2.1: Los axiomas

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I. El plano euclidiano es un espacio métrico con al menos dos puntos.

II. Hay una y sólo una línea, que contiene dos puntos distintos dados cualesquiera\(P\) y\(Q\) en el plano euclidiano.

III. Cualquier ángulo\(AOB\) en el plano euclidiano define un número real en el intervalo\((-\pi, \pi]\). Este número se llama medida de ángulo de\(\angle AOB\) y denotado por\(\measuredangle AOB\). Satisface la siguiente condición:
a) Dado una media línea\([OA)\) y\(\alpha \in (-\pi, \pi]\), hay una media línea única\([OB)\), tal que\(\measuredangle AOB = \alpha\).
(b) Para cualquier punto\(A, B\), y\(C\), distinto de\(O\) lo que tenemos
\[\measuredangle AOB + \measuredangle BOC \equiv \measuredangle AOC.\]
(c) La función
\[\measuredangle: (A, O, B) \mapsto \measuredangle AOB\]
es continua en cualquier triple de puntos\((A, O, B)\), tal que\(O \ne A\) y\(O \ne B\) y \(\measuredangle AOB \ne \pi\).

IV. En el plano euclidiano, tenemos\(\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'\) si y solo si
\[A'B' = AB, A'C' = AC, \text{ and } \measuredangle C'A'B' = \pm \measuredangle CAB.\]

V. Si por dos triángulos\(ABC, AB'C'\) en el plano euclidiano y para\(k > 0\) nosotros tenemos
\[\begin{array} {rclcrcl} {B'} & \in & {[AB),} &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ & {C'} & \in & {[AC),} \\ {AB'} & = & {k \cdot AB,} &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ & {AC'} & = & {k \cdot AC,} \end{array}\]
entonces
\[B'C' = k \cdot BC, \measuredangle ABC = \measuredangle AB'C', \measuredangle ACB = \measuredangle AC'B'.\]

A partir de ahora, no podemos usar información sobre el plano euclidiano que no sigue de los cinco axiomas anteriores.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Mostrar que hay (a) un conjunto infinito de puntos, (b) un conjunto infinito de líneas en el plano.

Pista: Por Axioma I, hay al menos dos puntos en el plano. Por lo tanto, por Axioma II, el plano contiene una línea. Para probar (a), queda por señalar que la línea es un conjunto infinito de puntos. Para probar (b) aplicar además Axioma III.