7.6E: El Método de Frobenius I (Ejercicios)

Este conjunto contiene ejercicios específicamente identificados por los que te piden implementar el procedimiento de verificación. Estos ejercicios particulares fueron elegidos arbitrariamente usted puede igualmente formular tales problemas de laboratorio para cualquiera de las ecuaciones en los Ejercicios 7.5.1-7.5.10, 7.5. 14-7.5.25, y 7.5.28-7.5.51.

Q7.5.1

En Ejercicios 7.5.1-7.5.10 encontramos un conjunto fundamental de soluciones de Frobenius. Calcular\(a_{0}, a_{1}, ..., a_{N}\) para\(N\) al menos\(7\) en cada solución.

1. \(2x^2(1+x+x^2)y''+x(3+3x+5x^2)y'-y=0\)

2. \(3x^2y''+2x(1+x-2x^2)y'+(2x-8x^2)y=0\)

3. \(x^2(3+3x+x^2)y''+x(5+8x+7x^2)y'-(1-2x-9x^2)y=0\)

4. \(4x^2y''+x(7+2x+4x^2)y'-(1-4x-7x^2)y=0\)

5. \(12x^2(1+x)y''+x(11+35x+3x^2)y'-(1-10x-5x^2)y=0\)

6. \(x^2(5+x+10x^2)y''+x(4+3x+48x^2)y'+(x+36x^2)y=0\)

7. \(8x^2y''-2x(3-4x-x^2)y'+(3+6x+x^2)y=0\)

8. \(18x^2(1+x)y''+3x(5+11x+x^2)y'-(1-2x-5x^2)y=0\)

9. \(x(3+x+x^2)y''+(4+x-x^2)y'+xy=0\)

10. \(10x^2(1+x+2x^2)y''+x(13+13x+66x^2)y'-(1+4x+10x^2)y=0\)

Q7.5.2

11. Las soluciones de Frobenius

\[2x^2(1+x+x^2)y''+x(9+11x+11x^2)y'+(6+10x+7x^2)y=0\nonumber \]

obtenidos en el Ejemplo 7.5.1 se definen en\((0,\rho)\), donde\(\rho\) se define en el Teorema 7.5.2. Encuentra\(\rho\). Después realice los siguientes experimentos para cada solución de Frobenius, con\(M=20\) y\(\delta=.5\rho\)\(.7\rho\),, y\(.9\rho\) en el procedimiento de verificación descrito al final de esta sección.

1. Calcular\(\sigma_N(\delta)\) (ver Ecuación 7.5.28) para\(N=5\)\(10\),,\(15\),...,\(50\).
2. Encuentra\(N\) tal que\(\sigma_N(\delta)<10^{-5}\).
3. Encuentra\(N\) tal que\(\sigma_N(\delta)<10^{-10}\).

12. Por Teorema 7.5.2 se definen sobre las soluciones Frobenius de la ecuación en el Ejercicio 7.5.4\((0,\infty)\). Realizar los experimentos (a), (b) y (c) del Ejercicio 7.5.11 para cada solución de Frobenius, con\(M=20\) y\(\delta=1\)\(2\),, y\(3\) en el procedimiento de verificación descrito al final de esta sección.

13. Las soluciones de Frobenius de la ecuación en el Ejercicio 7.5.6 se definen sobre\((0,\rho)\), donde\(\rho\) se define en el Teorema 7.5.2. Encontrar\(\rho\) y realizar los experimentos (a), (b) y (c) de Exericse 7.5.11 para cada solución de Frobenius, con\(M=20\) y\(\delta=.3\rho\)\(.4\rho\),, y\(.5\rho\), en el procedimiento de verificación descrito al final de esta sección.

Q7.5.3

En Ejercicios 7.5.14-7.5.25 encontramos un conjunto fundamental de soluciones de Frobenius. Dar fórmulas explícitas para los coeficientes en cada solución.

