7.3: Soluciones en Serie Cerca de un Punto I Ordinario
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Muchas aplicaciones físicas dan lugar a ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden de la forma
\[\label{eq:7.2.1} P_0(x)y''+P_1(x)y'+P_2(x)y=0,\]
donde\(P_0\),\(P_1\), y\(P_2\) son polinomios. Por lo general, las soluciones de estas ecuaciones no se pueden expresar en términos de funciones elementales familiares. Por lo tanto consideraremos el problema de representar soluciones de Ecuación\ ref {eq:7.2.1} con series.
Asumimos a lo largo de eso\(P_0\),\(P_1\) y no\(P_2\) tenemos factores comunes. Entonces decimos que\(x_0\) es un punto ordinario de la Ecuación\ ref {eq:7.2.1} si\(P_0(x_0)\ne0\), o un punto singular si\(P_0(x_0)=0\). Para la ecuación de Legendre,
\[\label{eq:7.2.2} (1-x^2)y''-2xy'+\alpha(\alpha+1)y=0,\]
\(x_0=1\)y\(x_0=-1\) son puntos singulares y todos los demás puntos son puntos ordinarios. Para la ecuación de Bessel,
\[x^2y''+xy'+(x^2-\nu^2)y=0, \nonumber \]
\(x_0=0\)es un punto singular y todos los demás puntos son puntos ordinarios. Si\(P_0\) es una constante distinta de cero como en la ecuación de Airy,
\[\label{eq:7.2.3} y''-xy=0,\]
entonces cada punto es un punto ordinario.
Ya que los polinomios son continuos en todas partes,\(P_1/P_0\) y\(P_2/P_0\) son continuos en cualquier punto\(x_0\) que no sea un cero de\(P_0\). Por lo tanto, si\(x_0\) es un punto ordinario de la Ecuación\ ref {eq:7.2.1}\(a_0\) y\(a_1\) son números reales arbitrarios, entonces el problema del valor inicial
\[\label{eq:7.2.4} P_0(x)y''+P_1(x)y'+P_2(x)y=0, \quad y(x_0)=a_0,\quad y'(x_0)=a_1\]
tiene una solución única en el intervalo abierto más grande que contiene\(x_0\) y no contiene ceros de\(P_0\). Para ver esto, reescribimos la ecuación diferencial en la Ecuación\ ref {eq:7.2.4} como
\[y''+{P_1(x)\over P_0(x)}y'+{P_2(x)\over P_0(x)}y=0 \nonumber\]
y aplicar Teorema 5.1.1 con\(p=P_1/P_0\) y\(q=P_2/P_0\). En esta sección y en la siguiente consideramos el problema de representar soluciones de Ecuación\ ref {eq:7.2.1} por series de potencia que convergen para valores\(x\) cercanos a un punto ordinario\(x_0\).
Nosotros declaramos el siguiente teorema sin pruebas.
Supongamos\(P_0\)\(P_1\),, y\(P_2\) son polinomios sin factor común y\(P_0\) no es idénticamente cero\(.\) Dejar\(x_0\) ser un punto tal que\(P_0(x_0)\ne0,\) y dejar\(\rho\) ser la distancia desde\(x_0\) hasta el cero más cercano de\(P_0\) en el plano complejo. \((\)Si\(P_0\) es constante, entonces\(\rho=\infty\). \()\)Entonces cada solución de
\[\label{eq:7.2.5} P_0(x)y''+P_1(x)y'+P_2(x)y=0\]
puede ser representado por una serie de potencia
\[\label{eq:7.2.6} y=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n\]
que converge al menos en el intervalo abierto\((x_0-\rho,x_0+\rho)\). \((\)Si no\(P_0\) es constante\(,\) por lo que\(\rho\) es necesariamente finito\(,\) entonces el intervalo abierto de convergencia de\(\eqref{eq:7.2.6}\) puede ser mayor que\((x_0-\rho,x_0+\rho).\) Si\(P_0\) es constante entonces\(\rho=\infty\) y\((x_0-\rho,x_0+\rho)=(-\infty,\infty)\).
