6.1: Introducción

En la física surgen muchos problemas en forma de problemas de valor límite que involucran ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden. Por ejemplo, podríamos querer resolver la ecuación

\[a_2(x)y'' + a_1(x)y' + a_0(x)y = f(x) \label{6.1} \]

sujeto a condiitones de límite. Podemos escribir tal ecuación en forma de operador definiendo el operador diferencial

\[L = a_2(x) \dfrac{d^2}{dx^2} + a_1(x) \dfrac{d}{dx} + a_0(x). \nonumber \]

Entonces, la Ecuación\ ref {6.1} toma la forma

\[Ly = f. \nonumber \]

Como vimos en el problema general del valor límite (4.20) en la Sección 4.3.2, podemos resolver algunas ecuaciones usando expansiones de valor propio. A saber, buscamos soluciones al problema del valor propio

\[L \phi = \lambda \phi \nonumber \]

con condiciones de límite homogéneas y luego buscar una solución como una expansión de las funciones propias. Formalmente, dejamos

\[y=\sum_{n=1}^{\infty} c_{n} \phi_{n}. \nonumber \]

Sin embargo, no se nos garantiza un buen conjunto de funciones propias. Necesitamos un conjunto apropiado para formar una base en el espacio de funciones. Además, sería bueno tener ortogonalidad para que podamos resolver fácilmente para los coeficientes de expansión como se hizo en la Sección 4.3.2. [De lo contrario, tendríamos que resolver un sistema acoplado infinito de ecuaciones algebraicas en lugar de un sistema desacoplado y diagonal.

Resulta que cualquier operador lineal de segundo orden se puede convertir en un operador que posea las propiedades correctas (autoadjointedness para llevar a cabo este procedimiento). El operador resultante se conoce como un operador de Sturm-Liouville. Destacaremos algunas de las propiedades de dichos operadores y probaremos algunos teoremas clave, aunque esta no será una revisión extensa de la teoría de Sturm-Liouville. El lector interesado puede revisar la literatura y textos más avanzados para un análisis más profundo.

Definimos al operador de Sturm-Liouville como

\[\mathcal{L}=\dfrac{d}{d x} p(x) \dfrac{d}{d x}+q(x) \label{6.2} \]

El problema del valor propio de Sturm-Liouville viene dado por la ecuación diferencial

\[\mathcal{L} u=-\lambda \sigma(x) u \nonumber \]

o

\[\dfrac{d}{d x}\left(p(x) \dfrac{d u}{d x}\right)+q(x) u+\lambda \sigma(x) u=0 \label{6.3} \]

para\(x \in(a, b)\). Las funciones\(p(x), p^{\prime}(x), q(x)\) y\(\sigma(x)\) se supone que son continuas una\((a, b)\) y\(p(x)>0, \sigma(x)>0\) otra vez\([a, b]\). Si el intervalo es finito y estas suposiciones sobre los coeficientes son verdaderas\([a, b]\), entonces se dice que el problema es regular. De lo contrario, se le llama singular.

También necesitamos imponer el conjunto de condiciones de contorno homogéneas

\ [\ comenzar {reunido}
\ alpha_ {1} u (a) +\ beta_ {1} u^ {\ prime} (a) =0\\
\ alpha_ {2} u (b) +\ beta_ {2} u^ {\ prime} (b) =0
\ end {reunido}\ etiqueta {6.4}\]

Los\(\alpha\)\(\beta\)'s y los son constantes. Para diferentes valores, uno tiene tipos especiales de condiciones de contorno. Porque\(\beta_{i}=0\), tenemos lo que se llaman condiciones de contorno de Dirichlet. A saber,\(u(a)=0\) y\(u(b)=0\). Porque\(\alpha_{i}=0\), tenemos condiciones de límite de Neumann. En este caso,\(u^{\prime}(a)=0\) y\(u^{\prime}(b)=0\). En términos del ejemplo de la ecuación de calor, las condiciones de Dirichlet corresponden a mantener una temperatura fija en los extremos de la varilla. Las condiciones límite de Neumann corresponderían a no flujo de calor a través de los extremos, o condiciones aislantes, ya que no habría gradiente de temperatura en esos puntos. Las condiciones de contorno más generales permiten límites parcialmente aislados.

Otro tipo de condición de límite que a menudo se encuentra es la condición de límite periódica. Considera la varilla calentada que ha sido doblada para formar un círculo. Entonces los dos puntos finales son físicamente iguales. Entonces, esperaríamos que la temperatura y el gradiente de temperatura coincidieran en esos puntos. Para este caso escribimos\(u(a) = u(b)\) y\(u′(a) = u′(b)\). Los problemas de valor límite utilizando estas condiciones deben manejarse de manera diferente a las condiciones homogéneas anteriores. Estas condiciones conducen a diferentes tipos de funciones propias y valores propios.

