7.7: El método de Frobenius II
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En esta sección discutimos un método para encontrar dos soluciones de Frobenius linealmente independientes de una ecuación lineal homogénea de segundo orden cerca de un punto singular regular en el caso de que la ecuación indicial tenga una raíz real repetida. Al igual que en la sección anterior, consideramos ecuaciones que pueden escribirse como
\[\label{eq:7.6.1} x^2(\alpha_0+\alpha_1x+\alpha_2x^2)y''+x(\beta_0+\beta_1x+\beta_2x^2)y' +(\gamma_0+\gamma_1x+\gamma_2x^2)y=0\]
donde\(\alpha_0\ne0\). Suponemos que la ecuación indicial\(p_0(r)=0\) tiene una raíz real repetida\(r_1\). En este caso el Teorema 7.5.3 implica que la Ecuación\ ref {eq:7.6.1} tiene una solución de la forma
pero no proporciona una segunda solución\(y_2\) tal que\(\{y_1,y_2\}\) sea un conjunto fundamental de soluciones. La siguiente extensión del Teorema 7.5.2 proporciona una manera de encontrar una segunda solución.
Let
\[\label{eq:7.6.2} Ly= x^2(\alpha_0+\alpha_1x+\alpha_2x^2)y''+x(\beta_0+\beta_1x+\beta_2x^2)y' +(\gamma_0+\gamma_1x+\gamma_2x^2)y,\]
dónde\(\alpha_0\ne0\) y definir
\[\begin{align*} p_0(r)&= \alpha_0r(r-1)+\beta_0r+\gamma_0,\\[4pt] p_1(r)&=\alpha_1r(r-1)+\beta_1r+\gamma_1,\\[4pt] p_2(r)&=\alpha_2r(r-1)+\beta_2r+\gamma_2. \end{align*} \nonumber \]
Supongamos que\(r\) es un número real tal que no\(p_0(n+r)\) sea cero para todos los enteros positivos\(n\), y defina
\[\begin{align*} a_0(r) &= 1,\\ a_1(r) &= -{p_1(r)\over p_0(r+1)},\\[10pt] a_n(r) &= -{p_1(n+r-1)a_{n-1}(r)+p_2(n+r-2)a_{n-2}(r)\over p_0(n+r)},\quad n\ge2. \end{align*} \nonumber \]
Luego la serie Frobenius
\[\label{eq:7.6.3} y(x,r)=x^r\sum_{n=0}^\infty a_n(r)x^n\]
satisface
\[\label{eq:7.6.4} Ly(x,r)=p_0(r)x^r.\]
Además\(,\)
\[\label{eq:7.6.5} {\partial y\over \partial r}(x,r)=y(x,r)\ln x+x^r\sum_{n=1}^\infty a_n'(r) x^n,\]
y
\[\label{eq:7.6.6} L\left({\partial y\over \partial r}(x,r)\right)=p'_0(r)x^r+x^rp_0(r)\ln x.\]
- Prueba
-
Teorema 7.5.2 implica Ecuación\ ref {eq:7.6.4}. Diferenciando formalmente con respecto a\(r\) en Ecuación\ ref {eq:7.6.3} rendimientos
\[\begin{aligned} {\partial y\over \partial r}(x,r)&={{\partial\over\partial r}(x^r)\sum_{n=0}^\infty a_n(r)x^n +x^r\sum_{n=1}^\infty a_n'(r)x^n}\\[10pt] &={x^r\ln x\sum_{n=0}^\infty a_n(r)x^n +x^r\sum_{n=1}^\infty a_n'(r)x^n}\\[10pt] &=y(x,r) \ln x + x^r\sum_{n=1}^\infty a_n'(r)x^n,\end{aligned}\nonumber\]
lo que prueba la Ecuación\ ref {eq:7.6.5}.