14. \(2x^2y''+x(3+2x)y'-(1-x)y=0\)

15. \(x^2(3+x)y''+x(5+4x)y'-(1-2x)y=0\)

16. \(2x^2y''+x(5+x)y'-(2-3x)y=0\)

17. \(3x^2y''+x(1+x)y'-y=0\)

18. \(2x^2y''-xy'+(1-2x)y=0\)

19. \(9x^2y''+9xy'-(1+3x)y=0\)

20. \(3x^2y''+x(1+x)y'-(1+3x)y=0\)

21. \(2x^2(3+x)y''+x(1+5x)y'+(1+x)y=0\)

22. \(x^2(4+x)y''-x(1-3x)y'+y=0\)

23. \(2x^2y''+5xy'+(1+x)y=0\)

24. \(x^2(3+4x)y''+x(5+18x)y'-(1-12x)y=0\)

25. \(6x^2y''+x(10-x)y'-(2+x)y=0\)

Q7.5.4

26. Por Teorema 7.5.2 se definen sobre las soluciones Frobenius de la ecuación en el Ejercicio 7.5.17\((0,\infty)\). Realizar los experimentos (a), (b) y (c) del Ejercicio 7.5.11 para cada solución de Frobenius, con\(M=20\) y\(\delta=3\)\(6\),\(9\),, y\(12\) en el procedimiento de verificación descrito al final de esta sección.

27. Las soluciones de Frobenius de la ecuación en el Ejercicio 7.5.22 se definen sobre\((0,\rho)\), donde\(\rho\) se define en el Teorema 7.5.2. Encontrar\(\rho\) y realizar los experimentos (a), (b) y (c) del Ejercicio 7.5.11 para cada solución de Frobenius, con\(M=20\) y\(\delta=.25\rho\)\(.5\rho\), y\(.75\rho\) en el procedimiento de verificación descrito al final de esta sección.

Q7.5.5

En Ejercicios 7.5.28- 7.5.32 encontramos un conjunto fundamental de soluciones Frobenius. Comparar coeficientes\(a_{0}, ..., a_{N}\) para\(N\) al menos\(7\) en cada solución.

28. \(x^2(8+x)y''+x(2+3x)y'+(1+x)y=0\)

29. \(x^2(3+4x)y''+x(11+4x)y'-(3+4x)y=0\)

30. \(2x^2(2+3x)y''+x(4+11x)y'-(1-x)y=0\)

31. \(x^2(2+x)y''+5x(1-x)y'-(2-8x)y\)

32. \(x^2(6+x)y''+x(11+4x)y'+(1+2x)y=0\)

Q7.5.6

En Ejercicios 7.5.33-7.5.36 encontramos un conjunto fundamental de soluciones de Frobenius. Dar fórmulas explícitas para los coeficientes en cada solución.

33. \(8x^2y''+x(2+x^2)y'+y=0\)

34. \(8x^2(1-x^2)y''+2x(1-13x^2)y'+(1-9x^2)y=0\)

35. \(x^2(1+x^2)y''-2x(2-x^2)y'+4y=0\)

36. \(x(3+x^2)y''+(2-x^2)y'-8xy=0\)

37. \(4x^2(1-x^2)y''+x(7-19x^2)y'-(1+14x^2)y=0\)

38. \(3x^2(2-x^2)y''+x(1-11x^2)y'+(1-5x^2)y=0\)

39. \(2x^2(2+x^2)y''-x(12-7x^2)y'+(7+3x^2)y=0\)

40. \(2x^2(2+x^2)y''+x(4+7x^2)y'-(1-3x^2)y=0\)

41. \(2x^2(1+2x^2)y''+5x(1+6x^2)y'-(2-40x^2)y=0\)

42. \(3x^2(1+x^2)y''+5x(1+x^2)y'-(1+5x^2)y=0\)

43. \(x(1+x^2)y''+(4+7x^2)y'+8xy=0\)

44. \(x^2(2+x^2)y''+x(3+x^2)y'-y=0\)

45. \(2x^2(1+x^2)y''+x(3+8x^2)y'-(3-4x^2)y=0\)

46. \(9x^2y''+3x(3+x^2)y'-(1-5x^2)y=0\)

Q7.5.7

En Ejercicios 7.5.47-7.5.51 encontramos un conjunto fundamental de soluciones Frobenius. Comparar los coeficientes\(a_{0}, ..., a_{2M}\) para al\(M\) menos\(7\) en cada solución.

47. \(6x^2y''+x(1+6x^2)y'+(1+9x^2)y=0\)

48. \(x^2(8+x^2)y''+7x(2+x^2)y'-(2-9x^2)y=0\)

49. \(9x^2(1+x^2)y''+3x(3+13x^2)y'-(1-25x^2)y=0\)

50. \(4x^2(1+x^2)y''+4x(1+6x^2)y'-(1-25x^2)y=0\)

51. \(8x^2(1+2x^2)y''+2x(5+34x^2)y'-(1-30x^2)y=0\)

Q7.5.8

52. Supongamos\(r_1>r_2\)\(a_0=b_0=1\),, y la serie Frobenius

\[y_1=x^{r_1}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\quad\mbox{ and } \quad y_2=x^{r_2}\sum_{n=0}^\infty b_nx^n\nonumber \]

ambos convergen en un intervalo\((0,\rho)\).

