7.3E: Soluciones en Serie Cerca de un Punto Ordinario I (Ejercicios)

Q7.2.1

En Ejercicios 7.2.1-7.2.8 encuentra la serie power en\(x\) para la solución general.

1. \((1+x^2)y''+6xy'+6y=0\)

2. \((1+x^2)y''+2xy'-2y=0\)

3. \((1+x^2)y''-8xy'+20y=0\)

4. \((1-x^2)y''-8xy'-12y=0\)

5. \((1+2x^2)y''+7xy'+2y=0\)

6. \({(1+x^2)y''+2xy'+{1\over4}y=0}\)

7. \((1-x^2)y''-5xy'-4y=0\)

8. \((1+x^2)y''-10xy'+28y=0\)

Q7.2.2

9.

1. Encuentre la serie de potencia\(x\) para la solución general de\(y''+xy'+2y=0\).
2. Para varias opciones de\(a_0\) y\(a_1\), use el software de ecuaciones diferenciales para resolver el problema del valor inicial\[y''+xy'+2y=0,\quad y(0)=a_0,\quad y'(0)=a_1, \tag{A}\] numéricamente en\((-5,5)\).
3. Para fijo\(r\) en\(\{1,2,3,4,5\}\) gráfico\[T_N(x)=\sum_{n=0}^N a_nx^n\nonumber \] y la solución obtenida en (a) en\((-r,r)\). Continue increasing \(N\) until there’s no perceptible difference between the two graphs.

10. Siga las instrucciones de Ejercicio [exer:7.2.9} para la ecuación diferencial\[y''+2xy'+3y=0.\nonumber \]

Q7.2.3

En Ejercicios 7.2.11-7.2.13 encontrar\(a_{0}, ..., a_{N}\) por lo\(N\) menos\(7\) en la serie de potencia la solución\(y=\sum _{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n}\) del problema de valor inicial.

11. \((1+x^2)y''+xy'+y=0,\quad y(0)=2,\quad y'(0)=-1\)

12. \((1+2x^2)y''-9xy'-6y=0,\quad y(0)=1,\quad y'(0)=-1\)

13. \((1+8x^2)y''+2y=0,\quad y(0)=2,\quad y'(0)=-1\)

Q7.2.4

14. Haga el siguiente experimento para varias opciones de números reales\(a_0\),\(a_1\), y\(r\), con\(0<r<1/\sqrt2\).

1. Utilice el software de ecuaciones diferenciales para resolver el problema del valor inicial\[(1-2x^2)y''-xy'+3y=0,\quad y(0)=a_0,\quad y'(0)=a_1, \tag{A}\] numéricamente en\((-r,r)\).
2. Para\(N=2\),\(3\),\(4\),..., computar\(a_2\),...,\(a_N\) en la solución serie power\(y=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\) de (A), y graficar\[T_N(x)=\sum_{n=0}^N a_nx^n\nonumber \] y la solución obtenida en (a) on\((-r,r)\). Continuar aumentando\(N\) hasta que no haya diferencia perceptible entre las dos gráficas.

15. Hacer (a) y (b) para varios valores de\(r\) en\((0,1)\):

1. Utilice el software de ecuaciones diferenciales para resolver el problema del valor inicial\[(1+x^2)y''+10xy'+14y=0,\quad y(0)=5,\quad y'(0)=1, \tag{A}\] numéricamente en\((-r,r)\).
2. Para\(N=2\),\(3\),\(4\),..., computar\(a_2\),...,\(a_N\) en la solución serie power\(y=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\) de (A), y graficar\[T_N(x)=\sum_{n=0}^N a_nx^n\nonumber \] y la solución obtenida en (a) on\((-r,r)\). Continuar aumentando\(N\) hasta que no haya diferencia perceptible entre las dos gráficas. ¿Qué pasa con lo requerido\(N\) como\(r\to1\)?
3. Pruebe (a) y (b) con\(r=1.2\). Explica tus resultados.

Q7.2.5

En Ejercicios 7.2.16-7.2.20 encuentra la serie power en\(x-x_{0}\) para la solución general.