Llamamos a Ecuación\ ref {eq:7.2.6} una solución de serie\(x-x_0\) de potencia en la Ecuación\ ref {eq:7.2.5}. Ahora desarrollaremos un método para encontrar soluciones de series de potencia de Ecuación\ ref {eq:7.2.5}. Para ello escribimos la Ecuación\ ref {eq:7.2.5} como\(Ly=0\), donde
\[\label{eq:7.2.7} Ly=P_0y''+P_1y'+P_2y.\]
El teorema 7.3.1 implica que cada solución de\(Ly=0\) on\((x_0-\rho,x_0+\rho)\) puede escribirse como
\[y=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n. \nonumber\]
\(x=x_0\)Ambientando en esta serie y en la serie
\[y'=\sum_{n=1}^\infty na_n(x-x_0)^{n-1} \nonumber\]
demuestra que\(y(x_0)=a_0\) y\(y'(x_0)=a_1\). Dado que cada problema de valor inicial Ecuación\ ref {eq:7.2.4} tiene una solución única, esto significa que\(a_0\) y se\(a_1\) puede elegir arbitrariamente, y,\(a_2\)\(a_3\),... son determinados de manera única por ellos.
Para encontrar\(a_2\),\(a_3\),..., escribimos\(P_0\),\(P_1\), y\(P_2\) en poderes de\(x-x_0\), sustitutos
\[ \begin{align*} y &=\sum^\infty_{n=0}a_n(x-x_0)^n, \\[4pt] y' &=\sum^\infty_{n=1}na_n(x-x_0)^{n-1}, \\[4pt] y''&=\sum^\infty_{n=2}n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2} \end{align*}\]
en Ecuación\ ref {eq:7.2.7}, y recoger los coeficientes de potencias similares de\(x-x_0\). Esto rinde
\[\label{eq:7.2.8} Ly=\sum^\infty_{n=0}b_n(x-x_0)^n,\]
donde\(\{b_0, b_1, \dots, b_n, \dots\}\) se expresan en términos de\(\{a_0, a_1, \dots,a_n, \dots\}\) y los coeficientes de\(P_0\),\(P_1\), y\(P_2\), escritos en poderes de\(x-x_0\). Dado que la Ecuación\ ref {eq:7.2.8} y (a) del Teorema 7.1.6 implican que\(Ly=0\) si y solo si es\(b_n=0\) para\(n\ge0\), todas las soluciones\(x-x_0\) de series de potencia en de se\(Ly=0\) pueden obtener eligiendo\(a_0\) y\(a_1\) arbitrariamente y computando\(a_2\)\(a_3\),,..., sucesivamente así que\(b_n=0\) para\(n\ge0\). Por simplicidad, llamamos a la serie de potencia obtenida de esta manera la serie de potencia\(x-x_0\) para la solución general de\(Ly=0\), sin identificar explícitamente el intervalo abierto de convergencia de la serie.
\(x_0\)Déjese ser un número real arbitrario. Encuentra la serie de potencia en\(x-x_0\) para la solución general de Ecuaciones como Ecuaciones\ ref {eq:7.2.10},\ ref {eq:7.2.11}, y\ ref {eq:7.2.12}, que definen un coeficiente dado en la secuencia\(\{a_n\}\) en términos de uno o más coeficientes con índices menores se denominan relaciones de recurrencia . Cuando usamos una relación de recurrencia para calcular términos de una secuencia, estamos calculando recursivamente.
