7.7: Problemas

7.1. Considera el conjunto de vectores\((-1,1,1),(1,-1,1),(1,1,-1)\).

a. Utilice el proceso Gram-Schmidt para encontrar una base ortonormal para\(R^{3}\) usar este conjunto en el orden dado.
b. ¿Qué obtienes si inviertes el orden de estos vectores?

7.2. Utilice el proceso Gram-Schmidt para encontrar los primeros cuatro polinomios ortogonales que satisfagan lo siguiente:

a. Intervalo:\((-\infty, \infty)\) Peso Función:\(e^{-x^{2}}\).
b. Intervalo:\((0, \infty)\) Peso Función:\(e^{-x}\).

7.3. Encuentra\(P_{4}(x)\) usando

a. La Fórmula Rodrigues en la Ecuación (7.12).
b. La fórmula de recursión de tres términos en la Ecuación (7.14).

7.4. Utilice la función de generación de polinomios de Legendre para derivar la fórmula de recursión\(P_{n+1}^{\prime}(x)-P_{n-1}^{\prime}(x)=(2 n+1) P_{n}(x)\). A saber, considerar\(\dfrac{\partial g(x, t)}{\partial x}\) usar la Ecuación (7.18) para derivar una fórmula derivada de tres términos. Luego use la fórmula de recursión de tres términos (7.14) para obtener el resultado anterior.

7.5. Utilice la relación de recursión (7.14) para evaluar\(\int_{-1}^{1} x P_{n}(x) P_{m}(x) d x, n \leq m\).

7.6. Expande lo siguiente en una serie de Fourier-Legendre para\(x \in(-1,1)\).

a\(f(x)=x^{2}\).

b.\(f(x)=5 x^{4}+2 x^{3}-x+3 .\)

c.\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}-1,-1<x<0 \\ 1, \quad 0<x<1\end{array}\right.\)

d.\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}x,-1<x<0 \\ 0,0<x<1\end{array}\right.\)

7.7. Utilice la integración por partes para mostrar\(\Gamma(x+1)=x \Gamma(x)\).

7.8. Exprese lo siguiente como funciones Gamma. Es decir, tomando nota de la forma\(\Gamma(x+1)=\int_{0}^{\infty} t^{x} e^{-t} d t\) y utilizando una sustitución apropiada, cada expresión puede escribirse en términos de una función Gamma.

a.\(\int_{0}^{\infty} x^{2 / 3} e^{-x} d x\)
b.\(\int_{0}^{\infty} x^{5} e^{-x^{2}} d x\)
c.\(\int_{0}^{1}\left[\ln \left(\dfrac{1}{x}\right)\right]^{n} d x\)

7.9. Los polinomios hermitas,\(H_{n}(x)\), satisfacen lo siguiente:

i\(<H_{n}, H_{m}>=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} H_{n}(x) H_{m}(x) d x=\sqrt{\pi} 2^{n} n ! \delta_{n, m}\).
ii. \(H_{n}^{\prime}(x)=2 n H_{n-1}(x)\).
iii. \(H_{n+1}(x)=2 x H_{n}(x)-2 n H_{n-1}(x)\).
iv. \(H_{n}(x)=(-1)^{n} e^{x^{2}} \dfrac{d^{n}}{d x^{n}}\left(e^{-x^{2}}\right)\).

Usando estos, demuestre que

a\(H_{n}^{\prime \prime}-2 x H_{n}^{\prime}+2 n H_{n}=0\). [Utilizar las propiedades ii. y iii.]
b\(\int_{-\infty}^{\infty} x e^{-x^{2}} H_{n}(x) H_{m}(x) d x=\sqrt{\pi} 2^{n-1} n !\left[\delta_{m, n-1}+2(n+1) \delta_{m, n+1}\right]\). [Utilizar las propiedades i. y iii.]
\(H_{n}(0)=\left\{\begin{array}{cc}0, & n \text { odd, } \\ (-1)^{m} \dfrac{(2 m) !}{m !}, & n=2 m\end{array}\right.\)c. [Dejar\(x=0\) entrar iii. e iterar. Nota de iv. que\(H_{0}(x)=1\) y\(\left.H_{1}(x)=1 .\right]\)

