5.7: Problemas

Problemas

1. Encuentra la transformación de Laplace de las siguientes funciones:

1. \(f(t)=9 t^{2}-7\)
2. \(f(t)=e^{5 t-3}\).
3. \(f(t)=\cos 7 t\).
4. \(f(t)=e^{4 t} \sin 2 t\).
5. \(f(t)=e^{2 t}(t+\cosh t)\).
6. \(f(t)=t^{2} H(t-1)\).
7. \(f(t)=\left\{\begin{array}{cl}\sin t, & t<4 \pi, \\ \sin t+\cos t, & t>4 \pi .\end{array}\right.\)
8. \(f(t)=\int_{0}^{t}(t-u)^{2} \sin u d u\).
9. \(f(t)=\int_{0}^{t} \cosh u d u\).
10. \(f(t)=(t+5)^{2}+t e^{2 t} \cos 3 t\)y escribe la respuesta en la forma más simple.

2. Encuentra la transformada inversa de Laplace de las siguientes funciones usando las propiedades de las transformaciones de Laplace y la tabla de pares de transformaciones de Laplace.

1. \(F(s)=\dfrac{18}{s^{3}}+\dfrac{7}{s}\)
2. \(F(s)=\dfrac{1}{s-5}-\dfrac{2}{s^{2}+4}\).
3. \(F(s)=\dfrac{s+1}{s^{2}+1}\).
4. \(F(s)=\dfrac{3}{s^{2}+2 s+2}\).
5. \(F(s)=\dfrac{1}{(s-1)^{2}}\).
6. \(F(s)=\dfrac{e^{-3 s}}{s^{2}-1}\)
7. \(F(s)=\dfrac{1}{s^{2}+4 s-5}\)
8. \(F(s)=\dfrac{s+3}{s^{2}+8 s+17}\).

3. Utilice las transformaciones de Laplace para resolver los siguientes problemas de valor inicial. Cuando sea posible, describir el comportamiento de la solución en términos de oscilación y decaimiento.
   1. \(y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+6 y=0, y(0)=2, y^{\prime}(0)=0\)
   2. \(y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+5 y=0, y(0)=1, y^{\prime}(0)=0\).
   3. \(y^{\prime \prime}-y=t e^{2 t}, y(0)=0, y^{\prime}(0)=1\).
   4. \(y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}-4 y=t^{2}, y(0)=2, y^{\prime}(0)=1\).
   5. \(y^{\prime \prime \prime}-3 y^{\prime}-2 y=e^{t}, y(0)=1, y^{\prime}(0)=0\).
4. Utilice las transformaciones de Laplace para resolver los siguientes problemas de valor inicial. Cuando sea posible, describir el comportamiento de la solución en términos de oscilación y decaimiento.
   1. \(y^{\prime \prime}+4 y=\delta(t-1), y(0)=3, y^{\prime}(0)=0\)

   2. \(y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+13 y=\delta(t-1), y(0)=0, y^{\prime}(0)=2\).
      

   3. \(y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}+18 y=2 H(\pi-t), y(0)=0, y^{\prime}(0)=0\).
   4. \(y^{\prime \prime}+4 y=f(t), y(0)=1, y^{\prime}(0)=0\), donde\(f(t)=\left\{\begin{array}{cc}1, & 0<t<1 \\ 0, & t>1\end{array}\right.\)
5. Para los siguientes problemas, dibuje la función dada y encuentre la transformada de Laplace en forma cerrada.
   1. \(f(t)=1+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} H(t-n)\).
   2. \(f(t)=\sum_{n=0}^{\infty}[H(t-2 n+1)-H(t-2 n)]\).
   3. \[\begin{aligned} f(t)=& \sum_{n=0}^{\infty}(t-2 n)[H(t-2 n)-H(t-2 n-1)] \\ &+\sum_{n=0}^{\infty}(2 n+2-t)[H(t-2 n-1)-H(t-2 n-2)] \end{aligned} \nonumber \]