En el resto de esta sección consideramos el problema de encontrar soluciones de series de potencia en\(x-x_0\) ecuaciones de la forma
\[\label{eq:7.2.16} \left(1+\alpha(x-x_0)^2\right)y''+\beta(x-x_0) y'+\gamma y=0.\]
Muchas ecuaciones importantes que surgen en las aplicaciones son de esta forma con\(x_0=0\), incluyendo la ecuación de Legendre Ecuación\ ref {eq:7.2.2}, Ecuación de Airy\ ref {eq:7.2.3}, ecuación de Chebyshev,
\[(1-x^2)y''-xy'+\alpha^2 y=0, \nonumber\]
y la ecuación de Hermite,
\[y''-2xy'+2\alpha y=0. \nonumber\]
Desde
\[P_0(x)=1+\alpha(x-x_0)^2 \nonumber\]
en la Ecuación\ ref {eq:7.2.16}, el punto\(x_0\) es un punto ordinario de la Ecuación\ ref {eq:7.2.16}, y el Teorema 7.3.1 implica que las soluciones de la Ecuación\ ref {eq:7.2.16} pueden escribirse como series de potencia en\(x-x_0\) que convergen en el intervalo\((x_0-1/\sqrt|\alpha|,x_0+1/\sqrt|\alpha|)\) si\(\alpha\ne0\), o en\((-\infty,\infty)\) si\(\alpha=0\). Veremos que los coeficientes en estas series de potencias se pueden obtener por métodos similares a los utilizados en Ejemplo 7.3.1 .
Para simplificar la búsqueda de los coeficientes, introducimos alguna notación para los productos:
\[\prod^s_{j=r}b_j=b_rb_{r+1}\cdots b_s\quad \mbox{if} \quad s\ge r. \nonumber\]
Por lo tanto,
\[\prod^7_{j=2}b_j=b_2b_3b_4b_5b_6b_7, \nonumber\]
\[\prod^4_{j=0}(2j+1)=(1)(3)(5)(7)(9)=945, \nonumber\]
y
\[\prod^2_{j=2}j^2=2^2=4. \nonumber\]
Definimos
\[\prod^s_{j=r}b_j=1\quad \mbox{if}\quad s < r, \nonumber\]
no importa cuál sea la forma de\(b_j\).
Encuentre la serie de potencia\(x\) para la solución general de
\[\label{eq:7.2.9} y''+ y=0.\]
Solución
Aquí
\[Ly=y''+y. \nonumber\]
Si
\[y=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n, \nonumber\]
entonces
\[y''=\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}, \nonumber\]
por lo
\[Ly=\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}+\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n. \nonumber\]
Para recolectar coeficientes de potencias similares de\(x-x_0\), desplazamos el índice de suma en la primera suma. Esto rinde
\[Ly=\sum^\infty_{n=0}(n+2)(n+1)a_{n+2}(x-x_0)^n + \sum^\infty_{n=0}a_n(x-x_0)^n =\sum^\infty_{n=0}b_n(x-x_0)^n, \nonumber\]
con
\[b_n=(n+2)(n+1)a_{n+2}+a_n. \nonumber\]
Por lo tanto\(Ly=0\) si y solo si
\[\label{eq:7.2.10} a_{n+2}={-a_n\over(n+2)(n+1)},\quad n\ge0,\]
donde\(a_0\) y\(a_1\) son arbitrarias. Dado que los índices en los lados izquierdo y derecho de la Ecuación\ ref {eq:7.2.10} difieren en dos, escribimos la Ecuación\ ref {eq:7.2.10} por separado para\(n\) par\(n\)\((n=2m)\) e impar\((n=2m+1)\). Esto rinde
\[a_{2m+2} = \dfrac{-a_{2m}}{(2m+2)(2m+1)}, \quad m \ge 0, \label{eq:7.2.11}\]
y
\[a_{2m+3} = {-a_{2m+1}\over(2m+3)(2m+2)},\quad m\ge0. \label{eq:7.2.12}\]
