7.6: Apéndice- La expansión binomial

En esta sección tuvimos que recordar la expansión binomial. Esto es simplemente la expansión de la expresión\((a+b)^{p}\). Investigaremos esta expansión primero para potencias enteras no negativas p y luego derivaremos la expansión para otros valores de\(p\).

Vamos a enumerar algunas de las expansiones comunes para potencias enteras no negativas.

\ [\ begin {alineado}
(a+b) ^ {0} &=1\\
(a+b) ^ {1} &=a+b\\
(a+b) ^ {2} &=a^ {2} +2 a b+b^ {2}\
(a+b) ^ {3} &=a^ {3} +3 a^ {2} b+3 a b^ {2} +b^ {2} +b^ {3}\\
(a+b) ^ {4} &=a^ {4} +4 a^ {3} b+6 a^ {2} b^ {2} +4 a b^ {3} +b^ {4}\\
&\ cdots
\ end {alineado}\ etiqueta {7.56}\]

Ahora miramos los patrones de los términos en las expansiones. Primero, observamos que cada término consiste en un producto de un poder de\(a\) y un poder de\(b\). Los poderes de\(a\) están disminuyendo de\(n\) a 0 en la expansión de\((a+b)^{n}\). De igual manera, las facultades de\(b\) incremento de 0 a\(n\). Las sumas de los exponentes en cada término es\(n\). Entonces, podemos escribir el\((k+1)\) st término en la expansión como\(a^{n-k} b^{k}\). Por ejemplo, en la expansión\((a+b)^{51}\) del 6º término se encuentra\(a^{51-5} b^{5}=a^{46} b^{5}\). Sin embargo, no conocemos el coeficiente numérico en la expansión.

Ahora enumeramos los coeficientes para las expansiones anteriores.

\(n=0: \quad 1\)
\(n=1: \quad 1 \quad 1\)
\(n=2: \quad 1 \quad 2 \quad 1\)
\(n=3: \quad 1 \quad 3 \quad 3 \quad 1\)
\(n=4: 1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1\)

Este patrón es el famoso triángulo de Pascal. Hay muchas características interesantes de este triángulo. Pero primero nos preguntaremos cómo se puede generar cada fila.

Vemos que cada fila comienza y termina con uno. A continuación el segundo término y siguiente al último plazo tiene un coeficiente de\(n\). A continuación observamos que se pueden agregar pares consecutivos en cada fila para obtener entradas en la siguiente fila. Por ejemplo, tenemos

Con esto en mente, podemos generar las siguientes varias filas de nuestro triángulo.

\ [\ begin {alineado}
&n=3:\ quad 1\ quad 3\ quad 3\ quad 1\\
&n=4:\ quad 1\ quad 4\ quad 6\ quad 4\ quad 1\
&n=5:\ quad 1\ quad 5\ quad 10\ quad 10\ quad 5\
quad 5\ quad 1\ quad 1\ quad 1\ quad 6\ quad 15\ quad 1
\ end {alineado}\ etiqueta {7.59}\]

Por supuesto, tardaría un tiempo en computar cada fila hasta la deseada\(n\). Necesitamos una expresión simple para computar un coeficiente específico. Considerar el término\(k\) th en la expansión de\((a+b)^{n}\). Vamos\(r=k-1\). Entonces este término es de la forma\(C_{r}^{n} a^{n-r} b^{r}\). Hemos visto los coeficientes satisfacer

\[C_{r}^{n}=C_{r}^{n-1}+C_{r-1}^{n-1} . \nonumber \]

En realidad, se ha encontrado que los coeficientes toman una forma sencilla.

\ (C_ {r} ^ {n} =\ dfrac {n!} {(n-r)! r!} =\ left (\ begin {array} {c}
n\\
r
\ end {array}\ right).\)

Esto no es otra cosa que el símbolo combinatorio para determinar cómo elegir\(n\) las cosas\(r\) a la vez. En nuestro caso, esto tiene sentido. Tenemos que contar la cantidad de formas en que podemos organizar los productos de\(r b\)'s\(n-r a\) con's. Hay\(n\) ranuras para colocar los\(b\)'s. Por ejemplo, el\(r=2\) caso de\(n=4\) involucra los seis productos:\(a a b b, a b a b, a b b a, b a a b, b a b a\), y\(b b a a\). Por lo tanto, es natural usar esta notación. El problema original que preocupaba a Pascal estaba en los juegos de azar.

