7.4: Soluciones en serie cerca de un punto ordinario II
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En esta sección seguimos encontrando soluciones en serie
\[y=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n \nonumber\]
de problemas de valor inicial
\[\label{eq:7.3.1} P_0(x)y''+P_1(x)y'+P_2(x)y=0,\quad y(x_0)=a_0,\quad y'(x_0)=a_1,\]
donde\(P_0,P_1\), y\(P_2\) son polinomios y\(P_0(x_0)\ne0\), así\(x_0\) es un punto ordinario de la Ecuación\ ref {eq:7.3.1}. Sin embargo, aquí consideramos casos donde la ecuación diferencial en la Ecuación\ ref {eq:7.3.1} no es de la forma
\[\left(1+\alpha(x-x_0)^2\right)y''+\beta(x-x_0) y'+\gamma y=0,\nonumber\]
por lo que el Teorema 7.2.2 no aplica, y el cálculo de los coeficientes\(\{a_n\}\) es más complicado. Para las ecuaciones aquí consideradas es difícil o imposible obtener una fórmula explícita para\(a_n\) en términos de\(n\). Sin embargo, podemos calcular tantos coeficientes como deseemos. Los siguientes tres ejemplos ilustran esto.
Encuentra los coeficientes\(a_0\),...,\(a_7\) en la serie solución\(y=\sum^\infty_{n=0} a_nx^n\) del problema de valor inicial
\[\label{eq:7.3.2} (1+x+2x^2)y''+(1+7x)y'+2y=0,\quad y(0)=-1,\quad y'(0)=-2.\]
Solución
Aquí
\[Ly=(1+x+2x^2)y''+(1+7x)y'+2y.\nonumber\]
Los ceros\((-1\pm i\sqrt7)/4\) de\(P_0(x)=1+x+2x^2\) tienen valor absoluto\(1/\sqrt2\), por lo que el Teorema 7.2.2 implica que la solución en serie converge a la solución de la Ecuación\ ref {eq:7.3.2} on\((-1/\sqrt2,1/\sqrt2)\). Desde
\[y=\sum^\infty_{n=0} a_nx^n,\quad y'=\sum^\infty_{n=1} n a_nx^{n-1}\quad \text{and}\quad y''=\sum^\infty_{n=2}n(n-1)a_nx^{n-2},\nonumber\]
\[\begin{aligned} Ly &= \sum^\infty_{n=2}n(n-1)a_nx^{n-2}+\sum^\infty_{n=2}n(n-1)a_nx^{n-1}+2\sum^\infty_{n=2}n(n-1)a_nx^n\\[4pt] &+\sum^\infty_{n=1}na_nx^{n-1}+7\sum^\infty_{n=1}na_nx^n+2\sum^\infty_{n=0} a_nx^n.\end{aligned}\]
Indices cambiantes para que el término general en cada serie sea un múltiplo constante de\(x^n\) rendimientos
\[\begin{aligned} Ly &= \sum^\infty_{n=0}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^n+\sum^\infty_{n=0}(n+1)na_{n+1}x^n +2\sum^\infty_{n=0}n(n-1)a_nx^n\\[10pt] &+\sum^\infty_{n=0}(n+1)a_{n+1}x^n+7\sum^\infty_{n=0}na_nx^n+ 2\sum^\infty_{n=0}a_nx^n =\sum^\infty_{n=0}b_nx^n,\end{aligned}\]
donde
\[b_n=(n+2)(n+1)a_{n+2}+(n+1)^2a_{n+1}+(n+2)(2n+1)a_n.\nonumber\]
Por lo tanto\(y=\sum^\infty_{n=0}a_nx^n\) es una solución de\(Ly=0\) si y solo si
\[\label{eq:7.3.3} a_{n+2}=-{n+1\over n+2}\,a_{n+1}-{2n+1\over n+1}\,a_n,\,n\ge0.\]
A partir de las condiciones iniciales en la Ecuación\ ref {eq:7.3.2},\(a_0=y(0)=-1\) y\(a_1=y'(0)=-2\). Ajuste\(n=0\) en Ecuación\ ref {eq:7.3.3} rendimientos
\[a_2=-{1\over2}a_1-a_0=-{1\over2}(-2)-(-1)=2.\nonumber\]
Ajuste\(n=1\) en Ecuación\ ref {eq:7.3.3} rendimientos
\[a_3=-{2\over3}a_2-{3\over2}a_1=-{2\over3}(2)-{3\over2}(-2)={5\over3}.\nonumber\]
Te dejamos a ti calcular a\(a_4,a_5,a_6,a_7\) partir de la Ecuación\ ref {eq:7.3.3} y demostrar que
\[y=-1-2x+2x^2+{5\over3}x^3-{55\over12}x^4+{3\over4}x^5+{61\over8}x^6- {443\over56}x^7+\cdots.\nonumber\]
También te dejamos a ti (Ejercicio [exer:7.3.13}) verificar numéricamente que los polinomios de Taylor\(T_N(x)=\sum_{n=0}^Na_nx^n\) convergen a la solución de la Ecuación\ ref {eq:7.3.2} on\((-1/\sqrt2,1/\sqrt2)\).