Cálculo de los coeficientes de las potencias pares\(x-x_0\) de la ecuación\ ref {eq:7.2.11} rendimientos
\[\begin{aligned} a_2 &= -{a_0\over2\cdot1}\\[4pt] a_4 &= -{a_2\over4\cdot3}=-{1\over4\cdot3} \left(-{a_0\over2\cdot1}\right)= {a_0\over4\cdot3\cdot2\cdot1}, \\ a_6 &= -{a_4\over6\cdot5}=-{1\over6\cdot5} \left({a_0\over4\cdot3\cdot2\cdot1}\right) =-{a_0\over6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot 2\cdot1},\end{aligned}\nonumber \]
y, en general,
\[\label{eq:7.2.13} a_{2m}=(-1)^m {a_0\over(2m)!}\;,\quad m\ge0.\]
Cálculo de los coeficientes de las potencias impares\(x-x_0\) de la ecuación\ ref {eq:7.2.12} rendimientos
\[\begin{aligned} a_3 &= -{a_1\over3\cdot2}\\[4pt] a_5 &= -{a_3\over5\cdot4}=-{1\over5\cdot4} \left(-{a_1\over3\cdot2}\right)= {a_1\over5\cdot4\cdot3\cdot2}, \\ a_7 &= -{a_5\over7\cdot6}=-{1\over7\cdot6} \left({a_1\over5\cdot4\cdot3\cdot2}\right) =-{a_1\over7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot 3\cdot2},\end{aligned}\nonumber \]
y, en general,
\[\label{eq:7.2.14} a_{2m+1}={(-1)^ma_1\over(2m+1)!}\quad m\ge0.\]
Así, la solución general de la Ecuación\ ref {eq:7.2.9} puede escribirse como
\[y=\sum_{m=0}^\infty a_{2m}(x-x_0)^{2m}+\sum_{m=0}^\infty a_{2m+1}(x-x_0)^{2m+1}, \nonumber\]
o, de la Ecuación\ ref {eq:7.2.13} y la Ecuación\ ref {eq:7.2.14}, como
\[\label{eq:7.2.15} y=a_0\sum_{m=0}^\infty(-1)^m{(x-x_0)^{2m}\over(2m)!} +a_1\sum_{m=0}^\infty(-1)^m{(x-x_0)^{2m+1}\over(2m+1)!}.\]
Si recordamos del cálculo que
\[\sum_{m=0}^\infty(-1)^m{(x-x_0)^{2m}\over(2m)!}=\cos(x-x_0) \quad \text{and} \quad \sum_{m=0}^\infty(-1)^m{(x-x_0)^{2m+1}\over(2m+1)!}=\sin(x-x_0), \nonumber\]
entonces la Ecuación\ ref {eq:7.2.15} se convierte
\[y=a_0\cos(x-x_0)+a_1\sin(x-x_0), \nonumber\]
lo que debería parecer familiar.
\[\label{eq:7.2.17} (1+2x^2)y''+6xy'+2y=0.\]
Solución
Aquí
\[Ly=(1+2x^2)y''+6xy'+2y. \nonumber\]
Si
\[y=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n \nonumber\]
entonces
\[y'=\sum_{n=1}^\infty na_nx^{n-1}\quad\mbox{ and }\quad y''=\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_nx^{n-2},\nonumber \]
por lo
\[\begin{aligned} Ly &= (1+2x^2) \sum^\infty_{n=2}n(n-1)a_nx^{n-2}+ 6x \sum^\infty_{n=1}na_nx^{n-1} +2 \sum^\infty_{n=0}a_nx^n\\[4pt] &= \sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_nx^{n-2}+\sum_{n=0}^\infty \left[2n(n-1)+6n+2\right]a_nx^n\\[4pt] &= \sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_nx^{n-2}+2\sum_{n=0}^\infty(n+1)^2a_nx^n.\end{aligned}\nonumber \]
Para recolectar coeficientes de\(x^n\), desplazamos el índice de suma en la primera suma. Esto rinde
\[Ly=\sum_{n=0}^\infty(n+2)(n+1)a_{n+2}x^n+2\sum_{n=0}^\infty(n+1)^2a_nx^n =\sum_{n=0}^\infty b_nx^n, \nonumber\]
