7.7: Círculo Apolónico
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Mostrar que para valores reales fijos\(a\),\(b\), y\(c\) la ecuación
\(x^2 + y^2 + a \cdot x + b \cdot y + c = 0\)
describe un círculo, conjunto de un punto o conjunto vacío.
Mostrar que si es un círculo entonces tiene centro\((- \dfrac{a}{2}, -\dfrac{b}{2})\) y el radio\(r = \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{a^2 + b^2 - 4 \cdot c}\).
- Pista
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Reescríbelo de la siguiente manera y piense
\((x + \dfrac{a}{2})^2 + (y + \dfrac{b}{2})^2 = (\dfrac{a}{2})^2 + (\dfrac{b}{2})^2 - c\).
Utilice el ejercicio anterior para mostrar que dado dos puntos distintos\(A\)\(B\) y un número real positivo\(k \ne 1\), el locus de puntos\(M\) tal que\(AM = k \cdot BM\) es un círculo.
- Pista
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Podemos elegir las coordenadas para que\(B = (0, 0)\) y\(A = (a, 0)\) para algunos\(a > 0\). Si\(M = (x, y)\), entonces la ecuación se\(AM = k \cdot BM\) puede escribir en coordenadas como
\(k^2 \cdot (x^2 + y^2) = (x - a)^2 + y^2.\)
Queda por reescribir esta ecuación como en Ejercicio\(\PageIndex{1}\).
El círculo en el ejercicio anterior es un ejemplo del llamado círculo apolónico con focos\(A\) y\(B\). Pocos de estos círculos para diferentes valores se\(k\) muestran en el diagrama; para\(k = 1\), se convierte en la bisectriz perpendicular a\([AB]\).
Haz una construcción de regla y brújula de un círculo apolónico con enfoques dados\(A\) y\(B\) a través de un punto dado\(M\).
- Pista
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Asumir\(M \not\in (AB)\). Mostrar y utilizar que los puntos\(P\) y\(Q\) construidos en el siguiente diagrama se encuentran en el círculo Apolónico.
