1.5: Problemas

1. Encuentra todas las soluciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden. Cuando se da una condición inicial, encuentra la solución particular que satisface esa condición.
   1. \(\dfrac{d y}{d x}=\dfrac{e^{x}}{2 y}\)
   2. \(\dfrac{d y}{d t}=y^{2}\left(1+t^{2}\right), y(0)=1\).
   3. \(\dfrac{d y}{d x}=\dfrac{\sqrt{1-y^{2}}}{x}\).
   4. \(x y^{\prime}=y(1-2 y), \quad y(1)=2\).
   5. \(y^{\prime}-(\sin x) y=\sin x\).
   6. \(x y^{\prime}-2 y=x^{2}, y(1)=1\).
   7. \(\dfrac{d s}{d t}+2 s=s t^{2}, \quad, s(0)=1\).
   8. \(x^{\prime}-2 x=t e^{2 t}\).
   9. \(\dfrac{d y}{d x}+y=\sin x, y(0)=0\).
   10. \(\dfrac{d y}{d x}-\dfrac{3}{x} y=x^{3}, y(1)=4\).
2. Para lo siguiente determinar si la ecuación diferencial es exacta. Si no es exacto, encuentra el factor integrador. Integrar las ecuaciones para obtener soluciones.
   1. \(\left(3 x^{2}+6 x y^{2}\right) d x+\left(6 x^{2} y+4 y^{3}\right) d y=0\)
   2. \(\left(x+y^{2}\right) d x-2 x y d y=0\).
   3. \((\sin x y+x y \cos x y) d x+x^{2} \cos x y d y=0\).
   4. \(\left(x^{2}+y\right) d x-x d y=0\).
   5. \(\left(2 x y^{2}-3 y^{3}\right) d x+\left(7-3 x y^{2}\right) d y=0\).
3. Considerar la ecuación diferencial

\(\dfrac{d y}{d x}=\dfrac{x}{y}-\dfrac{x}{1+y}\)

5. Encuentre la familia de soluciones de parámetros I (solución general) de esta ecuación.
6. Encontrar la solución de esta ecuación satisfaciendo la condición inicial\(y(0)=1\). ¿Es este miembro de la familia i-parameter?

4. Se lanza una pelota hacia arriba con una velocidad inicial de\(49 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\) desde\(539 \mathrm{~m}\) alta. ¿Qué tan alto llega la pelota y cuánto tiempo tarda en llegar a golpear el suelo? [Utilizar los resultados del simple problema de caída libre,\(\left.y^{\prime \prime}=-g .\right]\)
5. Considerar el caso de caída libre con una fuerza de amortiguación proporcional a la velocidad,\(f_{D}=\pm k v\) con\(k=0.1 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}\).
   1. Usando el letrero correcto, considere una\(50 \mathrm{~kg}\) masa que cae del descanso a una altura de la habitación. Encuentra la velocidad en función del tiempo. ¿La masa alcanza la velocidad terminal?
   2. Que la masa sea arrojada hacia arriba desde el suelo con una velocidad inicial de\(50 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\). Encuentra la velocidad en función del tiempo a medida que viaja hacia arriba y luego cae al suelo. ¿A qué altura llega la masa? ¿Cuál es su velocidad cuando vuelve al suelo?
6. Un trozo de un satélite cae al suelo desde una altura de\(10,000 \mathrm{~m}\). Ignorando la resistencia del aire, encuentra la altura en función del tiempo. [Pista: Para caída libre desde grandes distancias.

\(\ddot{h}=-\dfrac{G M}{(R+h)^{2}}\)

Multiplicando ambos lados por\(\dot{h}\), muestran que

\(\dfrac{d}{d t}\left(\dfrac{1}{2} \dot{h}^{2}\right)=\dfrac{d}{d t}\left(\dfrac{G M}{R+h}\right)\)

Integrar y resolver para\(\dot{h}\). Además, la integración da\(h(t).]\)

7. El problema de crecimiento y decaimiento se plantea de la siguiente manera: La tasa de cambio de una cantidad es proporcional a la cantidad. La ecuación diferencial para tal problema es

\(\dfrac{d y}{d t}=\pm k y\)

La solución de este problema de crecimiento y decaimiento es\(y(t)=y_{0} e^{\pm k t}\). Utilice esta solución para responder las siguientes preguntas si el cuarenta por ciento de una sustancia radiactiva desaparece en 100 años.

1. ¿Cuál es la vida media de la sustancia?
2. ¿Después de cuántos años\(90 \%\) se habrán ido?

8. El uranio 237 tiene una vida media de\(6.78\) días. Si ahora hay\(10.0\) gramos de U-237, entonces ¿cuánto quedará después de dos semanas?
9. Las células de un cultivo de bacterias en particular se dividen cada tres horas y media. Si inicialmente hay 250 celdas, ¿cuántas habrá después de diez horas?
10. La población de una ciudad se ha duplicado en 25 años. ¿Cuántos años tomará para que la población se triplique?
11. Identificar el tipo de ecuación diferencial. Encuentra la solución general y traza varias soluciones particulares. Además, encuentra la solución singular si existe.
    1. \(y=x y^{\prime}+\dfrac{1}{y^{\prime}}\).
    2. \(y=2 x y^{\prime}+\ln y^{\prime}\).
    3. \(y^{\prime}+2 x y=2 x y^{2}\).
    4. \(y^{\prime}+2 x y=y^{2} e^{x^{2}}\).
12. Encontrar la solución general de la ecuación de Riccati dada la solución particular (\(F(x, y)\)Se dice que una función es homogénea de grado\(k\) si\(F(t x, t y)=t^{k} F(x, y)\).)
    1. \(x y^{\prime}-y^{2}+(2 x+1) y=x^{2}+2 x, y_{1}(x)=x\).
    2. \(y^{\prime} e^{-x}+y^{2}-2 y e^{x}=1-e^{2 x}, y_{1}(x)=e^{x}\).
13. El problema del valor inicial

