7.5: Funciones hipergeométricas

Las funciones hipergeométricas son probablemente la clase de funciones más útil, pero menos entendida. Por lo general, no entran en el plan de estudios de pregrado y rara vez en el currículo de posgrado. La mayoría de las funciones que conoces se pueden expresar usando funciones hipergeométricas. Existen muchos enfoques para estas funciones y la literatura puede llenar libros.

En 1812 Gauss publicó un estudio de la serie hipergeométrica

\ [\ begin {alineado}
y (x) =1 &+\ dfrac {\ alpha\ beta} {\ gamma} x+\ dfrac {\ alpha (1+\ alpha) (1+\ beta)} {2! \ gamma (1+\ gamma)} x^ {2}\\
&+\ dfrac {\ alfa (1+\ alfa) (2+\ alfa)\ beta (1+\ beta) (2+\ beta)} {3! \ gamma (1+\ gamma) (2+\ gamma)} x^ {3} +\ lpuntos
\ final {alineado}\ etiqueta {7.54}\]

Aquí\(\alpha, \beta, \gamma\), y\(x\) están los números reales. Si uno establece\(\alpha=1\) y\(\beta=\gamma\), esta serie se reduce a la serie geométrica familiar

\[y(x)=1+x+x^{2}+x^{3}+\ldots \nonumber \]

La serie hipergeométrica es en realidad una solución de la ecuación diferencial

\[x(1-x) y^{\prime \prime}+[\gamma-(\alpha+\beta+1) x] y^{\prime}-\alpha \beta y=0 \label{7.55} \]

Esta ecuación fue introducida por primera vez por Euler y la última estudiada extensamente por Gauss, Kummer y Riemann. A veces se le llama ecuación de Gauss. Tenga en cuenta que hay una simetría en eso\(\alpha\) y\(\beta\) puede intercambiarse sin cambiar la ecuación. Los puntos\(x=0\) y\(x=1\) son puntos singulares regulares. Se pueden buscar soluciones en serie usando el método Frobenius. Se puede confirmar que los resultados de las series hipergeométricas anteriores.

Se puede obtener una forma más compacta para la serie hipergeométrica introduciendo nueva notación. Uno típicamente introduce el símbolo de Pochhammer,\((\alpha)_{n}\), satisfaciendo (i)\((\alpha)_{0}=1\) if\(\alpha \neq 0\). y (ii)\((\alpha)_{k}=\alpha(1+\alpha) \ldots(k-1+\alpha)\), para\(k=1,2, \ldots\)

Considerar\((1)_{n}\). Para\(n=0,(1)_{0}=1\). Para\(n>0\),

\[(1)_{n}=1(1+1)(2+1) \ldots[(n-1)+1] . \nonumber \]

Esto reduce a\((1)_{n}=n !\). De hecho, se puede demostrar que

\[(k)_{n}=\dfrac{(n+k-1) !}{(k-1) !} \nonumber \]

para\(k\) y enteros\(n\) positivos. De hecho, uno puede extender este resultado a valores no enteros para\(k\) introduciendo la función gamma:

\[(\alpha)_{n}=\dfrac{\Gamma(\alpha+n)}{\Gamma(\alpha)} \nonumber \]

Ahora podemos escribir la serie hipergeométrica en notación estándar como

\[{ }_{2} F_{1}(\alpha, \beta ; \gamma ; x)=\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(\alpha)_{n}(\beta)_{n}}{n !(\gamma)_{n}} x^{n} . \nonumber \]

Usando esto se puede demostrar que la solución general de la ecuación de Gauss es

\[y(x)=A_{2} F_{1}(\alpha, \beta ; \gamma ; x)+B_{2} x_{2}^{1-\gamma} F_{1}(1-\gamma+\alpha, 1-\gamma+\beta ; 2-\gamma ; x) . \nonumber \]

Al dejar\(\beta\) acercarse cuidadosamente\(\infty\), se obtiene lo que se llama la función hipergeométrica confluente. Esto en efecto cambia la naturaleza de la ecuación diferencial. La ecuación de Gauss tiene tres puntos singulares regulares en\(x=0,1, \infty\). Uno puede transformar la ecuación de Gauss dejando\(x=u / \beta\). Esto cambia los puntos singulares regulares a\(u=0, \beta, \infty\). Dejando\(\beta \rightarrow \infty\), dos de los puntos singulares se fusionan.

La nueva función hipergeométrica confluente se da entonces como

\[{ }_{1} F_{1}(\alpha ; \gamma ; u)=\lim _{\beta \rightarrow \infty}{ }_{2} F_{1}\left(\alpha, \beta ; \gamma ; \dfrac{u}{\beta}\right) . \nonumber \]

Esta función satisface la ecuación diferencial

\[x y^{\prime \prime}+(\gamma-x) y^{\prime}-\alpha y=0 . \nonumber \]

El propósito de esta sección es únicamente introducir la función hipergeométrica. Muchas otras funciones especiales se relacionan con la función hipergeométrica después de realizar algunas transformaciones variables. Por ejemplo, los polinomios de Legendre están dados por

\[P_{n}(x)={ }_{2} F_{1}\left(-n, n+1 ; 1 ; \dfrac{1-x}{2}\right) . \nonumber \]

De hecho, también se puede demostrar que

\[\sin ^{-1} x=x_{2} F_{1}\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2} ; \dfrac{3}{2} ; x^{2}\right) . \nonumber \]

La función Bessel se\(J_{p}(x)\) puede escribir en términos de funciones geométricas confluentes como

\[J_{p}(x)=\dfrac{1}{\Gamma(p+1)}\left(\dfrac{z}{2}\right)^{p} e^{-i z}{ }_{1} F_{1}\left(\dfrac{1}{2}+p, 1+2 p ; 2 i z\right) . \nonumber \]

Estas son solo algunas conexiones de las poderosas funciones hipergeométricas con algunas de las funciones elementales que conoces.