7.5: Ecuaciones regulares de Euler de Puntos Singulares
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En las siguientes tres secciones continuaremos estudiando ecuaciones de la forma
\[\label{eq:7.4.1} P_0(x)y''+P_1(x)y'+P_2(x)y=0\]
donde\(P_0\),\(P_1\), y\(P_2\) son polinomios, pero el énfasis será diferente al de las Secciones 7.2 y 7.3, donde obtuvimos soluciones de la Ecuación\ ref {eq:7.4.1} cerca de un punto ordinario\(x_0\) en forma de serie de potencia en\(x-x_0\). Si\(x_0\) es un punto singular de la Ecuación\ ref {eq:7.4.1} (es decir, si\(P(x_0)=0\)), las soluciones no pueden en general ser representadas por series de potencia en\(x-x_0\). Sin embargo, a menudo es necesario en aplicaciones físicas estudiar el comportamiento de las soluciones de la Ecuación\ ref {eq:7.4.1} cerca de un punto singular. Si bien esto puede ser difícil ante la ausencia de algún tipo de suposición sobre la naturaleza del punto singular, las ecuaciones que satisfagan los requisitos de la siguiente definición pueden resolverse mediante métodos en serie discutidos en las siguientes tres secciones. Afortunadamente, muchas ecuaciones que surgen en las aplicaciones satisfacen estos requisitos.
Dejar\(P_0\),\(P_1\), y\(P_2\) ser polinomios sin factor común y supongamos\(P_0(x_0)=0\). Entonces\(x_0\) es un punto singular regular de la ecuación
\[\label{eq:7.4.2} P_0(x)y''+P_1(x)y'+P_2(x)y=0\]
si\(\eqref{eq:7.4.2}\) se puede escribir como
\[\label{eq:7.4.3} (x-x_0)^2A(x)y''+(x-x_0)B(x)y'+C(x)y=0\]
donde\(A\),\(B\), y\(C\) son polinomios y\(A(x_0)\ne0\); de lo contrario,\(x_0\) es un punto singular irregular de la Ecuación\ ref {eq:7.4.2}.
La ecuación de Bessel,
\[\label{eq:7.4.4} x^2y''+xy'+(x^2-\nu^2)y=0,\]
tiene el punto singular\(x_0=0\). Dado que esta ecuación es de la forma Ecuación\ ref {eq:7.4.3} con\(x_0=0\),\(A(x)=1\),\(B(x)=1\), y\(C(x)=x^2-\nu^2\), se deduce que\(x_0=0\) es un punto singular regular de la Ecuación\ ref {eq:7.4.4}.
Ecuación de Legendre,
\[\label{eq:7.4.5} (1-x^2)y''-2xy'+\alpha(\alpha+1)y=0,\]
tiene los puntos singulares\(x_0=\pm1\). Mutiplying a través de\(1-x\) rendimientos
\[(x-1)^2(x+1)y''+2x(x-1)y'-\alpha(\alpha+1)(x-1)y=0, \nonumber\]
que es de la forma Ecuación\ ref {eq:7.4.3} con\(x_0=1\),\(A(x)=x+1\),\(B(x)=2x\), y\(C(x)=-\alpha(\alpha+1)(x-1)\). Por lo tanto\(x_0=1\) es un punto singular regular de la Ecuación\ ref {eq:7.4.5}. Te dejamos a ti demostrar que también\(x_0=-1\) es un punto singular regular de la Ecuación\ ref {eq:7.4.5}.
La ecuación
\[x^3y''+xy'+y=0 \nonumber\]
tiene un punto singular irregular en\(x_0=0\). (Verificar.)
Por conveniencia restringimos nuestra atención al caso donde\(x_0=0\) se encuentra un punto singular regular de la Ecuación\ ref {eq:7.4.2}. Esto no es realmente una restricción, ya que si\(x_0\ne0\) es un punto singular regular de la Ecuación\ ref {eq:7.4.2} entonces introducir la nueva variable independiente\(t=x-x_0\) y la nueva desconocida\(Y(t)=y(t+x_0)\) conduce a una ecuación diferencial con coeficientes polinómicos que tiene un punto singular regular en\(t_0=0\). Esto se ilustra en el Ejercicio 7.4.22 para la ecuación de Legendre, y en el Ejercicio 7.4.23 para el caso general.
Ecuaciones de Euler
El tipo de ecuación más simple con un punto singular regular en\(x_0=0\) es la ecuación de Euler, definida de la siguiente manera.