Para probar que\(\partial y(x,r)/\partial r\) satisface la Ecuación\ ref {eq:7.6.6}, vemos\(y\) en la Ecuación\ ref {eq:7.6.2} como una función\(y=y(x,r)\) de dos variables, donde el primo indica diferenciación parcial con respecto a\(x\); así,
\[y'=y'(x,r)={\partial y\over\partial x}(x,r)\quad \text{and} \quad y''=y''(x,r)={\partial^2 y\over\partial x^2}(x,r).\nonumber \]
Con esta notación podemos usar la ecuación\ ref {eq:7.6.2} para reescribir la ecuación\ ref {eq:7.6.4} como
\[\label{eq:7.6.7} x^2q_0(x){\partial^2 y\over \partial x^2}(x,r)+xq_1(x){\partial y\over \partial x}(x,r)+q_2(x)y(x,r)=p_0(r)x^r,\]
donde
\[\begin{aligned} q_0(x) &= \alpha_0+\alpha_1x+\alpha_2x^2,\\[4pt] q_1(x) &= \beta_0+\beta_1x+\beta_2x^2,\\[4pt] q_2(x) &= \gamma_0+\gamma_1x+\gamma_2x^2.\\[4pt]\end{aligned}\]
Diferenciar ambos lados de la Ecuación\ ref {eq:7.6.7} con respecto a\(r\) los rendimientos
\[x^2q_0(x){\partial^3y\over \partial r\partial x^2}(x,r)+ xq_1(x){\partial^2y\over \partial r\partial x}(x,r)+q_2(x){\partial y\over\partial r}(x,r)=p'_0(r)x^r+p_0(r) x^r \ln x. \nonumber\]
Al cambiar el orden de diferenciación en los dos primeros términos de la izquierda podemos reescribir esto como
\[x^2q_0(x){\partial^3 y\over \partial x^2\partial r}(x,r) +xq_1(x){\partial^2 y\over \partial x\partial r}(x,r)+q_2(x){\partial y\over \partial r}(x,r)=p'_0(r)x^r+p_0(r) x^r \ln x, \nonumber\]
o
\[x^2q_0(x){\partial^2\over \partial x^2} \left({\partial y\over\partial r}(x,r)\right) +xq_1(x){\partial\over\partial r}\left({\partial y\over\partial x}(x,r)\right) +q_2(x){\partial y\over\partial r}(x,r)= p'_0(r)x^r+p_0(r) x^r \ln x, \nonumber\]
que es equivalente a la Ecuación\ ref {eq:7.6.6}.
Let\(L\) be as in Theorema 7.7.1 y supongamos que la ecuación indicial\(p_0(r)=0\) tiene una raíz real repetida\(r_1.\) Entonces
\[y_1(x)=y(x,r_1)=x^{r_1}\sum_{n=0}^\infty a_n(r_1)x^n \nonumber\]
y
\[\label{eq:7.6.8} y_2(x)={\partial y\over\partial r}(x,r_1)=y_1(x)\ln x+x^{r_1}\sum_{n=1}^\infty a_n'(r_1)x^n\]
forman un conjunto fundamental de soluciones de\(Ly=0.\)
- Prueba
-
Dado que\(r_1\) es una raíz repetida de\(p_0(r)=0\), el polinomio indicial se puede factorizar como
\[p_0(r)=\alpha_0(r-r_1)^2,\nonumber\]
por lo
\[p_0(n+r_1)=\alpha_0n^2,\nonumber\]
que es distinto de cero si\(n>0\). Por lo tanto los supuestos del Teorema 7.7.1 se mantienen con\(r=r_1\), y la Ecuación\ ref {eq:7.6.4} implica que\(Ly_1=p_0(r_1)x^{r_1}=0\). Desde
\[p_0'(r)=2\alpha(r-r_1) \nonumber\]
se deduce que\(p_0'(r_1)=0\), entonces Ecuación\ ref {eq:7.6.6} implica que
\[Ly_2=p_0'(r_1)x^{r_1}+x^{r_1}p_0(r_1)\ln x=0.\nonumber\]
Esto demuestra que\(y_1\) y\(y_2\) son ambas soluciones de\(Ly=0\). Dejamos la prueba de que\(\{y_1,y_2\}\) es un conjunto fundamental como Ejercicio 7.6.53.
