2.3: Más de 2D

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En más de dos dimensiones utilizamos una definición similar, basada en el hecho de que todos los valores propios de la matriz de coeficientes tienen el mismo signo (para una ecuación elíptica), tienen signos diferentes (hiperbólicos) o uno de ellos es cero (parabólico). Esto tiene que ver con el comportamiento a lo largo de las características, como se discute a continuación.

Permítanme dar un ejemplo un poco más complejo

\[x^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + y^2\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + z^2\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}+2 xy\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}+2 xz\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial z}+2 yz\frac{\partial^2 u}{\partial y \partial z}=0. \nonumber \]

La matriz asociada a esta ecuación es\[\left(\begin{array}{lll} x^2 & xy & xz \\ xy & y^2 & yz \\ xz & yz & z^2 \end{array}\right) \nonumber \]

Si evaluamos su polinomio característico encontramos que es\[\lambda^2 (x^2-y^2+z^2-\lambda)=0. \nonumber \] Dado que esto tiene siempre (para todos\(x,y,z\)) dos valores propios cero esta es una ecuación diferencial parabólica.

Características y Clasificación

Un punto clave para clasificar las ecuaciones de esta manera no es que nos gusten tanto las secciones cónicas, sino que las ecuaciones se comporten de maneras muy diferentes si miramos los tres casos diferentes. Elija el caso representativo más simple para cada clase y mire las líneas de propagación.