8.6E: Convolución (Ejercicios)

Q8.6.1

1. Expresar la transformada inversa como una integral.

1. \(1\over s^2(s^2+4)\)
2. \(s\over(s+2)(s^2+9)\)
3. \(s\over(s^2+4)(s^2+9)\)
4. \(s\over(s^2+1)^2\)
5. \(1\over s(s-a)\)
6. \(1\over(s+1)(s^2+2s+2)\)
7. \(1\over (s+1)^2(s^2+4s+5)\)
8. \(1\over(s-1)^3(s+2)^2\)
9. \(s-1\over s^2(s^2-2s+2)\)
10. \(s(s+3)\over(s^2+4)(s^2+6s+10)\)
11. \(1\over(s-3)^5s^6\)
12. \(1\over(s-1)^3(s^2+4)\)
13. \(1\over s^2(s-2)^3\)
14. \(1\over s^7(s-2)^6\)

2. Encuentra la transformación de Laplace.

1. \(\int_0^t\sin a\tau\cos b(t-\tau)\, d\tau\)
2. \(\int_0^t e^\tau\sin a(t-\tau)\,d\tau\)
3. \(\int_0^t\sinh a\tau\cosh a(t-\tau)\,d\tau\)
4. \(\int_0^t\tau(t-\tau)\sin \omega\tau\cos\omega (t-\tau)\,d\tau\)
5. \(e^t\int_0^t\sin\omega\tau \cos\omega (t-\tau)\,d\tau\)
6. \(e^t\int_0^t\tau^2 (t-\tau)e^\tau\,d\tau\)
7. \(e^{-t}\int_0^t e^{-\tau}\tau\cos\omega (t-\tau)\,d\tau\)
8. \(e^t\int_0^t e^{2\tau}\sinh (t-\tau)\,d\tau\)
9. \(\int_0^t\tau e^{2\tau}\sin 2(t-\tau)\,d\tau\)
10. \(\int_0^t (t-\tau)^3 e^\tau\, d\tau\)
11. \(\int_0^t\tau^6 e^{-(t-\tau)}\sin 3(t-\tau)\,d\tau\)
12. \(\int_0^t\tau^2 (t-\tau)^3\, d\tau\)
13. \(\int_0^t (t-\tau)^7 e^{-\tau} \sin 2\tau\,d\tau\)
14. \(\int_0^t (t-\tau)^4\sin 2\tau\,d\tau\)

3. Encuentre una fórmula para la solución del problema de valor inicial.

1. \(y''+3y'+y=f(t),\quad y(0)=0,\quad y'(0)=0\)
2. \(y''+4y=f(t),\quad y(0)=0,\quad y'(0)=0\)
3. \(y''+2y'+y=f(t),\quad y(0)=0,\quad y'(0)=0\)
4. \(y''+k^2y=f(t),\quad y(0)=1,\quad y'(0)=-1\)
5. \(y''+6y'+9y=f(t),\quad y(0)=0,\quad y'(0)=-2\)
6. \(y''-4y=f(t),\quad y(0)=0,\quad y'(0)=3\)
7. \(y''-5y'+6y=f(t),\quad y(0)=1,\quad y'(0)=3\)
8. \(y''+\omega^2y=f(t),\quad y(0)=k_0,\quad y'(0)=k_1\)

4. Resolver la ecuación integral.

1. \(y(t)=t-\int_0^t (t-\tau) y(\tau)\,d\tau\)
2. \(y(t)=\sin t-2 \int_0^t\cos (t-\tau) y (\tau)\,d\tau\)
3. \(y(t)=1+2 \int_0^ty(\tau)\cos(t-\tau)\,d\tau\)
4. \(y(t)=t+\int_0^t y(\tau)e^{-(t-\tau)}\,d\tau\)
5. \(y'(t)=t+\int_0^t y(\tau)\cos (t-\tau)\,d\tau,\, y(0)=4\)
6. \(y(t)=\cos t-\sin t+ \int_0^t y(\tau)\sin (t-\tau)\,d\tau\)