con
\[b_n=(n+2)(n+1)a_{n+2}+2(n+1)^2a_n,\quad n\ge0. \nonumber\]
Para obtener soluciones de la Ecuación\ ref {eq:7.2.17}, nos fijamos\(b_n=0\) para\(n\ge0\). Esto es equivalente a la relación de recurrencia
\[\label{eq:7.2.18} a_{n+2}=-2{n+1\over n+2}a_n,\quad n\ge0.\]
Dado que los índices de la izquierda y la derecha difieren en dos, escribimos Ecuación\ ref {eq:7.2.18} por separado para\(n=2m\) y\(n=2m+1\), como en Ejemplo 7.3.1 . Esto rinde
\[\begin{align} a_{2m+2} &= -2 {2m+1\over2m+2}a_{2m} =-{2m+1\over m+1}a_{2m},\quad m \ge0,\label{eq:7.2.19} \end{align}\]
y
\[\begin{align} a_{2m+3} &= -2{2m+2\over2m+3}a_{2m+1} =-4{m+1\over2m+3}a_{2m+1},\quad m\ge0. \label{eq:7.2.20}\end{align}\]
Cálculo de los coeficientes de potencias pares\(x\) de la ecuación\ ref {eq:7.2.19} rendimientos
\[\begin{aligned} a_2 &= -{1\over1}a_0,\\[4pt] a_4 &= -{3\over2}a_2=\left(-{3\over2}\right)\left(-{1\over1}\right)a_0 ={1\cdot3\over1\cdot2}a_0, \\[4pt] a_6 &= -{5\over3}a_4= -{5\over3}\left(1\cdot3\over1\cdot2\right)a_0 =-{1\cdot3\cdot5\over1\cdot2\cdot3}a_0, \\[4pt] a_8 &= -{7\over4}a_6=-{7\over4} \left(-{1\cdot3\cdot5\over1\cdot2\cdot3}\right)a_0= {1\cdot3\cdot5\cdot7\over1\cdot2\cdot3\cdot4}a_0.\\\end{aligned}\nonumber \]En general,
\[\label{eq:7.2.21} a_{2m}=(-1)^m{\prod_{j=1}^m(2j-1)\over m!}a_0,\quad m\ge0.\]
(Tenga en cuenta que la Ecuación\ ref {eq:7.2.21} es correcta\(m=0\) porque definimos\(\prod_{j=1}^0b_j=1\) para cualquiera\(b_j\).)
Calcular los coeficientes de potencias impares\(x\) de la ecuación\ ref {eq:7.2.20} rendimientos
\[\begin{aligned} a_3 &= -4\,{1\over3}a_1, \\[4pt] a_5 &= -4\,{2\over5}a_3=-4\,{2\over5}\left(-4{1\over3}\right)a_1 =4^2{1\cdot2\over3\cdot5}a_1, \\[4pt] a_7 &= -4\,{3\over7}a_5=-4\,{3\over7}\left( 4^2{1\cdot2\over3\cdot5}\right)a_1= -4^3{1\cdot2\cdot3\over3\cdot5\cdot7}a_1,\\[4pt] a_9 &= -4\, {4\over9}a_7=-4\, {4\over9}\left( 4^3{1\cdot2\cdot3\over3\cdot5\cdot7}\right)a_1= 4^4{1\cdot2\cdot3\cdot4\over3\cdot5\cdot7\cdot9}a_1.\end{aligned}\nonumber \]
En general,
\[\label{eq:7.2.22} a_{2m+1}={(-1)^m4^m m!\over\prod_{j=1}^m(2j+1)}a_1,\quad m\ge0.\]
De la ecuación\ ref {eq:7.2.21} y la ecuación\ ref {eq:7.2.22},
\[y=a_0 \sum^\infty_{m=0}(-1)^m {\prod_{j=1}^m(2j-1)\over m!}x^{2m} +a_1 \sum^\infty_{m=0}(-1)^m {4^mm!\over\prod_{j=1}^m(2j+1)} x^{2m+1}. \nonumber\]
es la serie de potencia\(x\) para la solución general de la Ecuación\ ref {eq:7.2.17}. Dado que no\(P_0(x)=1+2x^2\) tiene ceros reales, el Teorema 5.1.1 implica que cada solución de la Ecuación\ ref {eq:7.2.17} se define en\((-\infty,\infty)\). Sin embargo\(P_0(\pm i/\sqrt2)=0\), dado que, Teorema 7.3.1 implica solo que la serie de potencia converge en\((-1/\sqrt2,1/\sqrt2)\) para cualquier elección de\(a_0\) y\(a_1\).
