6.3: Principio Máximo

\(\Omega\subset \mathbb{R}^n\)Déjese ser un dominio acotado. Set

\ begin {eqnarray*}
D_T&=&\ Omega\ times (0, T),\\ T>0,\\
S_T&=&\ {(x, t):\ (x, t)\ in\ Omega\ tiempos\ {0\}\\ mbox {o}\ (x, t)\ in\ parcial\ Omega\ tiempos [0, T]\},
\ fin {eqnarray*}

ver Figura 6.3.1.

Figura 6.3.1: Notaciones al principio máximo

Teorema 6.2

Asumir\(u\in C(\overline{D_T})\)\(u_t\), eso,\(u_{x_ix_k}\) existir y son continuos en\(D_T\), y

$$u_t-\ triángulo u\ le 0\\\ mbox {in}\ D_T.\]

Entonces

$$\ max_ {\ overline {D_T}} u (x, t) =\ max_ {S_T} u.\]

Prueba

Asumir inicialmente\(u_t-\triangle u<0\) en\(D_T\). Dejar\(\varepsilon>0\) ser pequeño y\(0<\varepsilon<T\). Ya que\(u\in C(\overline{D_{T-\varepsilon}})\), hay\((x_0,t_0) \in \overline{D_{T-\varepsilon}}\) tal que

$$u (x_0, t_0) =\ max_ {\ overline {D_ {T-\ varepsilon}}} u (x, t).\]

Caso (i)

Vamos\((x_0,t_0)\in D_{T-\varepsilon}\). De ahí que, dado que\(D_{T-\varepsilon}\) está abierto,

\(u_t(x_0,t_0)=0\),\(u_{x_l}(x_0,t_0)=0\),\(l=1,\ldots,n\) y

$$\ sum_ {l, k=1} ^n u_ {x_lx_k} (x_0, t_0)\ zeta_l\ zeta_k\ le0\\\ mbox {para todos}\\ zeta\ in\ mathbb {R} ^n.\]

La desigualdad anterior implica eso\(u_{x_kx_k}(x_0,t_0)\le0\) para cada uno\(k\). Así llegamos a una contradicción para\(u_t-\triangle u<0\) entrar\(D_T\).

Caso (ii)

Asumir\((x_0,t_0)\in\Omega\times\{T-\varepsilon\}\). Entonces se deduce como arriba\(\triangle u\le 0\) en\((x_0,t_0)\), y de\(u(x_0,t_0)\ge u(x_0,t)\),\(t\le t_0\), se concluye que\(u_t(x_0,t_0)\ge0\). Llegamos a una contradicción para\(u_t-\triangle u<0\) entrar de\(D_T\) nuevo.

Resumiendo, hemos demostrado que

$$\ max_ {\ overline {D_ {T-\ varepsilon}}} u (x, t) =\ max_ {T-\ varepsilon} u (x, t).\]

Por lo tanto, existe\((x_\varepsilon,t_\varepsilon)\in S_{T-\varepsilon}\) tal que

$$u (x_\ varepsilon, t_\ varepsilon) =\ max_ {\ overline {D_ {T-\ varepsilon}}} u (x, t).\]

Ya que\(u\) es continuo\(\overline{D}_T\), tenemos

$$\ lim_ {\ varepsilon\ a 0}\ max_ {\ overline {D_ {T-\ varepsilon}} u (x, t) =\ max_ {\ overline {D_T}} u (x, t).\]

De ello se deduce que hay\((\overline{x},\overline{t})\in S_T\) tal que

$$u (\ overline {x},\ overline {t}) =\ max_ {\ overline {D_T}} u (x, t)\]

ya que\(S_{T-\varepsilon}\subset S_T\) y\(S_T\) es compacto. Así, el teorema se muestra bajo el supuesto\(u_t-\triangle u<0\) en\(D_T\). Ahora asuma\(u_t-\triangle u\le 0\) en\(D_T\). Set

$$v (x, t) :=u (x, t) -kt,\]

donde\(k\) es una constante positiva. Entonces

$$v_t-\ triángulo v=u_t-\ triángulo u-k<0.\]

Desde arriba tenemos

\ begin {eqnarray*}
\ max_ {\ overline {D_T}} u (x, t) &=&\ max_ {\ overline {\ overline {D_T}} (v (x, t) +kt)\\ &\
le&\ max_ {\ overline {D_T}} v (x, t) +kt\\ &=&\ max_ {S_T} v (x, t) +kt\\
&=&\ max_ {S_T} v (x, t) t) +kT\\ &\ le&\ max_ {S_T} u (x, t) +kT,
\ fin {eqnarray*}

Dejando\(k\to 0\), obtenemos

$$\ max_ {\ overline {D_T}} u (x, t)\ le\ max_ {S_T} u (x, t).\]

Ya que\(S_T\subset\overline{D_T}\), se muestra el teorema.