Encuentre un conjunto fundamental de soluciones de
\[\label{eq:7.6.9} x^2(1-2x+x^2)y''-x(3+x)y'+(4+x)y=0.\]
Computar solo los términos que implican\(x^{n+r_1}\), dónde\(0\le n\le4\) y\(r_1\) es la raíz de la ecuación indicial.
Solución
Para la ecuación dada, los polinomios definidos en Teorema 7.7.1 son
\[\begin{align*} p_0(r) &= r(r-1)-3r+4 \\[4pt] &= (r-2)^2,\\[4pt] p_1(r) &= -2r(r-1)-r+1 \\[4pt] &= -(r-1)(2r+1),\\[4pt] p_2(r) &= r(r-1). \end{align*} \nonumber \]
Dado que\(r_1=2\) es una raíz repetida del polinomio indicial\(p_0\), el teorema 7.7.2 implica que
\[\label{eq:7.6.10} y_1=x^2\sum_{n=0}^\infty a_n(2)x^n\quad\mbox{ and }\quad y_2=y_1\ln x+x^2\sum_{n=1}^\infty a_n'(2)x^n\]
formar un conjunto fundamental de soluciones Frobenius de Ecuación\ ref {eq:7.6.9}. Para encontrar los coeficientes en estas series, utilizamos las fórmulas de recurrencia del Teorema 7.7.1 :
\[\label{eq:7.6.11} \begin{align*} a_0(r) &= 1,\\ a_1(r) &= -{p_1(r)\over p_0(r+1)} =-{(r-1)(2r+1)\over(r-1)^2} ={2r+1\over r-1},\\ a_n(r) &= -{p_1(n+r-1)a_{n-1}(r)+p_2(n+r-2)a_{n-2}(r)\over p_0(n+r)}\\ &= {(n+r-2)\left[(2n+2r-1)a_{n-1}(r) -(n+r-3)a_{n-2}(r)\right]\over(n+r-2)^2}\\ &= {{(2n+2r-1)\over(n+r-2)}a_{n-1}(r)- {(n+r-3)\over(n+r-2)}a_{n-2}(r)}, \quad n\ge2. \end{align*}\]
Diferenciar rendimientos
\[\label{eq:7.6.12} \begin{align*} a'_1(r) &= -{3\over (r-1)^2},\\ a'_n(r) &= {{2n+2r-1\over n+r-2}a'_{n-1}(r)-{n+r-3\over n+r-2}a'_{n-2}(r)}\\ &{-{3\over(n+r-2)^2}a_{n-1}(r)-{1\over(n+r-2)^2}a_{n-2}(r)},\quad n\ge2. \end{align*}\]
Ajuste\(r=2\) en Ecuación\ ref {eq:7.6.11} y Ecuación\ ref {eq:7.6.12} rendimientos
\[\label{eq:7.6.13} \begin{array}{lll} a_0(2) &= 1,\\ a_1(2) &= 5,\\[10pt] a_n(2) &= {{(2n+3)\over n} a_{n-1}(2)-{(n-1)\over n}a_{n-2}(2)},\quad n\ge2 \end{array}\]
y
\[\label{eq:7.6.14} \begin{array}{lll} a_1'(2) &= -3,\\[10pt] a'_n(2) &= {{2n+3\over n}a'_{n-1}(2)-{n-1\over n}a'_{n-2}(2) -{3\over n^2}a_{n-1}(2)-{1\over n^2}a_{n-2}(2)},\quad n\ge2. \end{array}\]
Cálculo recursivo con Ecuación\ ref {eq:7.6.13} y Ecuación\ ref {eq:7.6.14} rendimientos
\[a_0(2)=1,\,a_1(2)=5,\,a_2(2)=17,\,a_3(2)={143\over3},\,a_4(2)={355\over3},\nonumber\]
y
\[a_1'(2)=-3,\,a_2'(2)=-{29\over2},\,a_3'(2)=-{859\over18}, \,a_4'(2)=-{4693\over36}.\nonumber\]
Sustituyendo estos coeficientes en Ecuación\ ref {eq:7.6.10} rendimientos
\[y_1=x^2\left(1+5x+17x^2+{143\over3}x^3 +{355\over3}x^4+\cdots\right) \nonumber\]
y
\[y_2=y_1 \ln x -x^3\left(3+{29\over2}x+{859\over18}x^2+{4693\over36}x^3 +\cdots\right). \nonumber \]
Dado que la fórmula de recurrencia Ecuación\ ref {eq:7.6.11} involucra tres términos, no es posible obtener una fórmula explícita simple para los coeficientes en las soluciones de Frobenius de la Ecuación\ ref {eq:7.6.9}. Sin embargo, como vimos en las secciones anteriores, la fórmula de recurrencia para\(\{a_n(r)\}\) involucra solo dos términos si cualquiera\(\alpha_1=\beta_1=\gamma_1=0\) o\(\alpha_2=\beta_2=\gamma_2=0\) en la Ecuación\ ref {eq:7.6.1}. En este caso, muchas veces es posible encontrar fórmulas explícitas para los coeficientes. Los siguientes dos ejemplos ilustran esto.