\(\dfrac{d y}{d x}=\dfrac{y^{2}+x y}{x^{2}}, \quad y(1)=1\)

no cae dentro de la clase de problemas considerados en este capítulo. La función del lado derecho es una función homogénea de grado cero. Sin embargo, si se sustituye\(y(x)=x z(x)\) en la ecuación diferencial, se obtiene una ecuación para la\(z(x)\) cual se puede resolver. Utilice esta sustitución para resolver el problema de valor inicial para\(y(x)\).

14. Si\(M(x, y)\) y\(N(x, y)\) son funciones homogéneas del mismo grado, entonces se\(M / N\) pueden escribir en función de\(y / x\). Esto sugiere que una sustitución de\(y(x)=x z(x)\) into\(M(x, y) d x+N(x, y) d y\) podría simplificar la ecuación. Para los siguientes problemas utiliza este método para encontrar la familia de soluciones.
    1. \(\left(x^{2}-x y+y^{2}\right) d x-x y d y=0\)
    2. \(x y d x-\left(x^{2}+y^{2}\right) d y=0\).
    3. \(\left(x^{2}+2 x y-4 y^{2}\right) d x-\left(x^{2}-8 x y-4 y^{2}\right) d y=0\).
15. Encuentra la familia de curvas ortogonales a la familia de curvas dada.
    1. \(y=a x\)
    2. \(y=a x^{2}\).
    3. \(x^{2}+y^{2}=2 a x\).
16. La temperatura dentro de tu casa es\(70^{\circ} \mathrm{F}\) y está\(30^{\circ} \mathrm{F}\) afuera. A las\(1:\) oo A.M. el horno se descompone. A las 3:00 A.M. la temperatura en la casa ha bajado a\(50^{\circ} \mathrm{F}\). Suponiendo que la temperatura exterior es constante y que se aplique la Ley de Enfriamiento de Newton, determine cuándo alcanza la temperatura dentro de su casa\(40^{\circ} \mathrm{F}\).
17. Se descubre un cuerpo durante una investigación de asesinato a las 8:oo P.M. y la temperatura del cuerpo es\(70^{\circ} \mathrm{F}\). Dos horas después la temperatura corporal ha bajado a\(60^{\circ} \mathrm{F}\) en una habitación que se encuentra en\(50^{\circ} \mathrm{F}\). Suponiendo que aplique la Ley de Enfriamiento de Newton y que la temperatura corporal de la persona estuviera\(98.6^{\circ} \mathrm{F}\) en el momento de la muerte, determinar cuándo ocurrió el asesinato.
18. La Ley de Enfriamiento de Newton establece que la tasa de pérdida de calor de un objeto es proporcional al gradiente de temperatura, o

\(\dfrac{d Q}{d t}=h A \Delta T\)

donde\(Q\) está la energía térmica,\(h\) es el coeficiente de transferencia de calor,\(A\) es el área superficial del cuerpo, y\(\Delta T=T-T_{a}\). Si\(Q=C T\), donde\(C\) esta la capacidad calorífica, entonces recuperamos Ecuación\(1.3.7\) con\(k=h A / C\).

Sin embargo, hay modificaciones que incluyen convección o radiación. Resuelve los siguientes modelos y compara los comportamientos de la solución.

1. Newton\(T^{\prime}=-k\left(T-T_{a}\right)\)
2. Dulong-Petit\(T^{\prime}=-k\left(T-T_{a}\right)^{5 / 4}\)
3. Newton-Stefan\(T^{\prime}=-k\left(T-T_{a}\right)-\epsilon \sigma\left(T^{4}-T_{a}^{4}\right) \approx-k\left(T-T_{a}\right)-\)\(b\left(T-T_{a}\right)^{2}\).

19. Inicialmente un tanque de 200 galones se llena con agua pura. En el momento se agrega\(t=0\) una concentración de sal con 3 libras de sal por galón al recipiente a razón de 4 galones por minuto, y la mezcla bien agitada se drena del recipiente a la misma velocidad.
    1. Encuentra el número de libras de sal en el recipiente en función del tiempo.
    2. ¿Cuántos minutos tarda la concentración en llegar a 2 libras por galón?
    3. ¿A qué se aproxima la concentración en el contenedor para grandes valores de tiempo? ¿Esto concuerda con tu intuición?
    4. Suponiendo que el tanque contiene mucho más de 200 galones, y todo es igual excepto que la mezcla se drena a 3 galones por minuto, ¿en qué se convertirían las respuestas a las partes a y b?
20. Haces dos galones de chile para una fiesta. En la receta se necesitan dos cucharaditas de salsa picante por galón, pero accidentalmente habías puesto dos cucharadas por galón. De todas formas decides alimentar a tus invitados con el chile. Supongamos que los invitados toman i taza/min de chile y reemplazas lo que se tomó con frijoles y tomates sin ninguna salsa picante. [\(=16\)tazas de 1 gal y\(1 \mathrm{~Tb}=3\) cucharadita.]
    1. Anote la ecuación diferencial y la condición inicial para la cantidad de salsa picante en función del tiempo en este problema de tipo mezcla.
    2. Resolver este problema de valor inicial.
    3. ¿Cuánto tiempo tardará en devolver el chile a la concentración sugerida por la receta?