5. Utilizar el teorema de convolución para evaluar la integral.

1. \(\int_0^t (t-\tau)^7\tau^8\, d\tau\)
2. \(\int_0^t(t-\tau)^{13}\tau^7\,d\tau\)
3. \(\int_0^t(t-\tau)^6\tau^7\, d\tau\)
4. \(\int_0^te^{-\tau}\sin(t-\tau)\,d\tau\)
5. \(\int_0^t\sin\tau\cos2(t-\tau)\,d\tau\)

6. Demostrar que

\[\int_0^tf(t-\tau)g(\tau)\,d\tau=\int_0^tf(\tau)g(t-\tau)\,d\tau\nonumber \]

introduciendo la nueva variable de integración\(x=t-\tau\) en la primera integral.

7. Usa el teorema de convolución para mostrar que si\(f(t)\leftrightarrow F(s)\) entonces

\[\int_0^tf(\tau)\,d\tau\leftrightarrow {F(s)\over s}.\nonumber \]

8. Demostrar que si\(p(s)=as^2+bs+c\) tiene ceros reales distintos\(r_1\) y\(r_2\) luego la solución de

\[ay''+by'+cy=f(t),\quad y(0)=k_0,\quad y'(0)=k_1\nonumber \]

es

\[\begin{aligned} y(t)&=\; k_0{r_2e^{r_1t}-r_1e^{r_2t}\over r_2-r_1}+k_1{e^{r_2t}-e^{r_1t} \over r_2-r_1} \\ &+{1\over a(r_2-r_1)}\int_0^t(e^{r_2\tau}-e^{r_1\tau})f(t-\tau)\,d\tau.\end{aligned}\nonumber \]

9. Demostrar que si\(p(s)=as^2+bs+c\) tiene un cero real repetido\(r_1\) entonces la solución de

\[ay''+by'+cy=f(t),\quad y(0)=k_0,\quad y'(0)=k_1\nonumber \]

es

\[y(t)=\; k_0(1-r_1t)e^{r_1t}+k_1te^{r_1t} +{1\over a}\int_0^t\tau e^{r_1\tau}f(t-\tau)\,d\tau.\nonumber \]

10. Demostrar que si\(p(s)=as^2+bs+c\) tiene ceros conjugados complejos\(\lambda\pm i\omega\) entonces la solución de

\[ay''+by'+cy=f(t),\quad y(0)=k_0,\quad y'(0)=k_1\nonumber \]

es

\[\begin{aligned} y(t)&=\; e^{\lambda t}\left[k_0(\cos\omega t-{\lambda\over\omega}\sin\omega t)+{k_1\over\omega}\sin\omega t\right] \\ &+{1\over a\omega}\int_0^te^{\lambda t}f(t-\tau)\sin\omega\tau\, d\tau.\end{aligned}\nonumber \]

11. Let

\[w={\cal L}^{-1}\left(1\over as^2+bs+c\right),\nonumber\]

donde\(a,b\), y\(c\) son constantes y\(a\ne0\).

1. Demostrar que\(w\) es la solución de\[aw''+bw'+cw=0,\quad w(0)=0,\quad w'(0)={1\over a}.\nonumber\]
2. Seamos\(f\) continuos\([0,\infty)\) y definamos\[h(t)=\int_0^t w(t-\tau)f(\tau)\,d\tau.\nonumber\] Usar la regla de Leibniz para diferenciar una integral con respecto a un parámetro para mostrar que\(h\) es la solución de\[ah''+bh'+ch=f,\quad h(0)=0,\quad h'(0)=0.\nonumber\]
3. Mostrar que la función\(y\) en la Ecuación 8.6.14 es la solución de la Ecuación 8.6.13 siempre que\(f\) sea continua en\([0,\infty)\); así, no es necesario asumir que\(f\) tiene una transformada de Laplace.