1. Demostrar eso\(y_1\) y\(y_2\) son linealmente independientes en\((0,\rho)\). SUGERENCIA: Mostrar que si\(c_{1}\) y\(c_{2}\) son constantes tales que\(c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}≡0\) on\((0, \rho )\), entonces\[c_{1}x^{r_{1}-r_{2}}\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}+c_{2}\sum_{n=0}^{\infty}b_{n}x^{n}=0,\quad 0<x<\rho \nonumber\]
2. Utilizar el resultado de (b) para completar la prueba del Teorema 7.5.3.

53. La ecuación

\[x^2y''+xy'+(x^2-\nu^2)y=0\tag{A}\]

es la ecuación de orden de Bessel\(\nu\). (Aquí\(\nu\) hay un parámetro, y este uso de “orden” no debe confundirse con su uso habitual como en “el orden de la ecuación”). Las soluciones de la Ecuación A son funciones de orden de Bessel\(\nu\).

1. Suponiendo que\(\nu\) no es un número entero, encuentre un conjunto fundamental de soluciones de Frobenius de la Ecuación A.
2. Si\(\nu=1/2\), las soluciones de la Ecuación A reducen a funciones elementales familiares. Identificar estas funciones.

54.

1. Verifica que\[{d\over dx}\left(|x|^rx^n\right)=(n+r)|x|^rx^{n-1}\quad \text{and} \quad {d^2\over dx^2}\left(|x|^rx^n\right)=(n+r)(n+r-1)|x|^rx^{n-2}\nonumber \] si\(x\ne0\).
2. Vamos\[Ly= x^2(\alpha_0+\alpha_1x+\alpha_2x^2)y''+x(\beta_0+\beta_1x+\beta_2x^2)y' +(\gamma_0+\gamma_1x+\gamma_2x^2)y=0.\nonumber \] Mostrar que si\(x^r\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\) es una solución de\(Ly=0\) on\((0,\rho)\) entonces\(|x|^r\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\) es una solución on\((-\rho,0)\) y\((0,\rho)\).

55.

1. Deducir de la Ecuación 7.5.20 que\[a_n(r)=(-1)^n\prod_{j=1}^n{p_1(j+r-1)\over p_0(j+r)}.\nonumber \]
2. Concluye que si\(p_0(r)=\alpha_0(r-r_1)(r-r_2)\) donde no\(r_1-r_2\) es un entero, entonces\[y_1=x^{r_1}\sum_{n=0}^\infty a_n(r_1)x^n\quad\mbox{ and }\quad y_2=x^{r_2}\sum_{n=0}^\infty a_n(r_2)x^n\nonumber \] formar un conjunto fundamental de soluciones de Frobenius de\[x^2(\alpha_0+\alpha_1x)y''+x(\beta_0+\beta_1x)y'+(\gamma_0+\gamma_1x)y=0.\nonumber \]
3. Demostrar que si\(p_0\) satisface las hipótesis de (b) entonces\[y_1=x^{r_1}\sum_{n=0}^\infty {(-1)^n\over n!\prod_{j=1}^n(j+r_1-r_2)} \left(\gamma_1\over\alpha_0\right)^nx^n\nonumber \] y\[y_2=x^{r_2}\sum_{n=0}^\infty {(-1)^n\over n!\prod_{j=1}^n(j+r_2-r_1)} \left(\gamma_1\over\alpha_0\right)^nx^n\nonumber \] formar un conjunto fundamental de soluciones Frobenius de\[\alpha_0x^2y''+\beta_0xy'+(\gamma_0+\gamma_1x)y=0.\nonumber \]

56. Let

\[Ly=x^2(\alpha_0+\alpha_2x^2)y''+x(\beta_0+\beta_2x^2)y'+ (\gamma_0+\gamma_2x^2)y=0\nonumber \]

y definir

\[p_0(r)=\alpha_0r(r-1)+\beta_0r+\gamma_0\quad\mbox{ and }\quad p_2(r)=\alpha_2r(r-1)+\beta_2r+\gamma_2.\nonumber \]