Encuentra los coeficientes\(a_0\),...,\(a_5\) en la solución en serie
\[y=\sum^\infty_{n=0} a_n(x+1)^n\nonumber\]
del problema de valor inicial
\[\label{eq:7.3.4} (3+x)y''+(1+2x)y'-(2-x)y=0,\quad y(-1)=2,\quad y'(-1)=-3.\]
Como la serie deseada está en potencias de\(x+1\) reescribimos la ecuación diferencial en la Ecuación\ ref {eq:7.3.4} como\(Ly=0\), con
\[Ly=\left(2+(x+1)\right)y''-\left(1-2(x+1)\right)y'-\left(3-(x+1)\right)y.\nonumber\]
Desde
\[y=\sum^\infty_{n=0} a_n(x+1)^n,\quad y'=\sum^\infty_{n=1} n a_n(x+1)^{n-1}\quad \text{and}\quad y''=\sum^\infty_{n=2}n(n-1)a_n(x+1)^{n-2},\nonumber\]
\[\begin{aligned} Ly &= 2\sum^\infty_{n=2}n(n-1)a_n(x+1)^{n-2}+\sum^\infty_{n=2}n(n-1)a_n(x+1)^{n-1} \\&-\sum^\infty_{n=1}na_n(x+1)^{n-1}+2\sum^\infty_{n=1}na_n(x+1)^n\\[4pt] &-3\sum^\infty_{n=0}a_n(x+1)^n+\sum_{n=0}^\infty a_n(x+1)^{n+1}.\end{aligned}\]
Índices cambiantes para que el término general en cada serie sea un múltiplo constante de\((x+1)^n\) rendimientos
\[\begin{aligned} Ly &= 2\sum^\infty_{n=0}(n+2)(n+1)a_{n+2}(x+1)^n+\sum^\infty_{n=0}(n+1)na_{n+1} (x+1)^n\\[10pt]&-\sum^\infty_{n=0}(n+1)a_{n+1}(x+1)^n +\sum^\infty_{n=0}(2n-3)a_n(x+1)^n+\sum^\infty_{n=1}a_{n-1}(x+1)^n\\[10pt] &= \sum^\infty_{n=0}b_n(x+1)^n,\end{aligned}\]
donde
\[b_0=4a_2-a_1-3a_0\nonumber\]
y
\[b_n=2(n+2)(n+1)a_{n+2}+(n^2-1)a_{n+1}+(2n-3)a_n+a_{n-1},\quad n\ge1.\nonumber\]
Por lo tanto\(y=\sum^\infty_{n=0}a_n(x+1)^n\) es una solución de\(Ly=0\) si y solo si
\[\label{eq:7.3.5} a_2={1\over4}(a_1+3a_0)\]
y
\[\label{eq:7.3.6} a_{n+2}=-{1\over2(n+2)(n+1)}\left[(n^2-1)a_{n+1}+(2n-3)a_n+a_{n-1}\right], \quad n\ge1.\]
A partir de las condiciones iniciales en la Ecuación\ ref {eq:7.3.4},\(a_0=y(-1)=2\) y\(a_1=y'(-1)=-3\). Te dejamos a ti calcular\(a_2\),...,\(a_5\) con Ecuación\ ref {eq:7.3.5} y Ecuación\ ref {eq:7.3.6} y demostrar que la solución de la Ecuación\ ref {eq:7.3.4} es
\[y=-2-3(x+1)+{3\over4}(x+1)^2-{5\over12}(x+1)^3+{7\over48}(x+1)^4 -{1\over60}(x+1)^5+\cdots.\nonumber\]
También te dejamos a ti (Ejercicio [exer:7.3.14}) verificar numéricamente que los polinomios de Taylor\(T_N(x)=\sum_{n=0}^Na_nx^n\) convergen a la solución de Ecuación\ ref {eq:7.3.4} en el intervalo de convergencia de la solución de series de potencia.
