2.1: Ejemplos de PDE
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Las ecuaciones diferenciales parciales ocurren en muchas áreas diferentes de la física, química e ingeniería. Permítanme dar algunos ejemplos, con su contexto físico. Aquí, como es práctica común, escribiré\({\nabla}^2\) para denotar la suma
\[{\nabla}^2 = \dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}+\ldots \nonumber \]
- La ecuación de onda:\[{\nabla}^2 u= \dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2} \nonumber \] Esta puede ser utilizada para describir el movimiento de una cuerda o de tambor (\(u\)es desplazamiento vertical), así como una variedad de otras ondas (sonido, luz,...). La cantidad\(c\) es la velocidad de propagación de la onda.
- La ecuación de calor o difusión,\[ {\nabla}^2 u= \dfrac{1}{k} \dfrac{\partial u}{\partial t} \nonumber \] Esta puede ser utilizada para describir el cambio de temperatura (\(u\)) en un sistema de conducción de calor, o la difusión de una sustancia en otra (\(u\)es la concentración). La cantidad\(k\), a veces reemplazada por\(a^2\), es la constante de difusión, o la capacidad calorífica. Observe la naturaleza irreversible: Si\(t→ −t\) la ecuación de onda se convierte en sí misma, pero no en la ecuación de difusión.
- Ecuación de Laplace:\[{\nabla}^2 u= 0 \nonumber \]
- Ecuación de Helmholtz:\[{\nabla}^2 u + \lambda u = 0 \nonumber \] Esto ocurre para las ondas en las guías de ondas, cuando se buscan modos propios (resonancias).
- La ecuación de Poisson:\[{\nabla}^2 u = f( x, y, \ldots) \nonumber \] La ecuación para el campo gravitacional dentro de un cuerpo gravitacional, o el campo eléctrico dentro de una esfera cargada.
- Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo:\[{\nabla}^2 u= \dfrac{2 m}{\hbar^2}[ E− V( x, y,\ldots)] u= 0 \nonumber \]\(| u|^2\) tiene una interpretación de probabilidad.
- Ecuación de Klein-Gordon Partículas cuánticas\[{\nabla}^2 u − \dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2}+\lambda^2 u= 0 \nonumber \] relativistas,\(|u|^2\) tiene una interpretación de probabilidad.
Todas estas son ecuaciones diferenciales de segundo orden. (Recuerde que el orden se define como la derivada más alta que aparece en la ecuación).