Encuentre un conjunto fundamental de soluciones Frobenius de
\[\label{eq:7.6.15} 2x^2(2+x)y''+5x^2y'+(1+x)y=0.\]
Dar fórmulas explícitas para los coeficientes en las soluciones.
Solución
Para la ecuación dada, los polinomios definidos en Teorema 7.7.1 son
\[\begin{array}{ccccc} p_0(r) &= 4r(r-1)+1 &= (2r-1)^2,\\[4pt] p_1(r) &= 2r(r-1)+5r+1 &= (r+1)(2r+1),\\[4pt] p_2(r) &= 0. \end{array}\nonumber \]
Dado que\(r_1=1/2\) es un cero repetido del polinomio indicial\(p_0\), el teorema 7.7.2 implica que
\[\label{eq:7.6.16} y_1=x^{1/2}\sum_{n=0}^\infty a_n(1/2)x^n\]
y
\[\label{eq:7.6.17} y_2=y_1\ln x+x^{1/2}\sum_{n=1}^\infty a_n'(1/2)x^n\]
formar un conjunto fundamental de soluciones Frobenius de Ecuación\ ref {eq:7.6.15}. Ya que\(p_2\equiv0\), las fórmulas de recurrencia en Teorema 7.7.1 reducen a
\[\begin{align*} a_0(r) &= 1,\\ a_n(r) &= -{p_1(n+r-1)\over p_0(n+r)}a_{n-1}(r),\\[10pt] &= -{(n+r)(2n+2r-1)\over(2n+2r-1)^2}a_{n-1}(r),\\[10pt] &= -{n+r\over2n+2r-1}a_{n-1}(r),\quad n\ge0. \end{align*} \nonumber \]
Te dejamos a ti demostrar que
\[\label{eq:7.6.18} a_n(r)=(-1)^n\prod_{j=1}^n{j+r\over2j+2r-1},\quad n\ge0.\]
Ajuste de\(r=1/2\) rendimientos
\[\label{eq:7.6.19} \begin{array}{ccl} a_n(1/2) &= (-1)^n\prod_{j=1}^n{j+1/2\over2j}= (-1)^n\prod_{j=1}^n{2j+1\over4j},\\[10pt] &= {(-1)^n\prod_{j=1}^n(2j+1)\over4^nn!},\quad n\ge0. \end{array}\]
Sustituyendo esto en la ecuación\ ref {eq:7.6.16} rendimientos
\[y_1=x^{1/2}\sum_{n=0}^\infty{(-1)^n\prod_{j=1}^n(2j+1)\over4^nn!}x^n.\nonumber\]
Para obtener\(y_2\) en la Ecuación\ ref {eq:7.6.17}, debemos computar\(a_n'(1/2)\) para\(n=1\),\(2\),... Esto lo haremos por diferenciación logarítmica. De la ecuación\ ref {eq:7.6.18},
\[|a_n(r)|=\prod_{j=1}^n{|j+r|\over|2j+2r-1|},\quad n\ge1.\nonumber\]
Por lo tanto
\[\ln |a_n(r)|=\sum^n_{j=1} \left(\ln |j+r|-\ln|2j+2r-1|\right). \nonumber\]
Diferenciar con respecto a\(r\) los rendimientos
\[{a'_n(r)\over a_n(r)}=\sum^n_{j=1} \left({1\over j+r}-{2\over2j+2r-1}\right). \nonumber\]
