2.1: Ejemplos de PDE
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\(\newcommand{\avec}{\mathbf a}\) \(\newcommand{\bvec}{\mathbf b}\) \(\newcommand{\cvec}{\mathbf c}\) \(\newcommand{\dvec}{\mathbf d}\) \(\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}\) \(\newcommand{\evec}{\mathbf e}\) \(\newcommand{\fvec}{\mathbf f}\) \(\newcommand{\nvec}{\mathbf n}\) \(\newcommand{\pvec}{\mathbf p}\) \(\newcommand{\qvec}{\mathbf q}\) \(\newcommand{\svec}{\mathbf s}\) \(\newcommand{\tvec}{\mathbf t}\) \(\newcommand{\uvec}{\mathbf u}\) \(\newcommand{\vvec}{\mathbf v}\) \(\newcommand{\wvec}{\mathbf w}\) \(\newcommand{\xvec}{\mathbf x}\) \(\newcommand{\yvec}{\mathbf y}\) \(\newcommand{\zvec}{\mathbf z}\) \(\newcommand{\rvec}{\mathbf r}\) \(\newcommand{\mvec}{\mathbf m}\) \(\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}\) \(\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}\) \(\newcommand{\real}{\mathbb R}\) \(\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}\) \(\newcommand{\bcal}{\cal B}\) \(\newcommand{\ccal}{\cal C}\) \(\newcommand{\scal}{\cal S}\) \(\newcommand{\wcal}{\cal W}\) \(\newcommand{\ecal}{\cal E}\) \(\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}\) \(\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}\) \(\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}\) \(\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}\) \(\newcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\col}{\text{Col}}\) \(\renewcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\nul}{\text{Nul}}\) \(\newcommand{\var}{\text{Var}}\) \(\newcommand{\corr}{\text{corr}}\) \(\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}\) \(\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}\) \(\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}\) \(\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}\) \(\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}\) \(\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}\) \(\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}\) \(\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}\) \(\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}\) \(\newcommand{\lt}{<}\) \(\newcommand{\gt}{>}\) \(\newcommand{\amp}{&}\) \(\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}\)Las ecuaciones diferenciales parciales ocurren en muchas áreas diferentes de la física, química e ingeniería. Permítanme dar algunos ejemplos, con su contexto físico. Aquí, como es práctica común, escribiré\({\nabla}^2\) para denotar la suma
\[{\nabla}^2 = \dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}+\ldots \nonumber \]
- La ecuación de onda:\[{\nabla}^2 u= \dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2} \nonumber \] Esta puede ser utilizada para describir el movimiento de una cuerda o de tambor (\(u\)es desplazamiento vertical), así como una variedad de otras ondas (sonido, luz,...). La cantidad\(c\) es la velocidad de propagación de la onda.
- La ecuación de calor o difusión,\[ {\nabla}^2 u= \dfrac{1}{k} \dfrac{\partial u}{\partial t} \nonumber \] Esta puede ser utilizada para describir el cambio de temperatura (\(u\)) en un sistema de conducción de calor, o la difusión de una sustancia en otra (\(u\)es la concentración). La cantidad\(k\), a veces reemplazada por\(a^2\), es la constante de difusión, o la capacidad calorífica. Observe la naturaleza irreversible: Si\(t→ −t\) la ecuación de onda se convierte en sí misma, pero no en la ecuación de difusión.
- Ecuación de Laplace:\[{\nabla}^2 u= 0 \nonumber \]
- Ecuación de Helmholtz:\[{\nabla}^2 u + \lambda u = 0 \nonumber \] Esto ocurre para las ondas en las guías de ondas, cuando se buscan modos propios (resonancias).
- La ecuación de Poisson:\[{\nabla}^2 u = f( x, y, \ldots) \nonumber \] La ecuación para el campo gravitacional dentro de un cuerpo gravitacional, o el campo eléctrico dentro de una esfera cargada.
- Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo:\[{\nabla}^2 u= \dfrac{2 m}{\hbar^2}[ E− V( x, y,\ldots)] u= 0 \nonumber \]\(| u|^2\) tiene una interpretación de probabilidad.
- Ecuación de Klein-Gordon Partículas cuánticas\[{\nabla}^2 u − \dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2}+\lambda^2 u= 0 \nonumber \] relativistas,\(|u|^2\) tiene una interpretación de probabilidad.
Todas estas son ecuaciones diferenciales de segundo orden. (Recuerde que el orden se define como la derivada más alta que aparece en la ecuación).