7.11: Problemas

1. Resolver el problema logístico general,

\[\dfrac{d y}{d t}=k y-c y^{2}, \quad y(0)=y_{0} \nonumber \]

utilizando la separación de variables.

2. Encuentre las soluciones de equilibrio y determine su estabilidad para los siguientes sistemas. Para cada caso dibuje soluciones representativas y líneas de fase.
   a.\(y^{\prime}=y^{2}-6 y-16\)
   b\(y^{\prime}=\cos y\).
   \(y^{\prime}=y(y-2)(y+3)\)c.
   d\(y^{\prime}=y^{2}(y+1)(y-4)\).

3. Para\(y^{\prime}=y-y^{2}\), encuentre la solución general correspondiente a\(y(0)=y_{0} .\) Proporcionar soluciones específicas para las siguientes condiciones iniciales y esbozarlas: a.\(y(0)=0.25\)\(y(0)=1.5\), b., y c.\(y(0)=-0.5\)

4. Para cada problema determinar puntos de equilibrio, puntos de bifurcación y construir un diagrama de bifurcación. Discutir los diferentes comportamientos en cada sistema.
   a.\(y^{\prime}=y-\mu y^{2}\)
   b.\(y^{\prime}=y(\mu-y)(\mu-2 y)\)
   c.\(x^{\prime}=\mu-x^{3}\)
   d.\(x^{\prime}=x-\dfrac{\mu x}{1+x^{2}}\)

5. Considera la familia de ecuaciones diferenciales\(x^{\prime}=x^{3}+\delta x^{2}-\mu x\).
   a. Esboce un diagrama de bifurcación en el\(x \mu\) plano -para\(\delta=0\).
   b. Esbozar un diagrama de bifurcación en el\(x \mu\) plano -para\(\delta>0\).

Pista: Elija algunos valores de\(\delta\) y\(\mu\) para tener una idea de cómo se comporta este sistema.

6. El sistema se\(7.52\) puede resolver exactamente. Integrar la\(r\) ecuación mediante la separación de variables. Para las condiciones iniciales a)\(r(0)=0.25, \theta(0)=0\) y b)\(r(0)=1.5, \theta(0)=0\), y\(\mu=1.0\), encontrar y trazar las soluciones en el\(x y\) plano -mostrando la aproximación a un ciclo límite.
7. Considerar el sistema

\[\begin{aligned} x^{\prime} &=-y+x\left[\mu-x^{2}-y^{2}\right] \\ y^{\prime} &=x+y\left[\mu-x^{2}-y^{2}\right] \end{aligned} \nonumber \]

Reescribir este sistema en forma polar. Observa el comportamiento de la\(r\) ecuación y construye un diagrama de bifurcación en el\(\mu r\) espacio. ¿Cómo podría ser este diagrama en el\(\mu x y\) espacio tridimensional? (Piensa en la simetría en este problema.) Esto lleva a lo que se llama una bifurcación Hopf.

8. Encuentra los puntos fijos de los siguientes sistemas. Linealizar el sistema alrededor de cada punto fijo y determinar la naturaleza y estabilidad en la vecindad de cada punto fijo, cuando sea posible. Verifique sus hallazgos trazando retratos de fase usando una computadora.
   1. \[\begin{aligned} x^{\prime} &=x(100-x-2 y) \\ y^{\prime} &=y(150-x-6 y) \end{aligned} \nonumber \]

   2. \[\begin{aligned} &x^{\prime}=x+x^{3} \\ &y^{\prime}=y+y^{3} \end{aligned} \nonumber \]

   3. \[\begin{aligned} &x^{\prime}=x-x^{2}+x y \\ &y^{\prime}=2 y-x y-6 y^{2} \end{aligned} \nonumber \]

   4. \[\begin{aligned} &x^{\prime}=-2 x y, \\ &y^{\prime}=-x+y+x y-y^{3} . \end{aligned} \nonumber \]

9. Trazar retratos de fase para el sistema Lienard

\[\begin{aligned} &x^{\prime}=y-\mu\left(x^{3}-x\right) \\ &y^{\prime}=-x . \end{aligned} \nonumber \]

por un valor pequeño y no tan pequeño de\(\mu\). Describir lo que sucede a medida que uno varía\(\mu\).