7.10. En Maple se puede escribir simplificar (LegendRep\(\left.\left(2^{*} \mathbf{n}-\mathbf{2}, \mathbf{0}\right)-\operatorname{Legendre} \mathbf{P}\left(\mathbf{2}^{*} \mathbf{n}, \mathbf{0}\right)\right)\); para encontrar un valor para\(P_{2 n-2}(0)-P_{2 n}(0)\). Da el resultado en términos de funciones Gamma. Sin embargo, en el Ejemplo 7.6 para la serie Fourier-Legendre, ¡el valor se da en términos de factoriales dobles! Entonces, tenemos

\[P_{2 n-2}(0)-P_{2 n}(0)=\dfrac{\sqrt{\pi}(4 n-1)}{2 \Gamma(n+1) \Gamma\left(\dfrac{3}{2}-n\right)}=(-1)^{n} \dfrac{(2 n-3) ! !}{(2 n-2) ! !} \dfrac{4 n-1}{2 n} . \nonumber \]

Verificarás que ambos resultados son los mismos haciendo lo siguiente

a. Demostrar que\(P_{2 n}(0)=(-1)^{n} \dfrac{(2 n-1) ! !}{(2 n) ! !}\) utilizando la función generadora y una expansión binomial.
b. Demostrar que\(\Gamma\left(n+\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{(2 n-1) ! !}{2^{n}} \sqrt{\pi}\) el uso\(\Gamma(x)=(x-1) \Gamma(x-1)\) y la iteración.
c. Verificar el resultado de Maple que\(P_{2 n-2}(0)-P_{2 n}(0)=\dfrac{\sqrt{\pi}(4 n-1)}{2 \Gamma(n+1) \Gamma\left(\dfrac{3}{2}-n\right)}\).
d. ¿Se\(P_{2 n-2}(0)-P_{2 n}(0)\) puede simplificar aún más alguna expresión para?

7.11. Una solución La ecuación de Bessel,\(x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+\left(x^{2}-n^{2}\right) y=0\), se puede encontrar usando la conjetura\(y(x)=\sum_{j=0}^{\infty} a_{j} x^{j+n}\). Se obtiene la relación de recurrencia\(a_{j}=\dfrac{-1}{j(2 n+j)} a_{j-2}\). Demuestre que para\(a_{0}=\left(n ! 2^{n}\right)^{-1}\) nosotros obtenemos la función Bessel del primer tipo de orden\(n\) a partir de los valores pares\(j=2 k\):

\[J_{n}(x)=\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^{k}}{k !(n+k) !}\left(\dfrac{x}{2}\right)^{n+2 k} \nonumber \]

7.12. Usa la serie infinita en el último problema para derivar las identidades derivadas (7.41) y (7.42):

a\(\dfrac{d}{d x}\left[x^{n} J_{n}(x)\right]=x^{n} J_{n-1}(x)\).
b\(\dfrac{d}{d x}\left[x^{-n} J_{n}(x)\right]=-x^{-n} J_{n+1}(x)\).

7.13. Las funciones de Bessel\(J_{p}(\lambda x)\) son soluciones de\(x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+\left(\lambda^{2} x^{2}-p^{2}\right) y=0\). Asumir eso\(x \in(0,1)\) y\(J_{p}(\lambda)=0\) aquello y\(J_{p}(0)\) es finito.

a. Poner esta ecuación diferencial en forma de Sturm-Liouville.
b. Demostrar que las soluciones correspondientes a diferentes valores propios son ortogonales escribiendo primero la identidad de Green correspondiente utilizando estas funciones de Bessel.
c. Demostrar que

\(\int_{0}^{1} x J_{p}(\lambda x) J_{p}(\mu x) d x=\dfrac{1}{2} J_{p+1}^{2}(\lambda)=\dfrac{1}{2} J_{p}^{\prime 2}(\lambda)\)

Tenga en cuenta que\(\lambda\) es un cero de\(J_{p}(x)\).

