7.3: Ecuaciones Autónomas de Primer Orden
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En esta sección estudiaremos la estabilidad de las ecuaciones autónomas no lineales de primer orden. Luego ampliaremos este estudio en la siguiente sección para observar familias de ecuaciones de primer orden que están conectadas a través de un parámetro.
Recordemos que se da una ecuación autónoma de primer orden en la forma
\[\dfrac{d y}{d t}=f(y) \label{7.8} \]
Asumiremos que\(f\) y\(\dfrac{\partial f}{\partial y}\) son funciones continuas de\(y\), para que sepamos que existen soluciones de problemas de valor inicial y son únicas.
Una solución\(y(t)\) de Ecuación\ ref {7.8} se llama solución de equilibrio, o solución de punto fijo, si es una solución constante satisfactoria\(y^{\prime}(t)=0\). Tales soluciones son las raíces del lado derecho de la ecuación diferencial,\(f(y)=0\).
Encuentra las soluciones de equilibrio de\(y^{\prime}=1-y^{2}\).
Solución
Las soluciones de equilibrio son las raíces de\(f(y)=1-y^{2}=0\). Se encuentra que los equilibrios son\(y=\pm 1\).
Una vez que hayamos determinado las soluciones de equilibrio, nos gustaría clasificarlas. ¿Son estables o inestables? Como habíamos visto anteriormente, nos interesa el comportamiento de las soluciones cercanas a los equilibrios. Esta clasificación se puede determinar usando una linealización de la ecuación dada. Esto proporcionará un criterio analítico para establecer la estabilidad de las soluciones de equilibrio sin trazar geométricamente las líneas de fase como habíamos hecho anteriormente.
Dejar\(y^{*}\) ser una solución de equilibrio de la Ecuación\ ref {7.8}. Entonces, cualquier solución se puede escribir en el formulario
\[y(t)=y^{*}+\xi(t) \label{Lin}\]
donde\(\xi(t)\) mide qué tan lejos está la solución del equilibrio en un momento dado.
Insertando la ecuación\ ref {Lin} forma en la ecuación\ ref {7.8}, tenemos
\[\dfrac{d \xi}{d t}=f\left(y^{*}+\xi\right) \nonumber \]
Ahora consideramos pequeños\(\xi(t)\) para estudiar soluciones cercanas a la solución de equilibrio. Para tales soluciones, podemos ampliar\(f(y)\) sobre la solución de equilibrio,
\[f\left(y^{*}+\tilde{\xi}\right)=f\left(y^{*}\right)+f^{\prime}\left(y^{*}\right) \xi+\dfrac{1}{2 !} f^{\prime \prime}\left(y^{*}\right) \xi^{2}+\cdots\nonumber \]
Dado que\(y^{*}\) es una solución de equilibrio\(f\left(y^{*}\right)=0\),, el primer término de la serie Taylor desaparece. Si la primera derivada no desaparece, entonces para soluciones cercanas al equilibrio, podemos descuidar términos de orden superior en la expansión. Entonces,\(\xi(t)\) aproximadamente satisface la ecuación diferencial
\[\dfrac{d \xi}{d t}=f^{\prime}\left(y^{*}\right) \xi \label{7.9} \]
Esto se llama linealización de la ecuación no lineal original sobre el punto de equilibrio. Esta ecuación tiene soluciones exponenciales para\(f^{\prime}\left(y^{*}\right) \neq 0\),
\[\xi(t)=\xi_{0} e^{f^{\prime}\left(y^{*}\right) t}.\nonumber \]
Ahora vemos cómo surgen los criterios de estabilidad. Si\(f^{\prime}\left(y^{*}\right)>0, \xi(t)\) crece en el tiempo. Por lo tanto, las soluciones cercanas se alejan de la solución de equilibrio durante grandes tiempos. Por otro lado, si\(f^{\prime}\left(y^{*}\right)<0, \xi(t)\) decae en el tiempo y las soluciones cercanas se acercan a la solución de equilibrio para grandes\(t\). Así, tenemos los resultados:
\[ \begin{aligned} & \begin{aligned}&f^{\prime}\left(y^{*}\right)<0, \quad y^{*} \text { is stable. } \\&f^{\prime}\left(y^{*}\right)>0, \quad y^{*} \text { is unstable. }\end{aligned} \end{aligned}\label{7.10} \]
Los criterios de estabilidad para soluciones de equilibrio de una ecuación diferencial de primer orden.
Determinar la estabilidad de las soluciones de equilibrio de\(y^{\prime}=1-y^{2}\).
En el último ejemplo encontramos las soluciones de equilibrio,\(y^{*}=\pm 1 .\) Los criterios de estabilidad requieren computación
\[f^{\prime}\left(y^{*}\right)=-2 y^{*}\nonumber \]
Para este problema tenemos\(f^{\prime}(\pm 1)=\mp 2\). Por lo tanto,\(y^{*}=1\) es un equilibrio estable y\(y^{*}=-1\) es un equilibrio inestable.
Encontrar y clasificar los equilibrios para la ecuación logística\(y^{\prime}=y-y^{2} .\)
Solución
Ya habíamos investigado este problema usando líneas de fase. Hay dos equilibrios,\(y=0\) y\(y=1\).
A continuación aplicamos los criterios de estabilidad. Señalando que\(f^{\prime}(y)=1-2 y\), la primera solución de equilibrio da\(f^{\prime}(0)=1 .\) So,\(y=0\) es un equilibrio inestable. Ya que\(f^{\prime}(1)=-1<0\), vemos que\(y=1\) es un equilibrio estable. Estos resultados son los mismos que hemos determinado anteriormente usando líneas de fase.