6.3: Principio Máximo

$\Omega\subset \mathbb{R}^n$Déjese ser un dominio acotado. Set

\ begin {eqnarray*}
D_T&=&\ Omega\ times (0, T),\\ T>0,\\
S_T&=&\ {(x, t):\ (x, t)\ in\ Omega\ tiempos\ {0\}\\ mbox {o}\ (x, t)\ in\ parcial\ Omega\ tiempos [0, T]\},
\ fin {eqnarray*}

ver Figura 6.3.1.

Figura 6.3.1: Notaciones al principio máximo

Teorema 6.2

Asumir$u\in C(\overline{D_T})$$u_t$, eso,$u_{x_ix_k}$ existir y son continuos en$D_T$, y

$$u_t-\ triángulo u\ le 0\\\ mbox {in}\ D_T.\]

Entonces

$$\ max_ {\ overline {D_T}} u (x, t) =\ max_ {S_T} u.\]

Prueba

Asumir inicialmente$u_t-\triangle u<0$ en$D_T$. Dejar$\varepsilon>0$ ser pequeño y$0<\varepsilon<T$. Ya que$u\in C(\overline{D_{T-\varepsilon}})$, hay$(x_0,t_0) \in \overline{D_{T-\varepsilon}}$ tal que

$$u (x_0, t_0) =\ max_ {\ overline {D_ {T-\ varepsilon}}} u (x, t).\]

Caso (i)

Vamos$(x_0,t_0)\in D_{T-\varepsilon}$. De ahí que, dado que$D_{T-\varepsilon}$ está abierto,

$u_t(x_0,t_0)=0$,$u_{x_l}(x_0,t_0)=0$,$l=1,\ldots,n$ y

$$\ sum_ {l, k=1} ^n u_ {x_lx_k} (x_0, t_0)\ zeta_l\ zeta_k\ le0\\\ mbox {para todos}\\ zeta\ in\ mathbb {R} ^n.\]

La desigualdad anterior implica eso$u_{x_kx_k}(x_0,t_0)\le0$ para cada uno$k$. Así llegamos a una contradicción para$u_t-\triangle u<0$ entrar$D_T$.

Caso (ii)

Asumir$(x_0,t_0)\in\Omega\times\{T-\varepsilon\}$. Entonces se deduce como arriba$\triangle u\le 0$ en$(x_0,t_0)$, y de$u(x_0,t_0)\ge u(x_0,t)$,$t\le t_0$, se concluye que$u_t(x_0,t_0)\ge0$. Llegamos a una contradicción para$u_t-\triangle u<0$ entrar de$D_T$ nuevo.

Resumiendo, hemos demostrado que

$$\ max_ {\ overline {D_ {T-\ varepsilon}}} u (x, t) =\ max_ {T-\ varepsilon} u (x, t).\]

Por lo tanto, existe$(x_\varepsilon,t_\varepsilon)\in S_{T-\varepsilon}$ tal que

$$u (x_\ varepsilon, t_\ varepsilon) =\ max_ {\ overline {D_ {T-\ varepsilon}}} u (x, t).\]

Ya que$u$ es continuo$\overline{D}_T$, tenemos

$$\ lim_ {\ varepsilon\ a 0}\ max_ {\ overline {D_ {T-\ varepsilon}} u (x, t) =\ max_ {\ overline {D_T}} u (x, t).\]

De ello se deduce que hay$(\overline{x},\overline{t})\in S_T$ tal que

$$u (\ overline {x},\ overline {t}) =\ max_ {\ overline {D_T}} u (x, t)\]

ya que$S_{T-\varepsilon}\subset S_T$ y$S_T$ es compacto. Así, el teorema se muestra bajo el supuesto$u_t-\triangle u<0$ en$D_T$. Ahora asuma$u_t-\triangle u\le 0$ en$D_T$. Set

$$v (x, t) :=u (x, t) -kt,\]

donde$k$ es una constante positiva. Entonces

$$v_t-\ triángulo v=u_t-\ triángulo u-k<0.\]

Desde arriba tenemos

\ begin {eqnarray*}
\ max_ {\ overline {D_T}} u (x, t) &=&\ max_ {\ overline {\ overline {D_T}} (v (x, t) +kt)\\ &\
le&\ max_ {\ overline {D_T}} v (x, t) +kt\\ &=&\ max_ {S_T} v (x, t) +kt\\
&=&\ max_ {S_T} v (x, t) t) +kT\\ &\ le&\ max_ {S_T} u (x, t) +kT,
\ fin {eqnarray*}

Dejando$k\to 0$, obtenemos

$$\ max_ {\ overline {D_T}} u (x, t)\ le\ max_ {S_T} u (x, t).\]

Ya que$S_T\subset\overline{D_T}$, se muestra el teorema.

