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LibreTexts Español

2.2.E: Mejores aproximaciones afín (ejercicios)

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Ejercicio2.2.E.1

Encuentra la derivada de cada una de las siguientes funciones.

a)f(t)=(t3,t,2t+4)

b)g(t)=(3tcos(2t),4tsin(2t))

c)h(t)=(4t33,sin(t),e2t)

d)f(t)=(etsin(3t),etcos(3t),tet)

Responder

a)Df(t)=(3t2,1,2)

c)Dh(t)=(12t2,cos(t),2e2t)

Ejercicio2.2.E.2

Para cada una de las siguientes, encuentra la mejor aproximación afín af en el punto dado.

a)f(t)=(t,t3),t=2

b)f(t)=(3sin(2t),4cos(2t)),t=π6

c)f(t)=(cos(t),sin(t),cos(2t)),t=π3

d)f(t)=(2cos(2t),3sin(2t),3t),t=0

Responder

a)A(t)=(1,12)(t2)+(2,8)

c)A(t)=(32,12,3)(tπ3)+(12,32,12)

Ejercicio2.2.E.3

Deje quef(t)=(2cos(πt),3sin(πt)) entre parametrizar una elipseE R2. TrazarE junto con la línea tangente enf(23).

Ejercicio2.2.E.4

Dejarf(t)=((1+2cos(t))cos(t),(1+2cos(t))sin(t)) parametrizar una curvaC enR2. TrazarC junto con la línea tangente enf(π6).

Ejercicio2.2.E.5

Dejarh(t)=(sin(2πt),cos(2πt),t2) parametrizar una héliceH circularR3. TrazarH junto con la línea tangente enh(32).

Ejercicio2.2.E.6

Dejarg(t)=(cos(πt),t,sin(πt)) parametrizar una curvaC enR3. TrazarC junto con la línea tangente eng(14).

Ejercicio2.2.E.7

Supongamos quef:RR2 se define porf(t)=(t,φ(t)), dondeφ:RR es diferenciable, y dejar queC sea la curva enR2 parametrizada porf. Mostrar que la línea tangente aC atf(c) es la misma que la línea tangente a la gráfica deφ at(c,φ(c).

Responder

Tenga en cuenta que la línea tangente aC atf(c) está parametrizada por

A(t)=(1,φ(c))(tc)+(c,φ(c))=(t,φ(c)(tc)+φ(c))

Ejercicio2.2.E.8

DejarC ser la curva enR2 parametrizada porf(t)=(t3,t6),<t<. Esf una parametrización suave deC? Si no, ¿se puede encontrar una parametrización suave deC?

Responder

No, nof es una parametrización suave deC desde entoncesDf(0)=(0,0). Sin embargog(t)=(t,t2),<t<,, es una parametrización suave deC.

Ejercicio2.2.E.9

DejarC ser la curva enR2 parametrizada porf(t)=(t2,t2),<t<. Demostrar que nof es una parametrización suave deC. ¿Dónde está el problema? TrazarC e identificar la ubicación del problema.

Responder

fno es una parametrización suave deC desde entoncesDf(0)=(0,0).

Ejercicio2.2.E.10

Dejarv0 yp ser vectores enRn y dejarC ser la curva enRn parametrizada porf(t)=tv+p. ¿Cuál es la mejor aproximación afín af att=t0?

Ejercicio2.2.E.11

Para cada una de las siguientes, encuentra el vector tangente unitario y el vector normal de unidad principal en el punto indicado.

a)f(t)=(t,t2),t=1

b)g(t)=(3sin(2t),3cos(2t)),t=π3

c)f(t)=(2cos(t),4sin(t)),t=π4

d)h(t)=(cos(πt),2sin(πt)),t=34

e)g(t)=(cos(t),sin(t),t),t=π3

f)f(t)=(2sin(t),3cos(2t),2t),t=π4

g)f(t)=(sin(πt),cos(πt),3t),t=12

h)g(t)=(cos(πt2),sin(πt2),t2),t=1

i)f(t)=(t,t2,t3),t=2

Responder

a)T(1)=15(1,2);N(1)=15(2,1)

c)T(π4)=15(1,2);N(π4)=15(2,1)

e)T(π3)=(1232,122,12);N(π3)=(12,32,0)

g)T(12)=(0,π9+π2,39+π2);N(12)=(1,0,0)

i)T(2)=1161(1,4,12);N(2)=129141(76,143,54)

Ejercicio2.2.E.12

Usa el hecho de quef(t)=(bcos(t),bsin(t)) parametriza un círculo de radiob para mostrar que un radio de un círculo siempre es perpendicular a la línea tangente en el punto donde el radio toca el círculo.

Ejercicio2.2.E.13

Verificar (2.2.21); es decir, mostrar que sif:RRn yφ:RR son ambos diferenciables, entonces

D(φ(t)f(t))=φ(t)Df(t)+φ(t)f(t).

Ejercicio2.2.E.14

Supongamosf:RR3 y ambosg:RR3 son diferenciables. Demostrar que

D(f(t)×g(t))=f(t)×Dg(t)+Df(t)×g(t),

otra versión más de la regla del producto.

Ejercicio2.2.E.15

La siguiente figura ilustra una curva en R2 parametrizada por alguna funciónf:RR2. SiT es el vector tangente unitario en el punto indicado en la curva, entonces cualquieraM oN es el vector normal de unidad principal en ese punto. ¿Cuál es?

Screen Shot 2021-07-20 a las 10.54.53.png
Responder

M


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