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7.4E: Soluciones en Serie Cerca de un Punto Ordinario II (Ejercicios)

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    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Q7.3.1

    En Ejercicios 7.3.1-7.3.12 encontramos los coeficientes\(a_0\),...,\(a_N\) para al\(N\) menos\(7\) en la serie solución\(y=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\) del problema de valor inicial.

    1. \((1+3x)y''+xy'+2y=0,\quad y(0)=2,\quad y'(0)=-3\)

    2. \((1+x+2x^2)y''+(2+8x)y'+4y=0,\quad y(0)=-1,\quad y'(0)=2\)

    3. \((1-2x^2)y''+(2-6x)y'-2y=0,\quad y(0)=1,\quad y'(0)=0\)

    4. \((1+x+3x^2)y''+(2+15x)y'+12y=0,\quad y(0)=0,\quad y'(0)=1\)

    5. \((2+x)y''+(1+x)y'+3y=0,\quad y(0)=4,\quad y'(0)=3\)

    6. \((3+3x+x^2)y''+(6+4x)y'+2y=0,\quad y(0)=7,\quad y'(0)=3\)

    7. \((4+x)y''+(2+x)y'+2y=0,\quad y(0)=2,\quad y'(0)=5\)

    8. \((2-3x+2x^2)y''-(4-6x)y'+2y=0,\quad y(1)=1,\quad y'(1)=-1\)

    9. \((3x+2x^2)y''+10(1+x)y'+8y=0,\quad y(-1)=1,\quad y'(-1)=-1\)

    10. \((1-x+x^2)y''-(1-4x)y'+2y=0,\quad y(1)=2,\quad y'(1)=-1\)

    11. \((2+x)y''+(2+x)y'+y=0,\quad y(-1)=-2,\quad y'(-1)=3\)

    12. \(x^2y''-(6-7x)y'+8y=0,\quad y(1)=1,\quad y'(1)=-2\)

    Q7.3.2

    13. Haga el siguiente experimento para varias opciones de números reales\(a_0\),\(a_1\), y\(r\), con\(0<r<1/\sqrt2\).

    1. Utilice el software de ecuaciones diferenciales para resolver el problema del valor inicial\[(1+x+2x^2)y''+(1+7x)y'+2y=0,\quad y(0)=a_0,\quad y'(0)=a_1, \tag{A}\] numéricamente en\((-r,r)\). (Ver Ejemplo 7.3.1.)
    2. Para\(N=2\),\(3\),\(4\),..., computar\(a_2\),...,\(a_N\) en la solución\(y=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\) de series de potencia de (A), y graficar\[T_N(x)=\sum_{n=0}^N a_nx^n\nonumber \] y la solución obtenida en (a) en\((-r,r)\). Continue increasing \(N\) until there’s no perceptible difference between the two graphs.

    14. Haga el siguiente experimento para varias opciones de números reales\(a_0\),\(a_1\), y\(r\), con\(0<r<2\).

    1. Utilice el software de ecuaciones diferenciales para resolver el problema del valor inicial\[(3+x)y''+(1+2x)y'-(2-x)y=0,\quad y(-1)=a_0,\quad y'(-1)=a_1, \tag{A}\] numéricamente en\((-1-r,-1+r)\). (Ver Ejemplo 7.3.2). ¿Por qué este intervalo?)
    2. Para\(N=2\),\(3\),\(4\),..., computar\(a_2,\dots,a_N\) en la solución\[y=\sum_{n=0}^\infty a_n(x+1)^n\nonumber \] de series de potencia de (A), y graficar\[T_N(x)=\sum_{n=0}^N a_n(x+1)^n\nonumber \] y la solución obtenida en (a) on\((-1-r,-1+r)\). Continuar aumentando\(N\) hasta que no haya diferencia perceptible entre las dos gráficas.

    15. Haga el siguiente experimento para varias opciones de\(a_0\),\(a_1\), y\(r\), con\(r>0\).

    1. Utilice el software de ecuaciones diferenciales para resolver el problema del valor inicial\[y''+3xy'+(4+2x^2)y=0,\quad y(0)=a_0,\quad y'(0)=a_1, \tag{A}\] numéricamente en\((-r,r)\). (Ver Ejemplo 7.3.3.)
    2. Encuentra los coeficientes\(a_0\),\(a_1\),...,\(a_N\) en la solución\(y=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\) de series de potencia de (A), y grafica\[T_N(x)=\sum_{n=0}^N a_nx^n\nonumber \] y la solución obtenida en (a) en\((-r,r)\). Continue increasing \(N\) until there’s no perceptible difference between the two graphs.