7.14. Podemos reescribir nuestra función Bessel en una forma que permita que el orden no sea entero usando la función gamma. Necesitará los resultados de Problema 7.10b para\(\Gamma\left(k+\dfrac{1}{2}\right)\).

a. Ampliar la definición de serie de la función Bessel del primer tipo de orden\(\nu, J_{\nu}(x)\), ya que\(\nu \geq 0\) escribiendo la solución de serie para\(y(x)\) en Problema 7.11 usando la función gamma.
b. Extender la serie a\(J_{-\nu(x)}\), para\(\nu \geq 0\). Discutir la serie resultante y lo que sucede cuando\(\nu\) es un entero positivo.
c. Utilice estos resultados para obtener expresiones de forma cerrada para\(J_{1 / 2}(x)\) y\(J_{-1 / 2}(x)\). Utilice la fórmula de recursión para las funciones de Bessel para obtener una forma cerrada para\(J_{3 / 2}(x)\).

7.15. En este problema derivarás la expansión

\[x^{2}=\dfrac{c^{2}}{2}+4 \sum_{j=2}^{\infty} \dfrac{J_{0}\left(\alpha_{j} x\right)}{\alpha_{j}^{2} J_{0}\left(\alpha_{j} c\right)}, \quad 0<x<c, \nonumber \]

donde las\(\alpha_{j}^{\prime} s\) son las raíces positivas de\(J_{1}(\alpha c)=0\), siguiendo los pasos a continuación.

a. Listar los primeros cinco valores de\(\alpha\) para\(J_{1}(\alpha c)=0\) usar el Cuadro 7.4 y la Figura 7.7. [Nota: Tenga cuidado al determinar\(\alpha_{1}\).]
b. Demuéstralo\(\left\|J_{0}\left(\alpha_{1} x\right)\right\|^{2}=\dfrac{c^{2}}{2}\). Recordar,

\(\left\|J_{0}\left(\alpha_{j} x\right)\right\|^{2}=\int_{0}^{c} x J_{0}^{2}\left(\alpha_{j} x\right) d x\)

c. Demostrar que\(\left\|J_{0}\left(\alpha_{j} x\right)\right\|^{2}=\dfrac{c^{2}}{2}\left[J_{0}\left(\alpha_{j} c\right)\right]^{2}, j=2,3, \ldots\) (Este es el paso más involucrado.) Primera nota del Problema 7.13 que\(y(x)=J_{0}\left(\alpha_{j} x\right)\) es una solución de

\(x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+\alpha_{j}^{2} x^{2} y=0 .\)

i. Demostrar que la forma Sturm-Liouville de esta ecuación diferencial es\(\left(x y^{\prime}\right)^{\prime}=-\alpha_{j}^{2} x y\)
ii. Multiplicar la ecuación en la parte i. por\(y(x)\) e integrar de\(x=0\)\(x=c\) a para obtener

\ [\ begin {alineado}
\ int_ {0} ^ {c}\ izquierda (x y^ {\ prime}\ derecha) ^ {\ prime} y d x &=-\ alpha_ {j} ^ {2}\ int_ {0} ^ {c} x y^ {2} d x\\
&=-\ alpha_ {j} ^ {2}\ int_ {0} ^ {c} x J_ {0} ^ {2}\ izquierda (\ alfa_ {j} x\ derecha) d x
\ final {alineado}\ etiqueta {7.67}\]

iii. Señalando que\(y(x)=J_{0}\left(\alpha_{j} x\right)\), integre el lado izquierdo por partes y utilice lo siguiente para simplificar la ecuación resultante.

1. \(J_{0}^{\prime}(x)=-J_{1}(x)\)de la Ecuación (7.42).
2. Ecuación (7.45).
3. \(J_{2}\left(\alpha_{j} c\right)+J_{0}\left(\alpha_{j} c\right)=0\)de la Ecuación (7.43).

iv. Ahora deberías tener la información suficiente para completar esta parte.

d. Utilizar los resultados de las partes\(b\) y\(c\) derivar los coeficientes de expansión para

\(x^{2}=\sum_{j=1}^{\infty} c_{j} J_{0}\left(\alpha_{j} x\right)\)

con el fin de obtener la expansión deseada.

7.16. Utilice las identidades derivadas de las funciones de Bessel, (7.41) - (7.42), y la integración por partes para mostrar que

\[\int x^{3} J_{0}(x) d x=x^{3} J_{1}(x)-2 x^{2} J_{2}(x) \nonumber \]