10. Considera el periodo de un péndulo no lineal. Deja que la longitud sea\(L=1.0\)\(\mathrm{m}\) y\(g=9.8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\). Esbozar\(T\) vs el ángulo inicial\(\theta_{0}\) y comparar los valores lineales y no lineales para el periodo. ¿Para qué ángulos puedes usar la aproximación lineal con confianza?
11. Otro modelo poblacional es aquel en el que las especies compiten por recursos, como un suministro limitado de alimentos. Tal modelo viene dado por

\[\begin{aligned} &x^{\prime}=a x-b x^{2}-c x y, \\ &y^{\prime}=d y-e y^{2}-f x y . \end{aligned} \nonumber \]

En este caso, supongamos que todas las constantes son positivas.

1. Describir los efectos/propósito de cada término.
2. Encuentra los puntos fijos del modelo.
3. Linealizar el sistema alrededor de cada punto fijo y determinar la estabilidad.
4. De lo anterior, describa los tipos de comportamiento de solución que podría esperar, en términos del modelo.

12. Considerar un modelo de cadena alimentaria de tres especies. Supongamos que cada población por sí sola puede ser modelada por el crecimiento logístico. Que la especie sea etiquetada por\(x(t), y(t)\), y\(z(t)\). Supongamos que la población\(x\) se encuentra en la parte inferior de la cadena. Esa población se agotará por población\(y\). \(y\)La población es sostenida por\(x^{\prime}\) s, pero consumida por\(z^{\prime}\) s. Un modelo simple, pero escalado, para este sistema puede ser dado por el sistema

\[\begin{aligned} &x^{\prime}=x(1-x)-x y \\ &y^{\prime}=y(1-y)+x y-y z \\ &z^{\prime}=z(1-z)+y z . \end{aligned} \nonumber \]

1. Encuentra los puntos de equilibrio del sistema.
2. Encontrar la matriz jacobiana para el sistema y evaluarla en los puntos de equilibrio.
3. Encuentra los valores propios y los vectores propios.
4. Describir el comportamiento de la solución cerca de cada punto de equilibrio.
5. Cuáles de estos equilibrios son importantes en el estudio del modelo de pop- ulación y describen las interacciones de las especies en la vecindad de estos puntos.

13. Derivar la primera integral del sistema Lotka-Volterra,\(a \ln y+d \ln x-\)\(c x-b y=C\).
14. Demostrar que el sistema\(x^{\prime}=x-y-x^{3}, y^{\prime}=x+y-y^{3}\), tiene un ciclo límite único escogiendo un apropiado\(\psi(x, y)\) en Criterios de Dulac.
15. El modelo Lorenz es un modelo simple para convección atmosférica desarrollado por Edward Lorenz en\(1963 .\) El sistema viene dado por las tres ecuaciones

\[ \begin{aligned} &\dfrac{d x}{d t}=\sigma(y-x) \\ &\dfrac{d y}{d t}=x(\rho-z)-y \\ &\dfrac{d z}{d t}=x y-\beta z \end{aligned} \label{ \]

1. Encuentra los puntos de equilibrio del sistema.
2. Encontrar la matriz jacobiana para el sistema y evaluarla en los puntos de equilibrio.
3. Determine cualquier punto de bifurcación y describa lo que sucede cerca del punto (s) de bifurcación. \(\sigma=10, \beta=8 / 3\)Considerar y variar\(\rho\).
4. Se sabe que este sistema exhibe un comportamiento caótico. Lorenz encontró un llamado atractor extraño para los valores de los parámetros\(\sigma=10, \beta=8 / 3\), y\(\rho=28 .\) Usando una computadora, localice este extraño atractor.