Los resultados en los Ejemplos 7.3.1 y 7.3.2 son consecuencias del siguiente teorema general.
Los coeficientes\(\{a_n\}\) en cualquier solución\(y=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n\) de
\[\label{eq:7.2.23} \left(1+\alpha(x-x_0)^2\right)y''+\beta(x-x_0) y'+\gamma y=0\]
satisfacer la relación de recurrencia
\[\label{eq:7.2.24} a_{n+2}=-{p(n) \over(n+2)(n+1)}a_n,\quad n\ge0,\]
donde
\[\label{eq:7.2.25} p(n)=\alpha n(n-1) +\beta n+\gamma.\]
Además,\(,\) los coeficientes de las potencias pares e impares de\(x-x_0\) pueden calcularse por separado como
\[ a_{2m+2} = -{p(2m)\over(2m+2)(2m+1)}a_{2m},\quad m\ge0\label{eq:7.2.26}\]
\[ a_{2m+3} = -{p(2m+1)\over(2m+3)(2m+2)}a_{2m+1},\quad m\ge0, \label{eq:7.2.27}\]
donde\(a_0\) y\(a_1\) son arbitrarias.
- Prueba
-
Aquí
\[Ly=\left(1+\alpha(x-x_0\right)^2)y''+\beta(x-x_0) y'+\gamma y. \nonumber\]
Si
\[y=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n,\nonumber\]
entonces
\[y'=\sum_{n=1}^\infty na_n(x-x_0)^{n-1} \quad\mbox{ and }\quad y''=\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}.\nonumber\]
Por lo tanto,
\[\begin{array}{ccl} Ly &= {\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}+ \sum_{n=0}^\infty \left[\alpha n(n-1) +\beta n+\gamma\right]a_n(x-x_0)^n}\\[4pt] &= {\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}+\sum_{n=0}^\infty p(n)a_n(x-x_0)^n}, \end{array}\nonumber \]
de Ecuación\ ref {eq:7.2.25}. Para recolectar coeficientes de potencias de\(x-x_0\), desplazamos el índice de suma en la primera suma. Esto rinde
\[Ly=\sum_{n=0}^\infty \left[(n+2)(n+1)a_{n+2}+p(n)a_n\right](x-x_0)^n.\nonumber\]
Por lo tanto,\(Ly=0\) si y solo si
\[(n+2)(n+1)a_{n+2}+p(n)a_n=0,\quad n\ge0,\nonumber\]que es equivalente a la Ecuación\ ref {eq:7.2.24}. Escribir Ecuación\ ref {eq:7.2.24} por separado para los casos donde\(n=2m\) y\(n=2m+1\) rinde Ecuación\ ref {eq:7.2.26} y Ecuación\ ref {eq:7.2.27}.