Encuentra los coeficientes\(a_0\),...,\(a_5\) en la serie solución\(y=\sum^\infty_{n=0} a_nx^n\) del problema de valor inicial
\[\label{eq:7.3.7} y''+3xy'+(4+2x^2)y=0,\quad y(0)=2,\quad y'(0)=-3.\]
Solución
Aquí
\[Ly=y''+3xy'+(4+2x^2)y.\nonumber\]
Desde
\[y=\sum^\infty_{n=0} a_nx^n,\quad y'=\sum^\infty_{n=1} n a_nx^{n-1},\quad\text {and} \quad y''=\sum^\infty_{n=2}n(n-1)a_nx^{n-2},\nonumber\]
\[\begin{aligned} Ly &= \sum^\infty_{n=2}n(n-1)a_nx^{n-2} +3\sum^\infty_{n=1}na_nx^n+4\sum^\infty_{n=0}a_nx^n+2\sum^\infty_{n=0} a_nx^{n+2}.\end{aligned}\]
Índices cambiantes para que el término general en cada serie sea un múltiplo constante de\(x^n\) rendimientos
\[Ly=\sum^\infty_{n=0}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^n+\sum^\infty_{n=0}(3n+4)a_nx^n +2\sum^\infty_{n=2}a_{n-2}x^n=\sum_{n=0}^\infty b_nx^n\nonumber\]
donde
\[b_0=2a_2+4a_0,\quad b_1=6a_3+7a_1,\nonumber\]
y
\[b_n=(n+2)(n+1)a_{n+2}+(3n+4)a_n+2a_{n-2},\quad n\ge2.\nonumber\]
Por lo tanto\(y=\sum^\infty_{n=0}a_nx^n\) es una solución de\(Ly=0\) si y solo si
\[\label{eq:7.3.8} a_2=-2a_0,\quad a_3=-{7\over6}a_1,\]
y
\[\label{eq:7.3.9} a_{n+2}=-{1\over (n+2)(n+1)}\left[(3n+4)a_n+2a_{n-2}\right],\quad n\ge2.\]
A partir de las condiciones iniciales en la Ecuación\ ref {eq:7.3.7},\(a_0=y(0)=2\) y\(a_1=y'(0)=-3\). Te dejamos a ti calcular\(a_2\),...,\(a_5\) con la Ecuación\ ref {eq:7.3.8} y la Ecuación\ ref {eq:7.3.9} y demostrar que la solución de la Ecuación\ ref {eq:7.3.7} es
\[y=2-3x-4x^2+{7\over2}x^3+3x^4-{79\over40}x^5+\cdots.\nonumber\]
También te dejamos a ti (Ejercicio [exer:7.3.15}) verificar numéricamente que los polinomios de Taylor\(T_N(x)=\sum_{n=0}^Na_nx^n\) convergen a la solución de Ecuación\ ref {eq:7.3.9} en el intervalo de convergencia de la solución de series de potencia.