16. \(y''-y=0;\quad x_0=3\)

17. \(y''-(x-3)y'-y=0;\quad x_0=3\)

18. \((1-4x+2x^2)y''+10(x-1)y'+6y=0;\quad x_0=1\)

19. \((11-8x+2x^2)y''-16(x-2)y'+36y=0;\quad x_0=2\)

20. \((5+6x+3x^2)y''+9(x+1)y'+3y=0;\quad x_0=-1\)

Q7.2.6

En Ejercicios 7.2.21-7.2.26 encontrar\(a_{0}, ... a_{N}\) por lo\(N\) menos\(7\) en la serie power\(y=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}(x-x_{0})^{n}\) para la solución del problema de valor inicial. Tome\(x_{0}\) para ser el punto donde se impongan las condiciones iniciales.

21. \((x^2-4)y''-xy'-3y=0,\quad y(0)=-1,\quad y'(0)=2\)

22. \(y''+(x-3)y'+3y=0,\quad y(3)=-2,\quad y'(3)=3\)

23. \((5-6x+3x^2)y''+(x-1)y'+12y=0,\quad y(1)=-1,\quad y'(1)=1\)

24. \((4x^2-24x+37)y''+y=0,\quad y(3)=4,\quad y'(3)=-6\)

25. \((x^2-8x+14)y''-8(x-4)y'+20y=0,\quad y(4)=3,\quad y'(4)=-4\)

26. \((2x^2+4x+5)y''-20(x+1)y'+60y=0,\quad y(-1)=3,\quad y'(-1)=-3\)

Q7.2.7

27.

1. Encuentre una serie de potencia\(x\) para la solución general de\[(1+x^2)y''+4xy'+2y=0. \tag{A}\]
2. Utilice (a) y la fórmula\[{1\over1-r}=1+r+r^2+\cdots+r^n+\cdots \quad(-1<r<1)\nonumber \] para la suma de una serie geométrica para encontrar una expresión de forma cerrada para la solución general de (A) on\((-1,1)\).
3. Demostrar que la expresión obtenida en (b) es en realidad la solución general de (A) on\((-\infty,\infty)\).

28. Utilice el Teorema 7.2.2 para mostrar que la serie de potencia entra\(x\) para la solución general de\[(1+\alpha x^2)y''+\beta xy'+\gamma y=0\nonumber \]

es\[y=a_0\sum^\infty_{m=0}(-1)^m \left[\prod^{m-1}_{j=0} p(2j)\right] {x^{2m}\over(2m)!} + a_1\sum^\infty_{m=0}(-1)^m \left[\prod^{m-1}_{j=0}p(2j+1)\right] {x^{2m+1}\over(2m+1)!}.\nonumber \]

29. Utilice el Ejercicio 7.2.28 para demostrar que todas las soluciones de\[(1+\alpha x^2)y''+\beta xy'+\gamma y=0\nonumber \]

son polinomios si y solo si\[\alpha n(n-1)+\beta n+\gamma=\alpha(n-2r)(n-2s-1),\nonumber \]

donde\(r\) y\(s\) son enteros no negativos.

30.