\(\Box\)

Si reemplazamos en el teorema anterior el dominio acotado\(\Omega\) por\(\mathbb{R}^n\), entonces el resultado sigue siendo verdadero siempre que supongamos una suposición de crecimiento {\ it adicional} para\(u\). Más precisamente, tenemos el siguiente resultado que es un corolario del teorema anterior. Set para un fijo\(T\),\(0<T<\infty\),

$$D_T=\ {(x, t):\ x\ in\ mathbb {R} ^n,\ 0<t<t\}.\]

Proposición 6.2

Asumir\(u\in C(\overline{D_T})\)\(u_t\), eso,\(u_{x_ix_k}\) existir y son continuos en\(D_T\),

$$u_t-\ triángulo u\ le 0\\\ mbox {in}\ D_T,\]

y adicionalmente que\(u\) satisfaga la condición de crecimiento

$$u (x, t)\ le Me^ {a|x|^2},\]

donde\(M\) y\(a\) son constantes positivas.

Entonces

$$\ max_ {\ overline {D_T}} u (x, t) =\ max_ {S_T} u.\]

De ello se desprende de inmediato la

Corolario

El problema de valor inicial\(u_t-\triangle u=0\) en\(D_T\)\(u(x,0)=f(x)\),\(x\in\mathbb{R}^n\),, tiene una solución única en la clase definida por\(u\in C(\overline{D_T})\),\(u_t\),\(u_{x_ix_k}\) existir y son continuos en\(D_T\) y\(|u(x,t)|\le Me^{a|x|^2}\).

Comprobante de la Proposición 6.2.

Ver [10], pp. 217. Podemos suponer que\(4aT<1\), dado que el intervalo finito se puede dividir en finitos muchos intervalos de igual longitud\(\tau\) con
\(4a\tau<1\). Luego concluimos sucesivamente para\(k\) eso

$$u (x, t)\ le\ sup_ {y\ in\ mathbb {R} ^n} u (y, k\ tau)\ le\ sup_ {y\ in\ mathbb {R} ^n} u (y,0)\]

para\(k\tau\le t\le (k+1)\tau\),\(k=0,\ldots, N-1\), donde\(N=T/\tau\).

Hay\(\epsilon>0\) tal que\(4a(T+\epsilon)<1\). Considere la función de comparación
\ begin {eqnarray*}
v_\ mu (x, t) :&=&u (x, t) -\ mu\ left (4\ pi (T+\ epsilon-t)\ right) ^ {-n/2} e^ {|x-y|^2/ (4 (T+\ epsilon-t))}\\
&=&u (x, t) -\ mu K (ix, iy, T+\ épsilon-t)
\ fin {eqnarray*}

para fijo\(y\in\mathbb{R}^n\) y para una constante\(\mu>0\). Dado que el núcleo de calor\(K(ix,iy,t)\) satisface\(K_t=\triangle K_x\), obtenemos

$$\ frac {\ parcial} {\ parcial t} v_\ mu-\ triángulo v_\ mu=u_t-\ triángulo u\ le0.\]

Establecer para una constante\(\rho>0\)

$$D_ {T,\ rho} =\ {(x, t):\ |x-y|<\ rho,\ 0<t<t\}.\]

Luego obtenemos del Teorema 6.2 que

$$v_\ mu (y, t)\ le\ max_ {S_ {T,\ rho}} v_\ mu,\]

donde\(S_{T,\rho}\equiv S_T\) del Teorema 6.2 con\(\Omega=B_\rho(y)\), ver Figura 6.3.1.