1. Utilice el Teorema 7.5.2 para mostrar que si\[ \begin{array}{rcl} a_0(r)&=&1,\\ p_0(2m+r)a_{2m}(r)+p_2(2m+r-2)a_{2m-2}(r)&=&0,\quad m\ge1, \end{array}\tag{A}\] entonces la serie Frobenius\(y(x,r)=x^r\sum_{m=0}^\infty a_{2m}x^{2m}\) satisface\(Ly(x,r)=p_0(r)x^r\).
2. Deducir de la ecuación A que si\(p_0(2m+r)\) es distinto de cero para cada entero positivo\(m\) entonces\[a_{2m}(r)=(-1)^m\prod_{j=1}^m{p_2(2j+r-2)\over p_0(2j+r)}.\nonumber \]
3. Concluir que si\(p_0(r)=\alpha_0(r-r_1)(r-r_2)\) donde no\(r_1-r_2\) es un entero par, entonces\[y_1=x^{r_1}\sum_{m=0}^\infty a_{2m}(r_1)x^{2m}\quad\mbox{ and }\quad y_2=x^{r_2}\sum_{m=0}^\infty a_{2m}(r_2)x^{2m}\nonumber \] formar un conjunto fundamental de soluciones de Frobenius de\(Ly=0\).
4. Demostrar que si\(p_0\) satisface las hipótesis de (c) entonces\[y_1=x^{r_1}\sum_{m=0}^\infty {(-1)^m\over 2^mm!\prod_{j=1}^m(2j+r_1-r_2)} \left(\gamma_2\over\alpha_0\right)^mx^{2m}\nonumber \] y\[y_2=x^{r_2}\sum_{m=0}^\infty {(-1)^m\over 2^mm!\prod_{j=1}^m(2j+r_2-r_1)} \left(\gamma_2\over\alpha_0\right)^mx^{2m}\nonumber \] formar un conjunto fundamental de soluciones Frobenius de\[\alpha_0x^2y''+\beta_0xy'+(\gamma_0+\gamma_2x^2)y=0.\nonumber \]

57. Let

\[Ly=x^2q_0(x)y''+xq_1(x)y'+q_2(x)y,\nonumber \]

donde

\[q_0(x)=\sum_{j=0}^\infty \alpha_jx^j,\quad q_1(x)=\sum_{j=0}^\infty \beta_jx^j,\quad q_2(x)=\sum_{j=0}^\infty \gamma_jx^j,\nonumber \]

y definir

\[p_j(r)=\alpha_jr(r-1)+\beta_jr+\gamma_j,\quad j=0,1,\dots.\nonumber \]

Vamos\(y=x^r\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\). Demostrar que

\[Ly=x^r\sum_{n=0}^\infty b_nx^n,\nonumber \]

donde

\[b_n=\sum_{j=0}^np_j(n+r-j)a_{n-j}.\nonumber \]

58.

1. Seamos\(L\) como en el Ejercicio 7.5.57. Demuestre que si\[y(x,r)=x^r\sum_{n=0}^\infty a_n(r)x^n\nonumber \] donde\[\begin{aligned} a_0(r)&=&1,\\ a_n(r)&=&-{1\over p_0(n+r)}\sum_{j=1}^n p_j(n+r-j)a_{n-j}(r),\quad n\ge1,\end{aligned}\nonumber \] entonces\[Ly(x,r)=p_0(r)x^r.\nonumber \]
2. Concluir que si\[p_0(r)=\alpha_0(r-r_1)(r-r_2)\nonumber \] donde\(r_1-r_2\) no es un entero entonces\(y_1=y(x,r_1)\) y\(y_2=y(x,r_2)\) son soluciones de\(Ly=0\).

59. Let

\[Ly=x^2(\alpha_0+\alpha_qx^q)y''+x(\beta_0+\beta_qx^q)y'+ (\gamma_0+\gamma_qx^q)y\nonumber \]

donde\(q\) es un entero positivo, y definir

\[p_0(r)=\alpha_0r(r-1)+\beta_0r+\gamma_0\quad\mbox{ and }\quad p_q(r)=\alpha_qr(r-1)+\beta_qr+\gamma_q.\nonumber \]

