5.7: Construcciones geométricas

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 114860

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Las construcciones de regla y brújula en el plano es la construcción de puntos, líneas y círculos usando solo una regla idealizada y una brújula. Estos problemas constructivos proporcionan una valiosa fuente de ejercicios en geometría, que utilizaremos más adelante en el libro. Además, el Capítulo 19 está dedicado por completo al tema.

La regla idealizada solo se puede usar para dibujar una línea a través de los dos puntos dados. La brújula idealizada solo se puede utilizar para dibujar un círculo con un centro y radio dados. Es decir, dados tres puntos$A, B$, y$O$ podemos dibujar el conjunto de todos los puntos en la distancia$AB$ desde$O$. También podemos marcar nuevos puntos en el plano así como en las líneas construidas, círculos y sus intersecciones (asumiendo que tales puntos existen).

También podemos ver los diferentes conjuntos de herramientas de construcción. Por ejemplo, solo podemos usar la regla o podemos inventar una nueva herramienta, digamos una herramienta que produce un punto medio para cualquiera de dos puntos dados.

A modo de ejemplo, consideremos el siguiente problema:

Teorema$\PageIndex{1}$ Construction of midpoint

Construir el punto medio del segmento dado$[AB]$.

Construcción.

Construye el círculo con el centro en el$A$ que está pasando a través$B$. Construye el círculo con el centro en el$B$ que está pasando a través$A$. Marcar ambos puntos de intersección de estos círculos, etiquetarlos con$P$ y$Q$.
Dibuja la línea$(PQ)$. Marque el punto$M$ de intersección de$(PQ)$ y$[AB]$; este es el punto medio.

$2021-02-08 9.51.53.png$

Por lo general, es necesario demostrar que la construcción produce lo que se esperaba. Aquí hay una prueba para el ejemplo anterior.

Prueba: Según el Teorema 5.2.1,$(PQ)$ es la bisectriz perpendicular a$[AB]$. Por lo tanto,$M = (AB) \cap (PQ)$ es el punto medio de$[AB]$.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Haga una construcción de regla y brújula de una línea a través de un punto dado que sea perpendicular a una línea dada.

Pista: $2021-02-08 10.10.00.png$

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Haz una construcción de regla y brújula del centro de un círculo dado.

Pista: $2021-02-08 10.10.30.png$

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Hacer una construcción de regla y brújula de las líneas tan- gent a un círculo dado que pasan a través de un punto dado.

Pista: $2021-02-08 10.10.55.png$

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Dados dos círculos$\Gamma_1$$\Gamma_2$ y un segmento$[AB]$ hacen una construcción de regla y brújula de un círculo con el radio$AB$ que es tangente a cada círculo$\Gamma_1$ y$\Gamma_2$.

Pista: $2021-02-08 10.11.19.png$

Teorema\(\PageIndex{1}\) Construction of midpoint

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)