    16. Haga el siguiente experimento para varias opciones de\(a_0\) y\(a_1\).

    1. Utilice el software de ecuaciones diferenciales para resolver el problema del valor inicial\[(1-x)y''-(2-x)y'+y=0,\quad y(0)=a_0,\quad y'(0)=a_1, \tag{A}\] numéricamente en\((-r,r)\).
    2. Encuentra los coeficientes\(a_0\),\(a_1\),...,\(a_N\) en la solución\(y=\sum_{n=0}^Na_nx^n\) de series de potencia de (A), y grafica\[T_N(x)=\sum_{n=0}^N a_nx^n\nonumber \] y la solución obtenida en (a) on\((-r,r)\). C ontinue creciente\(N\) until there’s no perceptible difference between the two graphs. What happens as you let \(r\to 1\)?

    17. Siga las indicaciones del Ejercicio 7.3.16 para el problema de valor inicial\[(1+x)y''+3y'+32y=0,\quad y(0)=a_0,\quad y'(0)=a_1.\nonumber \]

    18. Siga las indicaciones del Ejercicio 7.3.16 para el problema de valor inicial\[(1+x^2)y''+y'+2y=0,\quad y(0)=a_0,\quad y'(0)=a_1.\nonumber \]

    Q7.3.3

    En Ejercicios 7.3.19-7.3.28 encontramos los coeficientes\(a_{0},...a_{N}\) para al\(N\) menos\(7\) en la serie solución\[y=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(x-x_{0})^{n}\nonumber \] del problema de valor inicial. Tome\(x_{0}\) para ser el punto donde se impongan las condiciones iniciales.

    19. \((2+4x)y''-4y'-(6+4x)y=0,\quad y(0)=2,\quad y'(0)=-7\)

    20. \((1+2x)y''-(1-2x)y'-(3-2x)y=0,\quad y(1)=1,\quad y'(1)=-2\)

    21. \((5+2x)y''-y'+(5+x)y=0,\quad y(-2)=2,\quad y'(-2)=-1\)

    22. \((4+x)y''-(4+2x)y'+(6+x)y=0,\quad y(-3)=2,\quad y'(-3)=-2\)

    23. \((2+3x)y''-xy'+2xy=0,\quad y(0)=-1,\quad y'(0)=2\)

    24. \((3+2x)y''+3y'-xy=0,\quad y(-1)=2,\quad y'(-1)=-3\)

    25. \((3+2x)y''-3y'-(2+x)y=0,\quad y(-2)=-2,\quad y'(-2)=3\)

    26. \((10-2x)y''+(1+x)y=0,\quad y(2)=2,\quad y'(2)=-4\)

    27. \((7+x)y''+(8+2x)y'+(5+x)y=0,\quad y(-4)=1,\quad y'(-4)=2\)

    28. \((6+4x)y''+(1+2x)y=0,\quad y(-1)=-1,\quad y'(-1)=2\)

    Q7.3.4

    29. Mostrar que los coeficientes en la serie de potencias\(x\) para la solución general de\[(1+\alpha x+\beta x^2)y''+(\gamma+\delta x)y'+\epsilon y=0\nonumber \] satisfacer la relación de recurrencia\[a_{n+2}=-{\gamma+\alpha n\over n+2}\,a_{n+1}-{\beta n(n-1)+\delta n+\epsilon\over(n+2)(n+1)}\, a_n.\nonumber \]

    30.

    1. Dejar\(\alpha\) y\(\beta\) ser constantes, con\(\beta\ne0\). Mostrar que\(y=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\) es una solución de\[(1+\alpha x+\beta x^2)y''+(2\alpha+4\beta x)y'+2\beta y=0 \tag{A}\] si y solo si\[a_{n+2}+\alpha a_{n+1}+\beta a_n=0,\quad n\ge0. \tag{B}\] Una ecuación de esta forma se denomina ecuación de diferencia lineal homogénea de segundo orden. El polinomio\(p(r)=r^2+\alpha r+\beta\) se llama el polinomio característico de (B). Si\(r_1\) y\(r_2\) son los ceros de\(p\), entonces\(1/r_1\) y\(1/r_2\) son los ceros de\[P_{0}(x)=1+\alpha x+\beta x^{2}\nonumber \]
    2. Supongamos\(p(r)=(r-r_1)(r-r_2)\) dónde\(r_1\) y\(r_2\) son reales y distintos, y deja\(\rho\) ser el menor de los dos números\(\{1/|r_1|,1/|r_2|\}\). Mostrar que si\(c_1\) y\(c_2\) son constantes entonces la secuencia\[a_n=c_1r_1^n+c_2r_2^n,\quad n\ge0\nonumber \] satisface (B). Concluir de esto que cualquier función de la forma\[y=\sum_{n=0}^\infty (c_1r_1^n+c_2r_2^n)x^n\nonumber \] es una solución de (A) on\((-\rho,\rho)\).
    3. Utilice (b) y la fórmula para la suma de una serie geométrica para mostrar que las funciones\[y_1={1\over1-r_1x}\quad\mbox{ and }\quad y_2={1\over1-r_2x}\nonumber \] forman un conjunto fundamental de soluciones de (A) on\((-\rho,\rho)\).
    4. Demostrar que\(\{y_1,y_2\}\) es un conjunto fundamental de soluciones de (A) en cualquier intervalo que no contenga ninguno\(1/r_1\) o\(1/r_2\).
    5. Supongamos\(p(r)=(r-r_1)^2\), y vamos\(\rho=1/|r_1|\). Mostrar que si\(c_1\) y\(c_2\) son constantes entonces la secuencia\[a_n=(c_1+c_2n)r_1^n,\quad n\ge0\nonumber \] satisface (B). Concluir de esto que cualquier función de la forma\[y=\sum_{n=0}^\infty (c_1+c_2n)r_1^nx^n\nonumber \] es una solución de (A) on\((-\rho,\rho)\).
    6. Utilice (e) y la fórmula para la suma de una serie geométrica para mostrar que las funciones\[y_1={1\over1-r_1x}\quad\mbox{ and }\quad y_2={x\over(1-r_1x)^2}\nonumber \] forman un conjunto fundamental de soluciones de (A) on\((-\rho,\rho)\).
    7. Mostrar que\(\{y_1,y_2\}\) es un conjunto fundamental de soluciones de (A) en cualquier intervalo que no contenga\(1/r_1\).