Como se mencionó anteriormente, las ecuaciones de la forma (Ecuación\ ref {6.1}) ocurren a menudo. Ahora mostramos que la Ecuación (\ ref {6.1}) se puede convertir en una ecuación diferencial de la forma de Sturm-Liouville:

\[\dfrac{d}{d x}\left(p(x) \dfrac{d y}{d x}\right)+q(x) y=F(x) . \label{6.5} \]

Otra forma de enunciar esto se proporciona en el teorema:

Teorema 6.1

Cualquier operador lineal de segundo orden se puede poner en la forma del operador Sturm-Liouville (6.2).

La prueba de ello es directa, como pronto mostraremos. Considera la ecuación (6.1). Si\(a_{1}(x)=a_{2}^{\prime}(x)\), entonces podemos escribir la ecuación en la forma

\ [\ begin {alineado}
f (x) &=a_ {2} (x) y^ {\ prime\ prime} +a_ {1} (x) y^ {\ prime} +a_ {0} (x) y\\
&=\ left (a_ {2} (x) y^ {\ prime}\ derecha) ^ {\ prime} +a_ {0} (x) y
\ final {alineado}\ etiqueta {6.6}\]

Esto está en la forma correcta. Solo identificamos\(p(x)=a_{2}(x)\) y\(q(x)=a_{0}(x)\).

Sin embargo, considere la ecuación diferencial

\[x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+2 y=0. \nonumber \]

En este caso\(a_{2}(x)=x^{2}\) y\(a_{2}^{\prime}(x)=2 x \neq a_{1}(x)\). El operador diferencial lineal en esta ecuación no es del tipo Sturm-Liouville. Pero, podemos cambiarlo a un operador de Sturm Liouville.

En el operador de Sturm Liouville los términos derivados se reúnen en una derivada perfecta. Esto es similar a lo que vimos en el primer capítulo cuando resolvimos ecuaciones lineales de primer orden. En ese caso se buscó un factor integrador. Aquí podemos hacer lo mismo. Buscamos una función multiplicativa por la\(\mu(x)\) que podamos multiplicar (6.1) para que pueda escribirse en forma de Sturm-Liouville. Primero dividimos la\(a_{2}(x)\), dando

\[y^{\prime \prime}+\dfrac{a_{1}(x)}{a_{2}(x)} y^{\prime}+\dfrac{a_{0}(x)}{a_{2}(x)} y=\dfrac{f(x)}{a_{2}(x)}. \nonumber \]

Ahora, multiplicamos la ecuación diferencial por\(\mu\):

\[\mu(x) y^{\prime \prime}+\mu(x) \dfrac{a_{1}(x)}{a_{2}(x)} y^{\prime}+\mu(x) \dfrac{a_{0}(x)}{a_{2}(x)} y=\mu(x) \dfrac{f(x)}{a_{2}(x)}. \nonumber \]

Los dos primeros términos ahora se pueden combinar en una derivada exacta\(\left(\mu y^{\prime}\right)^{\prime}\) si\(\mu(x)\) satisface

\[\dfrac{d \mu}{d x}=\mu(x) \dfrac{a_{1}(x)}{a_{2}(x)}. \nonumber \]

Esto se resuelve formalmente para dar

\[\mu(x)=e^{\int \dfrac{a_{1}(x)}{a_{2}(x)} d x} . \nonumber \]

Así, la ecuación original se puede multiplicar por factor

\[\dfrac{\mu(x)}{a_{2}(x)}=\dfrac{1}{a_{2}(x)} e^{\int \dfrac{a_{1}(x)}{a_{2}(x)} d x} \nonumber \]

para convertirlo en forma de Sturm-Liouville.

\[a_{2}(x) y^{\prime \prime}+a_{1}(x) y^{\prime}+a_{0}(x) y=f(x), \label{6.7} \]

En resumen, la Ecuación\ ref {6.1} se puede poner en la forma de Sturm-Liouville

\[\dfrac{d}{d x}\left(p(x) \dfrac{d y}{d x}\right)+q(x) y=F(x) \label{6.8} \]

donde

\ [\ comenzar {reunido}
p (x) =e^ {\ int\ dfrac {a_ {1} (x)} {a_ {2} (x)} d x},\\
q (x) =p (x)\ dfrac {a_ {0} (x)} {a_ {2} (x)},\\
F (x) =p (x) d\ frac {f (x)} {a_ {2} (x)}
\ final {reunido}\ etiqueta {6.9}\]

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Para el ejemplo anterior,

\[x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+2 y=0. \nonumber \]

Solución

Solo necesitamos multiplicar esta ecuación por

\[\dfrac{1}{x^{2}} e^{\int \dfrac{d x}{x}}=\dfrac{1}{x}, \nonumber \]

para poner la ecuación en forma de Sturm-Liouville:

\ [\ begin {aligned}
0 &=x y^ {\ prime\ prime} +y^ {\ prime} +\ dfrac {2} {x} y\\
&=\ left (x y^ {\ prime}\ derecha) ^ {\ prime} +\ dfrac {2} {x} y.
\ end {alineado}\ etiqueta {6.10}\]