En la parte inferior de\(S_{T,\rho}\) tenemos, ya que\(\mu K>0\),

$$v_\ mu (x,0)\ le u (x,0)\ le\ sup_ {z\ in\ mathbb {R} ^n} f (z).\]

En la parte del cilindro\(|x-y|=\rho\),\(0\le t\le T\), de\(S_{T,\rho}\) ella es

\ begin {eqnarray*}
v_\ mu (x, t) &\ Le&me^ {a|x|^2} -\ mu\ left (4\ pi (T+\ epsilon-t)\ right) ^ {-n/2} e^ {\ rho^2/ (4 (T+\ épsilon-t))}\\
&\ Le&me^ {a (|y|y|+\ rho) ^2} -\ mu\ izquierda (4\ pi (T+\ épsilon)\ derecha) ^ {-n/2} e^ {\ rho^2/ (4 (T+\ épsilon))}\\
&\ le&\ sup_ {z\ in\ mathbb {R} ^n} f (z)
\ end {eqnarray*}
para todos\(\rho>\rho_0(\mu)\),\(\rho_0\) suficientemente grandes. Eso lo recordamos\(4a(T+\epsilon)<1\).
Resumiendo, tenemos

$$\ max_ {S_ {T,\ rho}} v_\ mu (x, t)\ le\ sup_ {z\ in\ mathbb {R} ^n} f (z)\]

si\(\rho>\rho_0(\mu)\). Así

$$v_\ mu (y, t)\ le\ max_ {S_ {T,\ rho}} v_\ mu (x, t)\ le\ sup_ {z\ in\ mathbb {R} ^n} f (z)\]

si\(\rho>\rho_0(\mu)\).

Desde

$$v_\ mu (y, t) =u (y, t) -\ mu\ izquierda (4\ pi (T+\ épsilon-t)\ derecha) ^ {-n/2}\]

se sigue

$$u (y, t) -\ mu\ izquierda (4\ pi (T+\ épsilon-t)\ derecha) ^ {-n/2}\ le\ sup_ {z\ in\ mathbb {R} ^n} f (z).\]

Dejando\(\mu\to0\), obtenemos la aseveración de la proposición.

\(\Box\)

El principio máximo anterior del Teorema 6.2 se mantiene para una gran clase de operadores diferenciales parabólicos, incluso para ecuaciones degeneradas.

Set

$$Lu=\ suma_ {i, j=1} ^na^ {ij} (x, t) u_ {x_ix_j},\]

donde\(a^{ij}\in C(D_T)\) son reales,\(a^{ij}=a^{ji}\), y la matriz no\((a^{ij})\) es negativa, es decir,

$$\ sum_ {i, j=1} ^na^ {ij} (x, t)\ zeta_i\ zeta_j\ ge 0\\\ mbox {para todos}\\ zeta\ in\ mathbb {R} ^n,\]

y\((x,t)\in D_T\).

Teorema 6.3

Asumir\(u\in C(\overline{D_T})\)\(u_t\), eso,\(u_{x_ix_k}\) existir y son continuos en\(D_T\), y

$$u_t-L u\ le 0\\\ mbox {in}\ D_T.\]

Entonces

$$\ max_ {\ overline {D_T}} u (x, t) =\ max_ {S_T} u.\]

Prueba

(i) Una prueba es consecuencia del siguiente lema: let\(A\), matrices\(B\) reales, simétricas y no negativas. No negativo significa que todos los valores propios son no negativos. Después traza~\((AB)\equiv\sum_{i,j=1}^na^{ij}b_{ij}\ge0\), ver un ejercicio.

(ii) Otra prueba es más directamente: let\(U=(z_1,\ldots,z_n)\), donde\(z_l\) se encuentra un sistema ortonormal de vectores propios a los valores propios\(\lambda_l\) de la matriz\(A=(a^{i,j}(x_0,t_0))\). Establecer\(\zeta=U\eta\),\(x=U^T(x-x_0)y\) y\(v(y)=u(x_0+Uy,t_0)\), luego

\ begin {eqnarray*}
0&\ le&\ sum_ {i, j=1} ^na^ {ij} (x_0, t_0)\ zeta_i\ zeta_j=\ suma_ {i=1} ^n\ lambda_i\ eta_i^2\\
0&\ ge&\ sum_ {i, j=1} ^n u_ {x_ix_j}\ zeta_i\ zeta_j=\ suma_ {i=1} ^n v_ {y_iy_i}\ eta_i^2.
\ end {eqnarray*}

Sigue\(\lambda_i\ge0\) y\(v_{y_iy_i}\le0\) para todos\(i\).

Consecuentemente

$$\ suma_ {i, j=1} ^na^ {ij} (x_0, t_0) u_ {x_ix_j} (x_0, t_0) =\ suma_ {i=1} ^n\ lambda_iv_ {y_iy_i}\ le0.\]

\(\Box\)

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