Una ecuación de Euler es una ecuación que se puede escribir en la forma
\[\label{eq:7.4.6} ax^2y''+bxy'+cy=0,\]
donde\(a,b\), y\(c\) son constantes reales y\(a\ne0\).
Teorema 5.1.1 implica que la Ecuación\ ref {eq:7.4.6} tiene soluciones definidas sobre\((0,\infty)\) y\((-\infty,0)\), ya que la Ecuación\ ref {eq:7.4.6} puede ser reescrita como
\[ay''+{b\over x}y'+{c\over x^2}y=0. \nonumber\]
Para mayor comodidad limitaremos nuestra atención al intervalo\((0,\infty)\). (El ejercicio 7.4.19 trata de soluciones de Ecuación\ ref {eq:7.4.6} on\((-\infty,0)\).) La clave para encontrar soluciones en\((0,\infty)\) es que si\(x>0\) entonces\(x^r\) se define como una función de valor real\((0,\infty)\) para todos los valores de\(r\), y sustituyendo\(y=x^r\) en la ecuación\ ref {eq:7.4.6} produce
\[\label{eq:7.4.7} \begin{array}{lcl} ax^2(x^r)''+bx(x^r)'+cx^r&= ax^2r(r-1)x^{r-2}+bxrx^{r-1}+cx^r\\ &= [ar(r-1)+br+c]x^r. \end{array}\]
El polinomio
\[p(r)=ar(r-1)+br+c\nonumber\]
se llama el polinomio indicial de la Ecuación\ ref {eq:7.4.6}, y\(p(r)=0\) es su ecuación indicial. De la Ecuación\ ref {eq:7.4.7} podemos ver que\(y=x^r\) es una solución de la Ecuación\ ref {eq:7.4.6} sobre\((0,\infty)\) si y solo si\(p(r)=0\). Por lo tanto, si la ecuación indicial tiene raíces reales distintas\(r_1\) y\(r_2\) luego\(y_1=x^{r_1}\) y\(y_2=x^{r_2}\) forman un conjunto fundamental de soluciones de Ecuación\ ref {eq:7.4.6} on\((0,\infty)\), ya que\(y_2/y_1=x^{r_2-r_1}\) es inconstante. En este caso
\[y=c_1x^{r_1}+c_2x^{r_2}\nonumber\]
es la solución general de la Ecuación\ ref {eq:7.4.6} on\((0,\infty)\).
Encuentre la solución general de
\[\label{eq:7.4.8} x^2y''-xy'-8y=0\]
encendido\((0,\infty)\).
Solución
El polinomio indicial de la Ecuación\ ref {eq:7.4.8} es
\[p(r)=r(r-1)-r-8=(r-4)(r+2). \nonumber\]
Por lo tanto\(y_1=x^4\) y\(y_2=x^{-2}\) son soluciones de Ecuación\ ref {eq:7.4.8} on\((0,\infty)\), y su solución general on\((0,\infty)\) es
\[y=c_1x^4+{c_2\over x^2}.\nonumber\]
Encuentre la solución general de
\[\label{eq:7.4.9} 6x^2y''+5xy'-y=0\]
encendido\((0,\infty)\).
Solución
El polinomio indicial de la Ecuación\ ref {eq:7.4.9} es
\[p(r)=6r(r-1)+5r-1=(2r-1)(3r+1).\nonumber\]
Por lo tanto, la solución general de la Ecuación\ ref {eq:7.4.9} on\((0,\infty)\) es
\[y=c_1x^{1/2}+c_2x^{-1/3}. \nonumber \]
Si la ecuación indicial tiene una raíz repetida\(r_1\), entonces\(y_1=x^{r_1}\) es una solución de
\[\label{eq:7.4.10} ax^2y''+bxy'+cy=0,\]
on\((0,\infty)\), pero la Ecuación\ ref {eq:7.4.10} no tiene otra solución de la forma\(y=x^r\). Si la ecuación indicial tiene ceros conjugados complejos entonces la Ecuación\ ref {eq:7.4.10} no tiene soluciones reales de la forma\(y=x^r\). Afortunadamente podemos usar los resultados de la Sección 5.2 para ecuaciones de coeficiente constante para resolver la Ecuación\ ref {eq:7.4.10} en cualquier caso.
