-1)\cdots(n+r-k)a_nx^{n+r-k}}\end{aligned}\nonumber \] en\((0,R)\)

Q7.1.4

21. \(x^2(1-x)y''+x(4+x)y'+(2-x)y\)

22. \(x^2(1+x)y''+x(1+2x)y'-(4+6x)y\)

23. \(x^2(1+x)y''-x(1-6x-x^2)y'+(1+6x+x^2)y\)

24. \(x^2(1+3x)y''+x(2+12x+x^2)y'+2x(3+x)y\)

25. \(x^2(1+2x^2)y''+x(4+2x^2)y'+2(1-x^2)y\)

26. \(x^2(2+x^2)y''+2x(5+x^2)y'+2(3-x^2)y\)