Encuentre la serie de potencia\(x-1\) para la solución general de
\[\label{eq:7.2.28} (2+4x-2x^2)y''-12(x-1)y'-12y=0.\]
Solución
Primero debemos escribir el coeficiente\(P_0(x)=2+4x-x^2\) en poderes de\(x-1\). Para ello,\(x=(x-1)+1\) escribimos\(P_0(x)\) y luego ampliamos los términos, recogiendo poderes de\(x-1\); así,
\[\begin{aligned} 2+4x-2x^2 &= 2+4[(x-1)+1]-2[(x-1)+1]^2\\ &= 4-2(x-1)^2.\end{aligned}\nonumber \]
Por lo tanto podemos reescribir la Ecuación\ ref {eq:7.2.28} como
\[\left(4-2(x-1)^2\right)y''-12(x-1)y'-12y=0, \nonumber\]
o, equivalentemente,
\[\left(1-{1\over2}(x-1)^2\right)y''-3(x-1)y'-3y=0. \nonumber \]
Esta es de la forma Ecuación\ ref {eq:7.2.23} con\(\alpha=-1/2\),\(\beta=-3\), y\(\gamma=-3\). Por lo tanto, de la Ecuación\ ref {eq:7.2.25}
\[p(n)=-{n(n-1)\over2}-3n-3=-{(n+2)(n+3)\over2}.\nonumber \]
Por lo tanto, el teorema 7.3.2 implica que
\[\begin{aligned} a_{2m+2} &= -{p(2m)\over(2m+2)(2m+1)}a_{2m}\\ &= {(2m+2)(2m+3)\over2(2m+2)(2m+1)} a_{2m}={2m+3\over2(2m+1)}a_{2m},\quad m\ge0 \end{aligned} \nonumber \]
y
\[\begin{aligned} a_{2m+3} &= -{p(2m+1)\over(2m+3)(2m+2)}a_{2m+1}\\ &= {(2m+3)(2m+4)\over2 (2m+3)(2m+2)}a_{2m+1}={m+2\over2(m+1)}a_{2m+1},\quad m\ge0.\end{aligned}\nonumber \]
Te dejamos a ti demostrar que
\[a_{2m}={2m+1\over2^m}a_0\quad\mbox{ and }\quad a_{2m+1}={m+1\over2^m}a_1,\quad m\ge0,\nonumber \]
lo que implica que la serie de potencia en\(x-1\) para la solución general de la Ecuación\ ref {eq:7.2.28} es
\[y=a_0\sum_{m=0}^\infty{2m+1\over2^m}(x-1)^{2m}+a_1\sum_{m=0}^\infty {m+1\over2^m}(x-1)^{2m+1}.\nonumber \]
En los ejemplos considerados hasta ahora pudimos obtener fórmulas cerradas para coeficientes en las soluciones de series de potencia. En algunos casos esto es imposible, y debemos conformarnos con computar un número finito de términos en la serie. El siguiente ejemplo ilustra esto con un problema de valor inicial.
Computar\(a_0\)\(a_1\),,...,\(a_7\) en la serie solución\(y=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\) del problema de valor inicial
\[\label{eq:7.2.29} (1+2x^2)y''+10xy'+8y=0,\quad y(0)=2,\quad y'(0)=-3.\]
Solución
Desde\(\alpha=2\),\(\beta=10\), y\(\gamma=8\) en la Ecuación\ ref {eq:7.2.29},
\[p(n)=2n(n-1)+10n+8=2(n+2)^2.\nonumber\]
Por lo tanto
\[a_{n+2}=-2{(n+2)^2\over(n+2)(n+1)}a_n=-2{n+2\over n+1}a_n,\quad n\ge0.\nonumber\]
Escribir esta ecuación por separado para\(n=2m\) y\(n=2m+1\) rendimientos
\[\begin{align} a_{2m+2} = -2{(2m+2)\over2m+1}a_{2m}=-4{m+1\over2m+1}a_{2m},\quad m\ge 0\label{eq:7.2.30}\end{align}\]
\[\begin{align} a_{2m+3} = -2{2m+3\over2m+2}a_{2m+1}=-{2m+3\over m+1}a_{2m+1},\quad m\ge0. \label{eq:7.2.31}\end{align}\]
Comenzando con\(a_0=y(0)=2\), calculamos\(a_2, a_4\), y\(a_6\) a partir de la ecuación\ ref {eq:7.2.30}:
\[\begin{aligned} a_2 &= -4\,{1\over1}2=-8,\\[4pt] a_4 &= -4\,{2\over3}(-8)={64\over3},\\[4pt] a_6 &= -4\,{3\over5}\left(64\over3\right)=-{256\over5}.\end{aligned}\nonumber\]
Comenzando con\(a_1=y'(0)=-3\), calculamos\(a_3,a_5\) y\(a_7\) a partir de la ecuación\ ref {eq:7.2.31}:
\[\begin{aligned} a_3 &= -{3\over1}(-3)=9,\\[4pt] a_5 &= -{5\over2}9=-{45\over2},\\[4pt] a_7 &= -{7\over3}\left(-{45\over2}\right)={105\over2}.\end{aligned}\nonumber \]
Por lo tanto, la solución de la Ecuación\ ref {eq:7.2.29} es
\[y=2-3x-8x^2+9x^3+{64\over3}x^4-{45\over2}x^5-{256\over5} x^6+{105\over2}x^7+\cdots\;.\nonumber\]
Uso de la tecnología
Calcular coeficientes recursivamente como en Ejemplo 7.3.4 es tedioso. Te recomendamos que hagas este tipo de cómputos escribiendo un programa corto para implementar la relación de recurrencia apropiada en una calculadora o computadora. Es posible que desee hacer esto al verificar ejemplos y hacer ejercicios (identificados por el símbolo\(C\)) en este capítulo que requieren el cálculo numérico de los coeficientes en soluciones en serie. Obtuvimos las respuestas a estos ejercicios mediante el uso de software que puede producir respuestas en forma de números racionales. No obstante, es perfectamente aceptable -y más práctico- obtener sus respuestas en forma decimal. Siempre puedes verificarlos convirtiendo nuestras fracciones a decimales.
Si estás interesado en usar realmente series para calcular aproximaciones numéricas a soluciones de una ecuación diferencial, entonces si hay o no una forma cerrada simple para los coeficientes es esencialmente irrelevante. Para fines computacionales suele ser más eficiente comenzar con los coeficientes dados\(a_0=y(x_0)\) y\(a_1=y'(x_0)\), computar,...\(a_2\),\(a_N\) recursivamente, para luego computar valores aproximados de la solución a partir del polinomio Taylor
\[T_N(x)=\sum_{n=0}^Na_n(x-x_0)^n.\nonumber \]
El truco es decidir cómo elegir para\(N\) que la aproximación\(y(x)\approx T_N(x)\) sea suficientemente precisa en el subintervalo del intervalo de convergencia que te interese. En los ejercicios computacionales en esta y en las dos secciones siguientes, a menudo se le pedirá que obtenga la solución de un problema dado mediante la integración numérica con el software de su elección (consulte la Sección 10.1 para una breve discusión de uno de esos métodos), y que compare la solución obtenida de esta manera con la aproximaciones obtenidas con\(T_N\) para diversos valores de\(N\). Este es un tipo de ejercicio típico de libro de texto, diseñado para darte una idea de cómo se\(y(x)\approx T_N(x)\) comporta la precisión de la aproximación en función\(N\) y el intervalo en el que estás trabajando. En la vida real, elegirías uno u otro de los dos métodos (integración numérica o solución en serie). Si eliges el método de solución en serie, entonces un procedimiento práctico para determinar un valor adecuado de\(N\) es continuar aumentando\(N\) hasta que el máximo de\(|T_N-T_{N-1}|\) en el intervalo de interés esté dentro del margen de error que estés dispuesto a aceptar.
Al hacer problemas computacionales que requieren una solución numérica de ecuaciones diferenciales, debe elegir el procedimiento de integración numérica más preciso que admita su software y experimentar con el tamaño del paso hasta que esté seguro de que los resultados numéricos son lo suficientemente precisos para el problema en mano.