Por lo tanto
\[a'_n(r)=a_n(r) \sum^n_{j=1} \left({1\over j+r}-{2\over2j+2r-1}\right). \nonumber\]
Estableciendo\(r=1/2\) aquí y recordando la ecuación\ ref {eq:7.6.19} rendimientos
\[\label{eq:7.6.20} a'_n(1/2)={(-1)^n\prod_{j=1}^n(2j+1)\over4^nn!}\left(\sum_{j=1}^n{1\over j+1/2}-\sum_{j=1}^n{1\over j}\right).\]
Desde
\[{1\over j+1/2}-{1\over j}={j-j-1/2\over j(j+1/2)}=-{1\over j(2j+1)}, \nonumber\]
La ecuación\ ref {eq:7.6.20} se puede reescribir como
\[a'_n(1/2)=-{(-1)^n\prod_{j=1}^n(2j+1)\over4^nn!} \sum_{j=1}^n{1\over j(2j+1)}. \nonumber\]
Por lo tanto, de la Ecuación\ ref {eq:7.6.17},
\[y_2=y_1\ln x-x^{1/2}\sum_{n=1}^\infty{(-1)^n\prod_{j=1}^n(2j+1)\over4^nn!} \left(\sum_{j=1}^n{1\over j(2j+1)}\right)x^n. \nonumber\]
Encuentre un conjunto fundamental de soluciones Frobenius de
\[\label{eq:7.6.21} x^2(2-x^2)y''-2x(1+2x^2)y'+(2-2x^2)y=0.\]
Dar fórmulas explícitas para los coeficientes en las soluciones.
Solución
Para la Ecuación\ ref {eq:7.6.21}, los polinomios definidos en el Teorema 7.7.1 son
\[\begin{align*} p_0(r) &= 2r(r-1)-2r+2 &= 2(r-1)^2,\\[4pt] p_1(r) &= 0,\\[4pt] p_2(r) &= -r(r-1)-4r-2 &= -(r+1)(r+2). \end{align*} \nonumber \]
Como en la Sección 7.5, ya que\(p_1\equiv0\), las fórmulas de recurrencia del Teorema 7.7.1 implican que\(a_n(r)=0\) si\(n\) es impar, y
\[\begin{align*} a_0(r) &= 1,\\ a_{2m}(r) &= -{p_2(2m+r-2)\over p_0(2m+r)}a_{2m-2}(r)\\[10pt] &= {(2m+r-1)(2m+r)\over2(2m+r-1)^2}a_{2m-2}(r)\\[10pt] &= {2m+r\over2(2m+r-1)}a_{2m-2}(r),\quad m\ge1. \end{align*} \nonumber \]
Dado que\(r_1=1\) es una raíz repetida del polinomio indicial\(p_0\), el teorema 7.7.2 implica que
\[\label{eq:7.6.22} y_1=x\sum_{m=0}^\infty a_{2m}(1)x^{2m}\]
y
\[\label{eq:7.6.23} y_2=y_1\ln x+x\sum_{m=1}^\infty a'_{2m}(1)x^{2m}\]
formar un conjunto fundamental de soluciones Frobenius de Ecuación\ ref {eq:7.6.21}. Te dejamos a ti demostrar que
\[\label{eq:7.6.24} a_{2m}(r)={1\over2^m}\prod_{j=1}^m{2j+r\over2j+r-1}.\]
