1.2:1.2 Visión general del curso

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En su mayor parte, tu primer curso en ecuaciones diferenciales fue sobre resolver problemas de valor inicial. Cuando las ecuaciones de segundo orden no cayeron en los casos anteriores, entonces es posible que hayas aprendido a obtener soluciones aproximadas usando métodos de series de potencia, o incluso encontrando nuevas funciones a partir de estos métodos. En este curso exploraremos dos temas amplios: sistemas de ecuaciones diferenciales y problemas de valor límite.

Veremos que existen problemas de valor inicial interesantes a la hora de estudiar sistemas de ecuaciones diferenciales. De hecho, muchas de las ecuaciones de segundo orden que has visto en el pasado se pueden escribir como un sistema de dos ecuaciones de primer orden. Por ejemplo, la ecuación para el movimiento armónico simple,

\(x^{\prime \prime}+\omega^{2} x=0\),

se puede escribir como el sistema

\ begin {reunió}
x^ {\ prime} =y\\
y^ {\ prime} =-\ omega^ {2} x
\ end {reunidos}

Sólo tenga en cuenta eso\(x^{\prime \prime}=y^{\prime}=-\omega^{2} x\). Por supuesto, se puede generalizar esto a sistemas con lados derechos más complicados. El comportamiento de tales sistemas puede ser bastante interesante y estos sistemas resultan de una variedad de modelos físicos.
En la segunda parte del curso exploraremos problemas de valor límite. A menudo estos problemas evolucionan a partir del estudio de ecuaciones diferenciales parciales. Tales ejemplos provienen de cuerdas vibratorias, distribuciones de temperatura, vigas de flexión, etc. Las condiciones de contorno son condiciones que se imponen en más de un punto, mientras que para los problemas de valor inicial las condiciones se especifican en un punto. Por ejemplo, podríamos tomar la ecuación de oscilación anterior y preguntar cuándo las soluciones de la ecuación satisfarían las condiciones\(x(0)=0\) y\(x(1)=0\). La solución general, como hemos determinado anteriormente, es

\[x(t)=c_{1} \cos \omega t+c_{2} \sin \omega t \nonumber \]

Exigiendo\(x(0)=0\), nos encontramos con eso\(c_{1}=0\), saliendo\(x(t)=c_{2} \sin \omega t\). También imponiendo eso\(0=x(1)=c_{2} \sin \omega\), nos vemos obligados a hacer\(\omega=n \pi\), para\(n=1,2, \ldots\) (Hacer no\(c_{2}=0\) daría una solución distinta de cero del problema.) Así, hay un número infinito de soluciones posibles, si tenemos la libertad de elegir nuestra\(\omega\). En la segunda mitad del curso investigaremos técnicas para resolver problemas de valor límite y veremos varias aplicaciones, incluyendo ver las conexiones con ecuaciones diferenciales parciales y series de Fourier.