1. Utilice Ejercicio [exer:7.2.28} para demostrar que la serie de potencia está\(x\) para la solución general de\[(1-x^2)y''-2bxy'+\alpha(\alpha+2b-1)y=0\nonumber \] es\(y=a_0y_1+a_1y_2\), dónde\[y_{1}=\sum_{m=0}^{\infty} \left[\prod_{j=0}^{m-1}(2j-\alpha )(2j+\alpha +2b-1) \right]\frac{x^{2m}}{(2m)!}\nonumber \] y\[y_{2}=\sum_{m=0}^{\infty}\left[\prod_{j=0}^{m-1}(2j+1-\alpha )(2j+\alpha +2b) \right] \frac{x^{2m+1}}{(2m+1)!}\nonumber\]
2. Supongamos que\(2b\) no es un entero impar negativo y\(k\) es un entero no negativo. Demostrar que\(y_1\) es un polinomio de grado\(2k\) tal que\(y_1(-x)=y_1(x)\) si\(\alpha=2k\), mientras\(y_2\) es un polinomio de grado\(2k+1\) tal que\(y_2(-x)=-y_2(-x)\) si\(\alpha=2k+1\). Concluye que si\(n\) es un entero no negativo, entonces hay un polinomio\(P_n\) de grado\(n\) tal que\(P_n(-x)=(-1)^nP_n(x)\) y\[(1-x^2)P_n''-2bxP_n'+n(n+2b-1)P_n=0. \tag{A}\]
3. Mostrar que (A) implica eso\[[(1-x^2)^b P_n']'=-n(n+2b-1)(1-x^2)^{b-1}P_n,\nonumber \] y usa esto para mostrar que si\(m\) y\(n\) son enteros no negativos, entonces\[[(1-x^{2})^{b}P_{n}']P_{m}-[(1-x^{2})^{b}P_{m}']P_{n}=[m(m+2b-1)-n(n+2b-1)](1-x^{2})^{b-1}P_{m}P_{n}\tag{B}\]
4. Ahora supongamos\(b>0\). Utilizar (B) e integración por partes para mostrar que si\(m\ne n\), entonces\[\int_{-1}^1 (1-x^2)^{b-1}P_m(x)P_n(x)\,dx=0.\nonumber \] (Decimos que\(P_m\) y\(P_n\) son ortogonales en\((-1,1)\) respecto a la función de ponderación\((1-x^2)^{b-1}\).)

31.

1. Utilice el Ejercicio 7.2.28 para mostrar que la serie de potencias\(x\) para la solución general de la ecuación de Hermite\[y''-2xy'+2\alpha y=0\nonumber \] es\(y=a_0y_1+a_1y_1\), dónde\[y_{1}=\sum_{m=0}^{\infty}\left[ \prod_{j=0}^{m-1}(2j-\alpha ) \right]\frac{2^{m}x^{2m}}{(2m)!}\nonumber\] y\[y_{2}=\sum_{m=0}^{\infty}\left[\prod_{j=0}^{m-1} (2j+1-\alpha ) \right] \frac{2^{m}x^{2m+1}}{(2m+1)!}\nonumber\]
2. Supongamos que\(k\) es un entero no negativo. Demostrar que\(y_1\) es un polinomio de grado\(2k\) tal que\(y_1(-x)=y_1(x)\) si\(\alpha=2k\), mientras\(y_2\) es un polinomio de grado\(2k+1\) tal que\(y_2(-x)=-y_2(-x)\) si\(\alpha=2k+1\). Concluye que si\(n\) es un entero no negativo entonces hay un polinomio\(P_n\) de grado\(n\) tal que\(P_n(-x)=(-1)^nP_n(x)\) y\[P_n''-2xP_n'+2nP_n=0. \tag{A}\]
3. Mostrar que (A) implica eso\[[e^{-x^2}P_n']'=-2ne^{-x^2}P_n,\nonumber \] y usa esto para mostrar que si\(m\) y\(n\) son enteros no negativos, entonces\[[e^{-x^2}P_n']'P_m-[e^{-x^2}P_m']'P_n= 2(m-n)e^{-x^2}P_mP_n. \tag{B}\]
4. Utilizar (B) e integración por partes para mostrar que si\(m\ne n\), entonces\[\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}P_m(x)P_n(x)\,dx=0.\nonumber \] (Decimos que\(P_m\) y\(P_n\) son ortogonales en\((-\infty,\infty)\) respecto a la función de ponderación\(e^{-x^2}\).)

32. Considera la ecuación\[\left(1+\alpha x^3\right)y''+\beta x^2y'+\gamma xy=0, \tag{A}\] y deja\(p(n)=\alpha n(n-1)+\beta n+\gamma\). (El caso especial\(y''-xy=0\) de (A) es la ecuación de Airy.)

