8.4: Derivados

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Ahora que conocemos algunas funciones elementales, buscamos sus derivadas. No dedicaremos tiempo a explorar los límites apropiados de ninguna manera rigurosa. Sólo nos interesan los resultados. Proporcionamos estos en Tabla\(\PageIndex{1}\). Esperamos que conozca el significado de la derivada y todas las reglas habituales, como las reglas de producto y cociente.

Además, deberías estar familiarizado con la Regla de la Cadena. Recordemos que esta regla nos dice que si tenemos una composición de funciones, como las funciones elementales anteriores, entonces podemos calcular la derivada de la función compuesta. A saber, si\(h(x)=f(g(x))\), entonces

\[\dfrac{d h}{d x}=\dfrac{d}{d x}(f(g(x)))=\left.\dfrac{d f}{d g}\right|_{g(x)} \dfrac{d g}{d x}=f^{\prime}(g(x)) g^{\prime}(x) \nonumber \]

Cuadro\(\PageIndex{1}\): Tabla de Derivados Comunes (\(a\)es una constante).
Función	Derivada
\(a\)	0
\(x^{n}\)	\(n x^{n-1}\)
\(e^{a x}\)	\(a e^{a x}\)
\(\ln a x\)	\(\dfrac{1}{x}\)
\(\sin a x\)	\(a \cos a x\)
\(\cos a x\)	\(-a \sin a x\)
\(\tan a x\)	\(a \sec ^{2} a x\)
\(\csc a x\)	\(-a \csc a x \cot a x\)
\(\sec a x\)	\(a \sec a x \tan a x\)
\(\cot a x\)	\(-a \csc ^{2} a x\)
\(\sinh a x\)	\(a \cosh a x\)
\(\cosh a x\)	\(a \sinh a x\)
\(\tanh a x\)	\(a \operatorname{sech}^{2} a x\)
\(\operatorname{csch} a x\)	\(-a \operatorname{csch} a x \operatorname{coth} a x\)
\(\operatorname{sech} a x\)	\(-a \operatorname{sech} a x \tanh a x\)
\(\operatorname{coth} a x\)	\(-a \operatorname{csch}^{2} a x\)

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Diferenciar\(H(x)=5 \cos \left(\pi \tanh 2 x^{2}\right)\).

Solución

Esta es una composición de tres funciones,\(H(x)=f(g(h(x)))\), dónde\(f(x)=5 \cos x, g(x)=\pi \tanh x\), y\(h(x)=2 x^{2} .\) Entonces la derivada se convierte

\[ \begin{aligned} H^{\prime}(x) &=5\left(-\sin \left(\pi \tanh 2 x^{2}\right)\right) \dfrac{d}{d x}\left(\left(\pi \tanh 2 x^{2}\right)\right) \\ &=-5 \pi \sin \left(\pi \tanh 2 x^{2}\right) \operatorname{sech}^{2} 2 x^{2} \dfrac{d}{d x}\left(2 x^{2}\right) \\ &=-20 \pi x \sin \left(\pi \tanh 2 x^{2}\right) \operatorname{sech}^{2} 2 x^{2} \end{aligned} \label{A.58} \]