12. Considerar el problema de valor inicial

\[ay''+by'+cy=f(t),\quad y(0)=0,\quad y'(0)=0, \tag{A}\]

donde\(a,b\), y\(c\) son constantes,\(a\ne0\), y

\[f(t)=\left\{\begin{array}{cc}f_0(t),&0\le t<t_1,\\ f_1(t),&t\ge t_1.\end{array}\right.\nonumber\]

Supongamos que\(f_0\) es continuo y de orden exponencial encendido\([0,\infty)\) y\(f_1\) es continuo y de orden exponencial encendido\([t_1,\infty)\). Let

\[p(s)=as^2+bs+c.\nonumber\]

1. Demostrar que la transformación de Laplace de la solución de (A) es\[Y(s)={F_0(s)+e^{-st_1}G(s)\over p(s)}\nonumber\] donde\(g(t)=f_1(t+t_1)-f_0(t+t_1)\).
2. Seamos\(w\) como en el Ejercicio 8.6.11. Utilice el Teorema 8.4.2 y el teorema de convolución para mostrar que la solución de (A) es\[y(t)=\int_0^t w(t-\tau)f_0(\tau)\,d\tau+u(t-t_1)\int_0^{t-t_1} w(t-t_1-\tau)g(\tau)\,d\tau\nonumber\] para\(t>0\).
3. De ahora en adelante, supongamos que sólo eso\(f_0\) es continuo\([0,\infty)\) y\(f_1\) es continuo en\([t_1,\infty)\). Utilice el Ejercicio 8.6.11 (a) y (b) para demostrar que\[y'(t)=\int_0^t w'(t-\tau)f_0(\tau)\,d\tau+u(t-t_1)\int_0^{t-t_1} w'(t-t_1-\tau)g(\tau)\,d\tau\nonumber\] para\(t>0\), y\[y''(t)={f(t)\over a}+\int_0^t w''(t-\tau)f_0(\tau)\,d\tau+u(t-t_1)\int_0^{t-t_1} w''(t-t_1-\tau)g(\tau)\,d\tau\nonumber\] para\(0<t<t_{1}\) y\(t>t_{1}\). Además, show\(y\) satisface la ecuación diferencial en (A) en\((0,t_1)\) y\((t_1,\infty)\).
4. \(y'\)Demuéstralo\(y\) y son continuos en\([0,\infty)\).

13. Supongamos

\[f(t)=\left\{\begin{array}{cl} f_0(t),&0\le t < t_1,\\ f_1(t),&t_1\le t < t_2,\\ &\vdots\\ f_{k-1}(t),&t_{k-1}\le t < t_k,\\ f_k(t),&t\ge t_k, \end{array}\right.\nonumber\]

donde\(f_m\) es continuo\([t_m,\infty)\) para\(m=0,\dots,k\) (let\(t_0=0\)), y definir

\[g_m(t)=f_m(t+t_m)-f_{m-1}(t+t_m) ,\, m=1,\dots,k.\nonumber\]

Ampliar los resultados del Ejercicio 8.6.12 para demostrar que la solución de

\[ay''+by'+cy=f(t),\quad y(0)=0,\quad y'(0)=0\nonumber\]

es

\[y(t)=\int_0^t w(t-\tau)f_0(\tau)\,d\tau+\sum_{m=1}^ku(t-t_m) \int_0^{t-t_m}w(t-t_m-\tau)g_m(\tau)\,d\tau.\nonumber\]

14. Dejar\(\{t_m\}_{m=0}^\infty\) ser una secuencia de puntos tales que\(t_0=0\),\(t_{m+1}>t_m\), y\(\lim_{m\to\infty}t_m=\infty\). Para cada entero no egativo\(m\) let\(f_m\) ser continuo on\([t_m,\infty)\), y let\(f\) ser definido\([0,\infty)\) por

\[f(t)=f_m(t),\quad t_m\le t<t_{m+1}\quad m=0,1,2,...\nonumber \]

Let

\[g_m(t)=f_m(t+t_m)-f_{m-1}(t+t_m),\quad m=1,\dots,k.\nonumber\]

Ampliar los resultados del Ejercicio 8.6.13 para demostrar que la solución de

\[ay''+by'+cy=f(t),\quad y(0)=0,\quad y'(0)=0\nonumber\]

es

\[y(t)=\int_0^t w(t-\tau)f_0(\tau)\,d\tau+\sum_{m=1}^\infty u(t-t_m) \int_0^{t-t_m}w(t-t_m-\tau)g_m(\tau) \,d\tau.\nonumber\]CONSEJO: Ver Excercise 8.6.30