Supongamos las raíces de la ecuación indicial
\[\label{eq:7.4.11} ar(r-1)+br+c=0\]
son\(r_1\) y\(r_2\). Luego la solución general de la ecuación de Euler
\[\label{eq:7.4.12} ax^2y''+bxy'+cy=0\]
on\((0,\infty)\) es
\[\begin{aligned} y&= c_1x^{r_1}+c_2x^{r_2}\mbox{ if $r_1$ and $r_2$ are distinct real numbers }; \\ y&= x^{r_1}(c_1+c_2\ln x)\mbox{ if $r_1=r_2$ }; \\ y&= x^{\lambda}\left[c_1\cos\left(\omega\ln x\right)+ c_2\sin\left(\omega\ln x \right)\right]\mbox{ if $r_1,r_2=\lambda\pm i\omega$ with $\omega>0$}.\end{aligned}\]
- Prueba
-
Primero mostramos que\(y=y(x)\) satisface la ecuación\ ref {eq:7.4.12} sobre\((0,\infty)\) si y solo si\(Y(t)=y(e^t)\) satisface la ecuación del coeficiente constante
\[\label{eq:7.4.13} a{d^2Y\over dt^2}+(b-a){dY\over dt}+cY=0\]
encendido\((-\infty,\infty)\). Para ello, es conveniente escribir\(x=e^t\), o, de manera equivalente,\(t=\ln x\); así\(Y(t)=y(x)\), dónde\(x=e^t\). De la regla de la cadena,
\[{dY\over dt}={dy\over dx}{dx\over dt}\nonumber \]
y, desde
\[{dx\over dt}=e^t=x,\nonumber \]
se deduce que
\[\label{eq:7.4.14} {dY\over dt}=x{dy\over dx}.\]
Diferenciar esto con respecto a\(t\) y usar la regla de la cadena nuevamente rinde
\[\begin{aligned} {d^2Y\over dt^2}&= {d\phantom{t}\over dt}\left(dY\over dt\right)={d\phantom{t}\over dt}\left(x{dy\over dx}\right)\\[4pt] &= {dx\over dt}{dy\over dx}+x{d^2y\over dx^2}{dx\over dt}\\[4pt] &= x{dy\over dx}+x^2{d^2y\over dx^2}\quad\left(\mbox{ since } {dx\over dt}=x\right).\end{aligned}\nonumber \]
De esto y la Ecuación\ ref {eq:7.4.14},
\[x^2{d^2y\over dx^2}={d^2Y\over dt^2}-{dY\over dt}.\nonumber \]
Sustituyendo esto y la Ecuación\ ref {eq:7.4.14} en Ecuación\ ref {eq:7.4.12} produce la Ecuación\ ref {eq:7.4.13}. Dado que la Ecuación\ ref {eq:7.4.11} es la ecuación característica de la Ecuación\ ref {eq:7.4.13}, el Teorema 5.2.1 implica que la solución general de la Ecuación\ ref {eq:7.4.13} on\((-\infty,\infty)\) es
\[\begin{aligned} Y(t)&= c_1e^{r_1t}+c_2e^{r_2t}\mbox{ if $r_1$ and $r_2$ are distinct real numbers; }\\ Y(t)&= e^{r_1t}(c_1+c_2t)\mbox{ if $r_1=r_2$; }\\ Y(t)&= e^{\lambda t }\left(c_1\cos\omega t+c_2\sin\omega t \right)\mbox{ if $r_1,r_2=\lambda\pm i\omega$ with $\omega\ne0$}.\end{aligned}\nonumber \]
Ya que\(Y(t)=y(e^t)\), sustituyendo\(t=\ln x\) en las tres últimas ecuaciones muestra que la solución general de la Ecuación\ ref {eq:7.4.12} on\((0,\infty)\) tiene la forma señalada en el teorema.
Encuentre la solución general de
\[\label{eq:7.4.15} x^2y''-5xy'+9y=0\]
encendido\((0,\infty)\).
Solución
El polinomio indicial de la Ecuación\ ref {eq:7.4.15} es
\[p(r)=r(r-1)-5r+9=(r-3)^2.\nonumber\]
Por lo tanto, la solución general de la Ecuación\ ref {eq:7.4.15} on\((0,\infty)\) es
\[y=x^3(c_1+c_2 \ln x).\nonumber\]
Encuentre la solución general de
\[\label{eq:7.4.16} x^2y''+3xy'+2y=0\]
encendido\((0,\infty)\).
Solución
El polinomio indicial de la Ecuación\ ref {eq:7.4.16} es
\[p(r)=r(r-1)+3r+2=(r+1)^2+1.\nonumber\]
Las raíces de la ecuación indicial son\(r=-1 \pm i\) y la solución general de la Ecuación\ ref {eq:7.4.16} on\((0,\infty)\) es
\[y={1\over x}\left[c_1\cos(\ln x)+c_2\sin(\ln x)\right].\nonumber\]