Entonces, hemos encontrado que

\ [(a+b) ^ {n} =\ suma_ {r=0} ^ {n}\ izquierda (\ begin {array} {l}
n\\
r
\ end {array}\ derecha) a^ {n-r} b^ {r}. \ label {7.60}\]

¿Y si\(a \gg b\)? ¿Podemos usar esto para obtener una aproximación a\((a+b)^{n}\)? Si descuidamos\(b\) entonces\((a+b)^{n} \simeq a^{n}\). ¿Qué tan buena es esta aproximación? Aquí es donde sería bueno conocer el orden del próximo término en la expansión, que podríamos afirmar usando la\(O\) notación grande. Para hacer esto primero dividimos\(a\) como

\[(a+b)^{n}=a^{n}\left(1+\dfrac{b}{a}\right)^{n} . \nonumber \]

Ahora tenemos un pequeño parámetro,\(\dfrac{b}{a}\). Según lo que hemos visto anteriormente, podemos usar la expansión binomial para escribir

\ [\ izquierda (1+\ dfrac {b} {a}\ derecha) ^ {n} =\ suma_ {r=0} ^ {n}\ izquierda (\ begin {array} {l}
n\\
r
\ end {array}\ derecha)\ izquierda (\ dfrac {b} {a}\ derecha) ^ {r}\ label {7.61}\]

Así, tenemos una suma finita de términos que involucran poderes de\(\dfrac{b}{a}\). Ya que\(a \gg b\), la mayoría de estos términos se pueden descuidar. Entonces, podemos escribir

\[\left(1+\dfrac{b}{a}\right)^{n}=1+n \dfrac{b}{a}+O\left(\left(\dfrac{b}{a}\right)^{2}\right) . \nonumber \]

tenga en cuenta que hemos utilizado la observación de que el segundo coeficiente en la fila\(n\) th del triángulo de Pascal es\(n\).

Resumiendo, esto da entonces

\ [\ begin {alineado}
(a+b) ^ {n} &=a^ {n}\ izquierda (1+\ dfrac {b} {a}\ derecha) ^ {n}\\
&=a^ {n}\ izquierda (1+n\ dfrac {b} {a} +O\ izquierda (\ izquierda (\ dfrac {b} {a}\ derecha) ^ {2} derecha\)\ derecha)\\
&=a^ {n} +n a^ {n}\ dfrac {b} {a} +a^ {n} O\ izquierda (\ izquierda (\ dfrac {b} {a}\ derecha) ^ {2}\ derecha).
\ end {alineado}\ etiqueta {7.62}\]

Por lo tanto, podemos aproximar\((a+b)^{n} \simeq a^{n}+n b a^{n-1}\), con un error del orden de\(b a^{n-2}\). Tenga en cuenta que el orden del error no incluye el factor constante de la expansión. También podríamos usar la aproximación que\((a+b)^{n} \simeq a^{n}\), pero no es tan buena porque el error en este caso es del orden\(b a^{n-1}\).

Hemos visto que

\[\dfrac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+\ldots \nonumber \]

Pero,\(\dfrac{1}{1-x}=(1-x)^{-1}\). Esto vuelve a ser un binomio a un poder, pero el poder no es un entero no negativo. Resulta que los coeficientes de tal expansión binomial pueden escribirse de manera similar a la forma en la Ecuación (7.60).

Este ejemplo sugiere que nuestra suma puede que ya no sea finita. Entonces, para\(p\) un número real, escribimos

\ [(1+x) ^ {p} =\ suma_ {r=0} ^ {\ infty}\ izquierda (\ begin {array} {l}
p\\
r
\ end {array}\ derecha) x^ {r}. \ label {7.63}\]

Sin embargo, rápidamente nos encontramos con problemas con esta forma. Considerar el coeficiente para\(r=1\) en una expansión de\((1+x)^{-1}\). Esto viene dado por

\ (\ left (\ begin {array} {c}
-1\\
1
\ end {array}\ right) =\ dfrac {(-1)!} {(-1-1)! ¡1!} =\ dfrac {(-1)!} {(-2)! ¡1!} \)

Pero ¿qué es (-1)!? Por definición, es

\[(-1) !=(-1)(-2)(-3) \cdots \nonumber \]

¡Este producto no parece existir! Pero con un poco de cuidado, observamos que

\[\dfrac{(-1) !}{(-2) !}=\dfrac{(-1)(-2) !}{(-2) !}=-1 \text {. } \nonumber \]

Entonces, hay que tener cuidado de no interpretar el coeficiente combinatorio literalmente. Hay mejores formas de escribir la expansión binomial general. Podemos escribir el coeficiente general como

\ [\ begin {alineado}
\ left (\ begin {array} {l}
p\\
r
\ end {array}\ right) &=\ dfrac {p!} {(p-r)! r!} \\
&=\ dfrac {p (p-1)\ cdots (p-r+1) (p-r)!} {(p-r)! r!} \\
&=\ dfrac {p (p-1)\ cdots (p-r+1)} {r!}
\ end {alineado}\ etiqueta {7.64}\]

Con esto en mente exponemos ahora el teorema:

Expansión binomial general La expansión binomial general para\((1+x)^{p}\) es una simple generalización de la Ecuación (7.60). De\(p\) verdad, tenemos eso

\ [\ begin {alineado}
(1+x) ^ {p} &=\ suma_ {r=0} ^ {\ infty}\ dfrac {p (p-1)\ cdots (p-r+1)} {r!} x^ {r}\\
&=\ suma_ {r=0} ^ {\ infty}\ dfrac {\ Gamma (p+1)} {r! \ Gamma (p-r+1)} x^ {r}.
\ end {alineado}\ etiqueta {7.65}\]

Muchas veces necesitamos los primeros términos para el caso que\(x \ll 1\):

\[(1+x)^{p}=1+p x+\dfrac{p(p-1)}{2} x^{2}+O\left(x^{3}\right) . \label{7.66} \]