    31. Utilice los resultados del Ejercicio 7.3.30 para encontrar la solución general de la ecuación dada en cualquier intervalo en el que la multiplicación polinómica no\(y''\) tenga ceros.

    1. \((1+3x+2x^2)y''+(6+8x)y'+4y=0\)
    2. \((1-5x+6x^2)y''-(10-24x)y'+12y=0\)
    3. \((1-4x+4x^2)y''-(8-16x)y'+8y=0\)
    4. \((4+4x+x^2)y''+(8+4x)y'+2y=0\)
    5. \((4+8x+3x^2)y''+(16+12x)y'+6y=0\)

    Q7.3.5

    En Ejercicios 7.3.32-7.3.38 encontramos los coeficientes\(a_{0}, ..., a_{N}\) para al\(N\) menos\(7\) en la serie solución\(y=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n}\) del problema de valor inicial.

    32. \(y''+2xy'+(3+2x^2)y=0,\quad y(0)=1,\quad y'(0)=-2\)

    33. \(y''-3xy'+(5+2x^2)y=0,\quad y(0)=1,\quad y'(0)=-2\)

    34. \(y''+5xy'-(3-x^2)y=0,\quad y(0)=6,\quad y'(0)=-2\)

    35. \(y''-2xy'-(2+3x^2)y=0,\quad y(0)=2,\quad y'(0)=-5\)

    36. \(y''-3xy'+(2+4x^2)y=0,\quad y(0)=3,\quad y'(0)=6\)

    37. \(2y''+5xy'+(4+2x^2)y=0,\quad y(0)=3,\quad y'(0)=-2\)

    38. \(3y''+2xy'+(4-x^2)y=0,\quad y(0)=-2,\quad y'(0)=3\)

    Q7.3.6

    39. Encuentre series de potencia\(x\) para las soluciones\(y_1\) y\(y_2\) de\[y''+4xy'+(2+4x^2)y=0\nonumber \] tal manera que\(y_1(0)=1\),\(y'_1(0)=0\),\(y_2(0)=0\)\(y'_2(0)=1\), e identifique\(y_1\) y\(y_2\) en términos de funciones elementales familiares.

    Q7.3.7

    En Ejercicios 7.3.40-7.3.49 encontramos los coeficientes\(a_{0}, ..., a_{N}\) para al\(N\) menos\(7\) en la serie solución\[y=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}(x-x_{0})^{n}\nonumber \] del problema de valor inicial. Tome\(x_{0}\) para ser el punto donde se impongan las condiciones iniciales.

    40. \((1+x)y''+x^2y'+(1+2x)y=0,\quad y(0)-2,\quad y'(0)=3\)

    41. \(y''+(1+2x+x^2)y'+2y=0,\quad y(0)=2,\quad y'(0)=3\)

    42. \((1+x^2)y''+(2+x^2)y'+xy=0,\quad y(0)=-3,\quad y'(0)=5\)

    43. \((1+x)y''+(1-3x+2x^2)y'-(x-4)y=0,\quad y(1)=-2,\quad y'(1)=3\)

    44. \(y''+(13+12x+3x^2)y'+(5+2x),\quad y(-2)=2,\quad y'(-2)=-3\)

    45. \((1+2x+3x^2)y''+(2-x^2)y'+(1+x)y=0,\quad y(0)=1,\quad y'(0)=-2\)

    46. \((3+4x+x^2)y''-(5+4x-x^2)y'-(2+x)y=0,\quad y(-2)=2,\quad y'(-2)=-1\)

    47. \((1+2x+x^2)y''+(1-x)y=0,\quad y(0)=2,\quad y'(0)=-1\)

    48. \((x-2x^2)y''+(1+3x-x^2)y'+(2+x)y=0,\quad y(1)=1,\quad y'(1)=0\)

    49. \((16-11x+2x^2)y''+(10-6x+x^2)y'-(2-x)y,\quad y(3)=1,\quad y'(3)=-2\)

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