2.2: Líneas y medias líneas

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Proposición\(\PageIndex{1}\)

Dos líneas distintas se cruzan como máximo en un punto.

Prueba: Supongamos que dos líneas l y m se cruzan en dos puntos distintos\(P\) y\(Q\). Aplicando Axioma II, lo conseguimos\(l = m\).

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Supongamos\(A' \in [OA)\) y\(A' \ne O\). Demostrar que

\([OA) = [OA').\)

Responder

Por Axioma II,\((OA) = (OA')\). Por lo tanto, el comunicado se reduce a lo siguiente:

Supongamos que\(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) es un movimiento de la línea que envía\(0 \mapsto 0\) y un número positivo a un número positivo, entonces\(f\) es un mapa de identidad.

Esto último se desprende de la Sección 1.6.

Teorema\(\PageIndex{2}\)

Dado\(r \ge 0\) y de media línea\([OA)\) hay una única\(A' \in [OA)\) tal que\(OA' = r\).

Prueba

Según definición de media línea, hay una isometría

\(f:[OA) \to [0, \infty),\)

tal que\(f(O) = 0\). Por la definición de isometría,\(OA' = f(A')\) para cualquier\(A' \in [OA)\). Así,\(OA' = r\) si y sólo si\(f(A') = r\).

Dado que la isometría tiene que ser biyectiva, sigue el enunciado.