16. La reacción cinética de Michaelis-Menten viene dada por

\[E+S \stackrel{k_{3}}{k_{1}} \longrightarrow E S \underset{k_{2}}{\longrightarrow} E+P \nonumber \]

El sistema resultante de ecuaciones para las concentraciones químicas es

\[ \begin{aligned} \dfrac{d[S]}{d t} &=-k_{1}[E][S]+k_{3}[E S] \\ \dfrac{d[E]}{d t} &=-k_{1}[E][S]+\left(k_{2}+k_{2}\right)[E S] \\ \dfrac{d[E S]}{d t} &=k_{1}[E][S]-\left(k_{2}+k_{2}\right)[E S] \\ \dfrac{d[P]}{d t} &=k_{3}[E S] \end{aligned} \label{7.95} \]

En cinética química se busca determinar la tasa de formación del producto\(\left(v=d[P] / d t=k_{3}[E S]\right)\). Suponiendo que\([E S]\) es una constante, encontrar\(v\) en función de\([S]\) y la concentración total de enzimas\(\left[E_{T}\right]=[E]+[E S] .\) Como un sistema dinámico no lineal, ¿cuáles son los puntos de equilibrio?

17. En Ecuación\((6.58)\) vimos una versión lineal de un modelo epidémico. El modelo SIR no lineal de uso común viene dado por

    \[ \begin{aligned} \dfrac{d S}{d t} &=-\beta S I \\ \dfrac{d I}{d t} &=\beta S I-\gamma I \\ \dfrac{d R}{d t} &=\gamma I \end{aligned}\label{7.96} \]

    donde\(S\) está el número de individuos susceptibles,\(I\) es el número de individuos infectados, y\(R\) son los que han sido removidos de los otros grupos, ya sea por recuperación o muerte.

    1. \(N=S+I+R\)Sea la población total. Demostrar esa\(N=\) constante. Así, sólo hay que resolver las dos primeras ecuaciones y encontrar\(R=N-S-I\) después.
    2. Encontrar y clasificar los equilibrios. Describir los equilibrios en términos del comportamiento poblacional.
    3. Dejar\(\beta=0.05\) y\(\gamma=0.2\). Supongamos que en una población de 100 hay una persona infectada. Resolver numéricamente el sistema de ecuaciones para\(S(t)\)\(I(t)\) y describir la solución cuidando de determinar las unidades de población y las constantes.
    4. ¿Cómo afecta esto a cualquier solución de equilibrio?
    5. Nuevamente, vamos\(\beta=0.05\) y\(\gamma=0.2\). Dejar\(\mu=0.1\) Para una población de 100 con una persona infectada resolver numéricamente el sistema de ecuaciones para\(S(t)\)\(I(t)\) y describir la solución teniendo cuidado de determinar las unidades de población y las constantes.
18. Una ecuación de Duffing sin amortiguar y no forzada\(\ddot{x}+\omega^{2} x+\epsilon x^{3}=0\), se puede resolver exactamente en términos de funciones elípticas. Utilizando los resultados del Ejercicio 7.10.1, determinar la solución de esta ecuación y determinar si existen restricciones en los parámetros.
19. Determinar la circunferencia de una elipse en términos de una integral elíptica.
20. Evalúa lo siguiente en términos de integrales elípticas y calcula los valores a cuatro decimales.
    1. \(\int_{0}^{\pi / 4} \dfrac{d \theta}{\sqrt{1-\dfrac{1}{2} \sin ^{2} \theta}}\).
    2. \(\int_{0}^{\pi / 2} \dfrac{d \theta}{\sqrt{1-\dfrac{1}{4} \sin ^{2} \theta}}\).
    3. \(\int_{0}^{2} \dfrac{d x}{\sqrt{\left(9-x^{2}\right)\left(4-x^{2}\right)}}\).
    4. \(\int_{0}^{\pi / 2} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\cos \theta}}\).
    5. \(\int_{1}^{\infty} \dfrac{d x}{\sqrt{x^{4}-1}}\).