Ajuste de\(r=1\) rendimientos
\[\label{eq:7.6.25} a_{2m}(1)={1\over2^m}\prod_{j=1}^m{2j+1\over2j} ={\prod_{j=1}^m(2j+1)\over4^mm!},\]
y sustituyendo esto en Ecuación\ ref {eq:7.6.22} rendimientos
\[y_1=x\sum_{m=0}^\infty{\prod_{j=1}^m(2j+1)\over4^mm!}x^{2m}. \nonumber\]
Para obtener\(y_2\) en la Ecuación\ ref {eq:7.6.23}, debemos computar\(a_{2m}'(1)\) para\(m=1\),\(2\),... Nuevamente utilizamos la diferenciación logarítmica. De la ecuación\ ref {eq:7.6.24},
\[|a_{2m}(r)|={1\over2^m}\prod_{j=1}^m{|2j+r|\over|2j+r-1|}.\nonumber\]
Tomando logaritmos rendimientos
\[\ln |a_{2m}(r)|=-m\ln2+ \sum^m_{j=1} \left(\ln |2j+r|-\ln|2j+r-1|\right).\nonumber\]
Diferenciar con respecto a\(r\) los rendimientos
\[{a'_{2m}(r)\over a_{2m}(r)}=\sum^m_{j=1} \left({1\over 2j+r}-{1\over2j+r-1}\right).\nonumber\]
Por lo tanto
\[a'_{2m}(r)=a_{2m}(r) \sum^m_{j=1} \left({1\over 2j+r}-{1\over2j+r-1}\right).\nonumber\]
Ajuste\(r=1\) y recuperación de la ecuación\ ref {eq:7.6.25} rendimientos
\[\label{eq:7.6.26} a'_{2m}(1)={{\prod_{j=1}^m(2j+1)\over4^mm!} \sum_{j=1}^m\left({1\over2j+1}-{1\over2j}\right)}.\]
Desde
\[{1\over2j+1}-{1\over2j}=-{1\over2j(2j+1)},\nonumber\]
La ecuación\ ref {eq:7.6.26} se puede reescribir como
\[a_{2m}'(1)=-\dfrac{\prod_{j=1}^{m}(2j+1)}{2\cdot 4^{m}m!}\sum_{j=1}^{m}\dfrac{1}{j(2j+1)}\nonumber \]
Sustituyendo esto en la ecuación\ ref {eq:7.6.23} rendimientos
\[y_2=y_1\ln x-{x\over2}\sum_{m=1}^\infty{\prod_{j=1}^m(2j+1)\over4^mm!} \left(\sum_{j=1}^m{1\over j(2j+1)}\right)x^{2m}.\nonumber \]
Si la solución\(y_1=y(x,r_1)\) de\(Ly=0\) reduce a una suma finita, entonces hay una dificultad en usar la diferenciación logarítmica para obtener los coeficientes\(\{a_n'(r_1)\}\) en la segunda solución. El siguiente ejemplo ilustra esta dificultad y muestra cómo superarla.
Encuentre un conjunto fundamental de soluciones Frobenius de
\[\label{eq:7.6.27} x^2y''-x(5-x)y'+(9-4x)y=0.\]
Dar fórmulas explícitas para los coeficientes en las soluciones.