$\Box$

Si reemplazamos en el teorema anterior el dominio acotado$\Omega$ por$\mathbb{R}^n$, entonces el resultado sigue siendo verdadero siempre que supongamos una suposición de crecimiento {\ it adicional} para$u$. Más precisamente, tenemos el siguiente resultado que es un corolario del teorema anterior. Set para un fijo$T$,$0<T<\infty$,

$$D_T=\ {(x, t):\ x\ in\ mathbb {R} ^n,\ 0<t<t\}.\]

Proposición 6.2

Asumir$u\in C(\overline{D_T})$$u_t$, eso,$u_{x_ix_k}$ existir y son continuos en$D_T$,

$$u_t-\ triángulo u\ le 0\\\ mbox {in}\ D_T,\]

y adicionalmente que$u$ satisfaga la condición de crecimiento

$$u (x, t)\ le Me^ {a|x|^2},\]

donde$M$ y$a$ son constantes positivas.

Entonces

$$\ max_ {\ overline {D_T}} u (x, t) =\ max_ {S_T} u.\]

De ello se desprende de inmediato la

Corolario

El problema de valor inicial$u_t-\triangle u=0$ en$D_T$$u(x,0)=f(x)$,$x\in\mathbb{R}^n$,, tiene una solución única en la clase definida por$u\in C(\overline{D_T})$,$u_t$,$u_{x_ix_k}$ existir y son continuos en$D_T$ y$|u(x,t)|\le Me^{a|x|^2}$.

Comprobante de la Proposición 6.2.

Ver [10], pp. 217. Podemos suponer que$4aT<1$, dado que el intervalo finito se puede dividir en finitos muchos intervalos de igual longitud$\tau$ con
$4a\tau<1$. Luego concluimos sucesivamente para$k$ eso

$$u (x, t)\ le\ sup_ {y\ in\ mathbb {R} ^n} u (y, k\ tau)\ le\ sup_ {y\ in\ mathbb {R} ^n} u (y,0)\]

para$k\tau\le t\le (k+1)\tau$,$k=0,\ldots, N-1$, donde$N=T/\tau$.

Hay$\epsilon>0$ tal que$4a(T+\epsilon)<1$. Considere la función de comparación
\ begin {eqnarray*}
v_\ mu (x, t) :&=&u (x, t) -\ mu\ left (4\ pi (T+\ epsilon-t)\ right) ^ {-n/2} e^ {|x-y|^2/ (4 (T+\ epsilon-t))}\\
&=&u (x, t) -\ mu K (ix, iy, T+\ épsilon-t)
\ fin {eqnarray*}

para fijo$y\in\mathbb{R}^n$ y para una constante$\mu>0$. Dado que el núcleo de calor$K(ix,iy,t)$ satisface$K_t=\triangle K_x$, obtenemos

$$\ frac {\ parcial} {\ parcial t} v_\ mu-\ triángulo v_\ mu=u_t-\ triángulo u\ le0.\]

Establecer para una constante$\rho>0$

$$D_ {T,\ rho} =\ {(x, t):\ |x-y|<\ rho,\ 0<t<t\}.\]

Luego obtenemos del Teorema 6.2 que

$$v_\ mu (y, t)\ le\ max_ {S_ {T,\ rho}} v_\ mu,\]

donde$S_{T,\rho}\equiv S_T$ del Teorema 6.2 con$\Omega=B_\rho(y)$, ver Figura 6.3.1.