6. Se da el periodo\(T\),, y la función definida en su primer periodo. Esbozar varios periodos de estas funciones periódicas. Hacer uso de la periodicidad para encontrar la transformada de Laplace de cada función.
   1. \(f(t)=\sin t, T=2 \pi\).
   2. \(f(t)=t, T=1\).
   3. \(f(t)=\left\{\begin{array}{cl}t, & 0 \leq t \leq 1, \\ 2-t, & 1 \leq t \leq 2,\end{array} T=2\right.\).
   4. \(f(t)=t[H(t)-H(t-1)], T=2\).
   5. \(f(t)=\sin t[H(t)-H(t-\pi)], T=\pi\).
7. Calentar la convolución\((f * g)(t)\) (en el sentido de transformación de Laplace) y su correspondiente transformación de Laplace\(\mathcal{L}[f * g]\) para las siguientes funciones:
   1. \(f(t)=t^{2}, g(t)=t^{3}\)
   2. \(f(t)=t^{2}, g(t)=\cos 2 t\).
   3. \(f(t)=3 t^{2}-2 t+1, g(t)=e^{-3 t}\).
   4. \(f(t)=\delta\left(t-\dfrac{\pi}{4}\right), g(t)=\sin 5 t\).
8. Utilice el Teorema de Convolución para calcular la transformación inversa de lo siguiente:
   1. \(F(s)=\dfrac{2}{s^{2}\left(s^{2}+1\right)}\).
   2. \(F(s)=\dfrac{e^{-3 s}}{s^{2}}\).
   3. \(F(s)=\dfrac{1}{s\left(s^{2}+2 s+5\right)}\).
9. Encuentra la transformada inversa de Laplace de dos maneras diferentes: (i) Usar tablas. (ii) Utilizar el Teorema de Convolución.
   1. \(F(s)=\dfrac{1}{s^{3}(s+4)^{2}}\).
   2. \(F(s)=\dfrac{1}{s^{2}-4 s-5}\).
   3. \(F(s)=\dfrac{s+3}{s^{2}+8 s+17}\).
   4. \(F(s)=\dfrac{s+1}{(s-2)^{2}(s+4)}\).
   5. \(F(s)=\dfrac{s^{2}+8 s-3}{\left(s^{2}+2 s+1\right)\left(s^{2}+1\right)}\).
10. Una ecuación integral lineal de Volterra, introducida por Vito Volterra (\(1860-\)\(1940)\), es de la forma

\[y(t)=f(t)+\int_{0}^{t} K(t-\tau) y(\tau) d \tau\nonumber \]

donde\(y(t)\) es una función desconocida y\(f(t)\) y el “kernel”\(K(t)\), se les dan funciones. La integral está en forma de integral de convolución y tales ecuaciones se pueden resolver usando transformaciones de Laplace. Resuelve las siguientes ecuaciones integrales de Volterra.

1. \(y(t)=e^{-t}+\int_{0}^{t} \cos (t-\tau) y(\tau) d \tau\)
2. \(y(t)=t-\int_{0}^{t}(t-\tau) y(\tau) d \tau\).
3. \(y(t)=t+2 \int_{0}^{t} e^{t-\tau} y(\tau) d \tau\).
4. \(\sin t=\int_{0}^{t} e^{t-\tau} y(\tau) d \tau\). Nota: Esta es una ecuación integral de Volterra de primer tipo.

11. Utilice las transformaciones de Laplace para convertir el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales en un sistema algebraico y encontrar la solución de las ecuaciones diferenciales.

\[\begin{array}{llll} x^{\prime \prime} & =3 x-6 y, & x(0) & =1, & x^{\prime}(0) & =0 \\ y^{\prime \prime} & =x+y, & y & (0)=0, & y^{\prime}(0) & =0 \end{array} \nonumber \]

12. Utilice las transformaciones de Laplace para convertir los siguientes sistemas no homogéneos de ecuaciones diferenciales en un sistema algebraico y encontrar las soluciones de las ecuaciones diferenciales.
    1. \[\begin{aligned} &x^{\prime}=2 x+3 y+2 \sin 2 t, \quad x(0)=1 \\ &y^{\prime}=-3 x+2 y, \quad y(0)=0 \end{aligned} \nonumber \]

    2. \[\begin{aligned} &x^{\prime}=-4 x-y+e^{-t}, \quad x(0)=2 \\ &y^{\prime}=x-2 y+2 e^{-3 t}, \quad y(0)=-1 \end{aligned} \nonumber \]

    3. \[\begin{aligned} &x^{\prime}=x-y+2 \cos t, \quad x(0)=3 \\ &y^{\prime}=x+y-3 \sin t, \quad y(0)=2 \end{aligned} \nonumber \]

13. Rehacer Ejemplo\(5.19\) usando los valores\(R_{1}=1.00 \Omega, R_{2}=1.40 \Omega, L_{1}=0.80\)\(\mathrm{H}, L_{2}=1.00 \mathrm{H}\). y\(v_{0}=100 \mathrm{~V}\) en\(v(t)=v_{0}\left(1-H\left(t-t_{0}\right)\right)\). Trazar las corrientes en función del tiempo para varios valores de\(t_{0}\).