Solución
Para la Ecuación\ ref {eq:7.6.27} los polinomios definidos en el Teorema 7.7.1 son
\[\begin{align*} p_0(r) &= r(r-1)-5r+9 &= (r-3)^2,\\[4pt] p_1(r) &= r-4,\\[4pt] p_2(r) &= 0. \end{align*} \nonumber \]
Dado que\(r_1=3\) es un cero repetido del polinomio indicial\(p_0\), el teorema 7.7.2 implica que
\[\label{eq:7.6.28} y_1=x^3\sum_{n=0}^\infty a_n(3)x^n\]
y
\[\label{eq:7.6.29} y_2=y_1\ln x+x^3\sum_{n=1}^\infty a_n'(3)x^n\]
son soluciones de Frobenius linealmente independientes de la Ecuación\ ref {eq:7.6.27}. Para encontrar los coeficientes en la Ecuación\ ref {eq:7.6.28} utilizamos las fórmulas de recurrencia
\[\begin{align*} a_0(r) &= 1,\\ a_n(r) &= -{p_1(n+r-1)\over p_0(n+r)}a_{n-1}(r)\\[10pt] &= -{n+r-5\over(n+r-3)^2}a_{n-1}(r),\quad n\ge1. \end{align*} \nonumber \]
Te dejamos a ti demostrar que
\[\label{eq:7.6.30} a_n(r)=(-1)^n\prod_{j=1}^n{j+r-5\over(j+r-3)^2}.\]
Estableciendo\(r=3\) aquí rendimientos
\[a_n(3)=(-1)^n\prod_{j=1}^n{j-2\over j^2},\nonumber\]
así\(a_1(3)=1\) y\(a_n(3)=0\) si\(n\ge2\). Sustituyendo estos coeficientes en Ecuación\ ref {eq:7.6.28} rendimientos
\[y_1=x^3(1+x).\nonumber \]
Para obtener\(y_2\) en la Ecuación\ ref {eq:7.6.29} debemos computar\(a_n'(3)\) para\(n=1\),\(2\),... Primero intentemos la diferenciación logarítmica. De la ecuación\ ref {eq:7.6.30},
\[|a_n(r)|=\prod_{j=1}^n{|j+r-5|\over|j+r-3|^2},\quad n\ge1,\nonumber\]
por lo
\[\ln |a_n(r)|=\sum^n_{j=1} \left(\ln |j+r-5|-2\ln|j+r-3|\right).\nonumber\]
Diferenciar con respecto a\(r\) los rendimientos
\[{a'_n(r)\over a_n(r)}=\sum^n_{j=1} \left({1\over j+r-5}-{2\over j+r-3}\right).\nonumber\]
Por lo tanto
\[\label{eq:7.6.31} a'_n(r)=a_n(r) \sum^n_{j=1} \left({1\over j+r-5}-{2\over j+r-3}\right).\]
Sin embargo, no podemos simplemente establecer\(r=3\) aquí si\(n\ge2\), ya que la expresión entre corchetes en la suma correspondiente a\(j=2\) contiene el término\(1/(r-3)\). De hecho, ya que\(a_n(3)=0\) para\(n\ge2\), la fórmula Ecuación\ ref {eq:7.6.31} para\(a_n'(r)\) es en realidad una forma indeterminada en\(r=3\).
Superamos esta dificultad de la siguiente manera. De la ecuación\ ref {eq:7.6.30} con\(n=1\),
\[a_1(r)=-{r-4\over (r-2)^2}.\nonumber\]
Por lo tanto
\[a_1'(r)={r-6\over(r-2)^3},\nonumber\]
por lo
\[\label{eq:7.6.32} a_1'(3)=-3.\]
De la ecuación\ ref {eq:7.6.30} con\(n\ge2\),
\[a_n(r)=(-1)^n (r-4)(r-3)\,{\prod_{j=3}^n(j+r-5)\over\prod_{j=1}^n(j+r-3)^2} =(r-3)c_n(r),\nonumber\]
donde
\[c_n(r)=(-1)^n(r-4)\, {\prod_{j=3}^n(j+r-5)\over\prod_{j=1}^n(j+r-3)^2},\quad n\ge2.\nonumber\]
Por lo tanto
\[a_n'(r)=c_n(r)+(r-3)c_n'(r),\quad n\ge2,\nonumber\]
lo que implica que\(a_n'(3)=c_n(3)\) si\(n\ge3\). Te dejamos a ti verificar que
\[a_n'(3)=c_n(3)={(-1)^{n+1}\over n(n-1)n!},\quad n\ge2.\nonumber\]
Sustituyendo esto y la Ecuación\ ref {eq:7.6.32} en Ecuación\ ref {eq:7.6.29} rendimientos
\[y_2=x^3(1+x)\ln x-3x^4-x^3{\sum_{n=2}^\infty {(-1)^n\over n(n-1)n!}x^n}.\nonumber\]