En la parte inferior de$S_{T,\rho}$ tenemos, ya que$\mu K>0$,

$$v_\ mu (x,0)\ le u (x,0)\ le\ sup_ {z\ in\ mathbb {R} ^n} f (z).\]

En la parte del cilindro$|x-y|=\rho$,$0\le t\le T$, de$S_{T,\rho}$ ella es

\ begin {eqnarray*}
v_\ mu (x, t) &\ Le&me^ {a|x|^2} -\ mu\ left (4\ pi (T+\ epsilon-t)\ right) ^ {-n/2} e^ {\ rho^2/ (4 (T+\ épsilon-t))}\\
&\ Le&me^ {a (|y|y|+\ rho) ^2} -\ mu\ izquierda (4\ pi (T+\ épsilon)\ derecha) ^ {-n/2} e^ {\ rho^2/ (4 (T+\ épsilon))}\\
&\ le&\ sup_ {z\ in\ mathbb {R} ^n} f (z)
\ end {eqnarray*}
para todos$\rho>\rho_0(\mu)$,$\rho_0$ suficientemente grandes. Eso lo recordamos$4a(T+\epsilon)<1$.
Resumiendo, tenemos

$$\ max_ {S_ {T,\ rho}} v_\ mu (x, t)\ le\ sup_ {z\ in\ mathbb {R} ^n} f (z)\]

si$\rho>\rho_0(\mu)$. Así

$$v_\ mu (y, t)\ le\ max_ {S_ {T,\ rho}} v_\ mu (x, t)\ le\ sup_ {z\ in\ mathbb {R} ^n} f (z)\]

si$\rho>\rho_0(\mu)$.

Desde

$$v_\ mu (y, t) =u (y, t) -\ mu\ izquierda (4\ pi (T+\ épsilon-t)\ derecha) ^ {-n/2}\]

se sigue

$$u (y, t) -\ mu\ izquierda (4\ pi (T+\ épsilon-t)\ derecha) ^ {-n/2}\ le\ sup_ {z\ in\ mathbb {R} ^n} f (z).\]

Dejando$\mu\to0$, obtenemos la aseveración de la proposición.

$\Box$

El principio máximo anterior del Teorema 6.2 se mantiene para una gran clase de operadores diferenciales parabólicos, incluso para ecuaciones degeneradas.

Set

$$Lu=\ suma_ {i, j=1} ^na^ {ij} (x, t) u_ {x_ix_j},\]

donde$a^{ij}\in C(D_T)$ son reales,$a^{ij}=a^{ji}$, y la matriz no$(a^{ij})$ es negativa, es decir,

$$\ sum_ {i, j=1} ^na^ {ij} (x, t)\ zeta_i\ zeta_j\ ge 0\\\ mbox {para todos}\\ zeta\ in\ mathbb {R} ^n,\]

y$(x,t)\in D_T$.

Teorema 6.3

Asumir$u\in C(\overline{D_T})$$u_t$, eso,$u_{x_ix_k}$ existir y son continuos en$D_T$, y

$$u_t-L u\ le 0\\\ mbox {in}\ D_T.\]

Entonces

$$\ max_ {\ overline {D_T}} u (x, t) =\ max_ {S_T} u.\]

Prueba

(i) Una prueba es consecuencia del siguiente lema: let$A$, matrices$B$ reales, simétricas y no negativas. No negativo significa que todos los valores propios son no negativos. Después traza~$(AB)\equiv\sum_{i,j=1}^na^{ij}b_{ij}\ge0$, ver un ejercicio.

(ii) Otra prueba es más directamente: let$U=(z_1,\ldots,z_n)$, donde$z_l$ se encuentra un sistema ortonormal de vectores propios a los valores propios$\lambda_l$ de la matriz$A=(a^{i,j}(x_0,t_0))$. Establecer$\zeta=U\eta$,$x=U^T(x-x_0)y$ y$v(y)=u(x_0+Uy,t_0)$, luego

\ begin {eqnarray*}
0&\ le&\ sum_ {i, j=1} ^na^ {ij} (x_0, t_0)\ zeta_i\ zeta_j=\ suma_ {i=1} ^n\ lambda_i\ eta_i^2\\
0&\ ge&\ sum_ {i, j=1} ^n u_ {x_ix_j}\ zeta_i\ zeta_j=\ suma_ {i=1} ^n v_ {y_iy_i}\ eta_i^2.
\ end {eqnarray*}

Sigue$\lambda_i\ge0$ y$v_{y_iy_i}\le0$ para todos$i$.

Consecuentemente

$$\ suma_ {i, j=1} ^na^ {ij} (x_0, t_0) u_ {x_ix_j} (x_0, t_0) =\ suma_ {i=1} ^n\ lambda_iv_ {y_iy_i}\ le0.\]

$\Box$

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