1. Demuestre que si\[y(x,r)=x^{r}\sum_{m=0}^\infty a_{qm}(r)x^{qm}\nonumber \] donde\[\begin{array}{rcl} a_0(r)&=&1,\\ a_{qm}(r)&=&-{p_q\left(q(m-1)+r\right)\over p_0(qm+r)}a_{q(m-1)}(r),\quad m\ge1, \end{array}\tag{A}\] entonces\[Ly(x,r)=p_0(r)x^r.\nonumber \]
2. Deducir de la Ecuación A que\[a_{qm}(r)=(-1)^m\prod_{j=1}^m{p_q\left(q(j-1)+r\right)\over p_0(qj+r)}.\nonumber \]
3. Concluir que si\(p_0(r)=\alpha_0(r-r_1)(r-r_2)\) donde no\(r_1-r_2\) es un múltiplo entero de\(q\), entonces\[y_1=x^{r_1}\sum_{m=0}^\infty a_{qm}(r_1)x^{qm}\quad\mbox{ and }\quad y_2=x^{r_2}\sum_{m=0}^\infty a_{qm}(r_2)x^{qm}\nonumber \] formar un conjunto fundamental de soluciones de Frobenius de\(Ly=0\).
4. Demostrar que si\(p_0\) satisface las hipótesis de (c) entonces\[y_1=x^{r_1}\sum_{m=0}^\infty {(-1)^m\over q^mm!\prod_{j=1}^m(qj+r_1-r_2)} \left(\gamma_q\over\alpha_0\right)^mx^{qm}\nonumber \] y\[y_2=x^{r_2}\sum_{m=0}^\infty {(-1)^m\over q^mm!\prod_{j=1}^m(qj+r_2-r_1)} \left(\gamma_q\over\alpha_0\right)^mx^{qm}\nonumber \] formar un conjunto fundamental de soluciones Frobenius de\[\alpha_0x^2y''+\beta_0xy'+(\gamma_0+\gamma_qx^q)y=0.\nonumber \]

60.

1. Supongamos\(\alpha_0,\alpha_1\), y\(\alpha_2\) son números reales con\(\alpha_0\ne0\), y\(\{a_n\}_{n=0}^\infty\) se define por\[\alpha_0a_1+\alpha_1a_0=0\nonumber \] y\[\alpha_0a_n+\alpha_1a_{n-1}+\alpha_2a_{n-2}=0,\quad n\ge2.\nonumber \] Mostrar eso\[(\alpha_0+\alpha_1x+\alpha_2x^2)\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=\alpha_0a_0,\nonumber \] e inferir que\[\sum_{n=0}^\infty a_nx^n={\alpha_0a_0\over\alpha_0+\alpha_1x+\alpha_2x^2}.\nonumber \]
2. Con\(\alpha_0,\alpha_1\), y\(\alpha_2\) como en (a), considerar la ecuación\[ x^2(\alpha_0+\alpha_1x+\alpha_2 x^2)y''+x(\beta_0+\beta_1x+\beta_2x^2)y'+ (\gamma_0+\gamma_1x+\gamma_2x^2)y=0,\tag{A}\] y definir\[p_j(r)=\alpha_jr(r-1)+\beta_jr+\gamma_j,\quad j=0,1,2.\nonumber \] Supongamos\[{p_1(r-1)\over p_0(r)}= {\alpha_1\over\alpha_0},\qquad {p_2(r-2)\over p_0(r)}= {\alpha_2\over\alpha_0},\nonumber \] y\[p_0(r)=\alpha_0(r-r_1)(r-r_2),\nonumber \] dónde\(r_1>r_2\). Mostrar que\[y_1={x^{r_1}\over\alpha_0+\alpha_1x+\alpha_2x^2}\quad\mbox{ and }\quad y_2={x^{r_2}\over\alpha_0+\alpha_1x+\alpha_2x^2}\nonumber \] forman un conjunto fundamental de soluciones de Frobenius de la Ecuación A en cualquier intervalo\((0,\rho)\) en el que no\(\alpha_0+\alpha_1x+\alpha_2x^2\) tenga ceros.

Q7.5.9

En Ejercicios 7.5.61-7.5.68 utilizar el método sugerido por el Ejercicio 7.5.60 para encontrar la solución general en algún intervalo\((0, \rho )\).

61. \(2x^2(1+x)y''-x(1-3x)y'+y=0\)

62. \(6x^2(1+2x^2)y''+x(1+50x^2)y'+(1+30x^2)y=0\)

63. \(28x^2(1-3x)y''-7x(5+9x)y'+7(2+9x)y=0\)

64. \(9x^2(5+x)y''+9x(5+3x)y'-(5-8x)y=0\)

65. \(8x^2(2-x^2)y''+2x(10-21x^2)y'-(2+35x^2)y=0\)

66. \(4x^2(1+3x+x^2)y''-4x(1-3x-3x^2)y'+3(1-x+x^2)y=0\)

67. \(3x^2(1+x)^2y''-x(1-10x-11x^2)y'+(1+5x^2)y=0\)

68. \(4x^2(3+2x+x^2)y''-x(3-14x-15x^2)y'+(3+7x^2)y=0\)