1. Modificar el argumento utilizado para probar el Teorema [thmtype:7.2.2} para mostrar que\[y=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\nonumber \] es una solución de (A) si y solo si\(a_2=0\) y\[a_{n+3}=-{p(n)\over(n+3)(n+2)}a_n,\quad n\ge0.\nonumber \]
2. Mostrar de (a) que\(a_n=0\) a menos que\(n=3m\) o\(n=3m+1\) para algún entero no negativo\(m\), y que\[\begin{aligned} a_{3m+3}&=&-{p(3m)\over(3m+3)(3m+2)}a_{3m},\quad m\ge 0,\\ \text{and} \\ a_{3m+4}&=&-{p(3m+1)\over(3m+4)(3m+3)} a_{3m+1},\quad m\ge0,\end{aligned}\nonumber \] donde\(a_0\) y\(a_1\) puede especificarse arbitrariamente.
3. Concluir de (b) que la serie de potencia\(x\) para la solución general de (A) es\[\begin{array}{l} y={a_0\sum^\infty_{m=0}(-1)^m \left[\prod^{m-1}_{j=0} {p(3j)\over3j+2}\right] {x^{3m}\over3^m m!}}\\[4pt] \qquad{+a_1\sum^\infty_{m=0}(-1)^m \left[\prod^{m-1}_{j=0}{p(3j+1)\over3j+4}\right] {x^{3m+1}\over3^mm!}}. \end{array}\nonumber \]

Q7.2.8

En Ejercicios 7.2.33-7.2.37 utilizar el método del Ejercicio 7.2.32 para encontrar la serie de potencia en\(x\) para la solución general.

33. \(y''-xy=0\)

34. \((1-2x^3)y''-10x^2y'-8xy=0\)

35. \((1+x^3)y''+7x^2y'+9xy=0\)

36. \((1-2x^3)y''+6x^2y'+24xy=0\)

37. \((1-x^3)y''+15x^2y'-63xy=0\)

Q7.2.9

38. Considera la ecuación\[\left(1+\alpha x^{k+2}\right)y''+\beta x^{k+1}y'+\gamma x^ky=0, \tag{A}\] donde\(k\) es un entero positivo, y vamos\(p(n)=\alpha n(n-1)+\beta n+\gamma\).

1. Modificar el argumento utilizado para probar el Teorema 7.2.2 para mostrar que\[y=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\nonumber \] es una solución de (A) si y solo si\(a_n=0\) para\(2\le n\le k+1\) y\[a_{n+k+2}=-{p(n)\over(n+k+2)(n+k+1)}a_n,\quad n\ge0.\nonumber \]
2. Mostrar de (a) que\(a_n=0\) a menos que\(n=(k+2)m\) o\(n=(k+2)m+1\) para algún entero no negativo\(m\), y que\[\begin{aligned} a_{(k+2)(m+1)}&=&-{p\left((k+2)m\right)\over (k+2)(m+1)[(k+2)(m+1)-1]}a_{(k+2)m},\quad m\ge 0, \\ \text{and}\\ a_{(k+2)(m+1)+1}&=&-{p\left((k+2)m+1\right)\over[(k+2)(m+1)+1](k+2)(m+1)} a_{(k+2)m+1},\quad m\ge0,\end{aligned}\nonumber \] donde\(a_0\) y\(a_1\) puede especificarse arbitrariamente.
3. Concluir de (b) que la serie de potencia\(x\) para la solución general de (A) es\[\begin{array}{l} y=a_0{\sum^\infty_{m=0}(-1)^m \left[\prod^{m-1}_{j=0} {p\left((k+2)j\right)\over(k+2)(j+1)-1}\right] {x^{(k+2)m}\over(k+2)^m m!}}\\ \qquad+a_1{\sum^\infty_{m=0}(-1)^m \left[\prod^{m-1}_{j=0}{p\left((k+2)j+1\right)\over(k+2)(j+1)+1}\right] {x^{(k+2)m+1}\over(k+2)^mm!}}. \end{array}\nonumber \]

Q7.2.10

En Ejercicios 7.2.39-7.2.44 utilizar el método del Ejercicio 7.2.38 para encontrar la serie de potencia en\(x\) para la solución general.

39. \((1+2x^5)y''+14x^4y'+10x^3y=0\)

40. \(y''+x^2y=0\)

41. \(y''+x^6y'+7x^5y=0\)

42. \((1+x^8)y''-16x^7y'+72x^6y=0\)

43. \((1-x^6)y''-12x^5y'-30x^4y=0\)

44. \(y''+x^5y'+6x^4y=0\)