7.7: Círculo Apolónico

Los ejercicios de esta sección se dan como ilustraciones del método de coordenadas — no se utilizará más en la secuela.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Mostrar que para valores reales fijos$a$,$b$, y$c$ la ecuación

$x^2 + y^2 + a \cdot x + b \cdot y + c = 0$

describe un círculo, conjunto de un punto o conjunto vacío.

Mostrar que si es un círculo entonces tiene centro$(- \dfrac{a}{2}, -\dfrac{b}{2})$ y el radio$r = \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{a^2 + b^2 - 4 \cdot c}$.

Pista

Reescríbelo de la siguiente manera y piense

$(x + \dfrac{a}{2})^2 + (y + \dfrac{b}{2})^2 = (\dfrac{a}{2})^2 + (\dfrac{b}{2})^2 - c$.

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Utilice el ejercicio anterior para mostrar que dado dos puntos distintos$A$$B$ y un número real positivo$k \ne 1$, el locus de puntos$M$ tal que$AM = k \cdot BM$ es un círculo.

Pista

Podemos elegir las coordenadas para que$B = (0, 0)$ y$A = (a, 0)$ para algunos$a > 0$. Si$M = (x, y)$, entonces la ecuación se$AM = k \cdot BM$ puede escribir en coordenadas como

$k^2 \cdot (x^2 + y^2) = (x - a)^2 + y^2.$

Queda por reescribir esta ecuación como en Ejercicio$\PageIndex{1}$.

El círculo en el ejercicio anterior es un ejemplo del llamado círculo apolónico con focos$A$ y$B$. Pocos de estos círculos para diferentes valores se$k$ muestran en el diagrama; para$k = 1$, se convierte en la bisectriz perpendicular a$[AB]$.

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Haz una construcción de regla y brújula de un círculo apolónico con enfoques dados$A$ y$B$ a través de un punto dado$M$.

Pista

Asumir$M \not\in (AB)$. Mostrar y utilizar que los puntos$P$ y$Q$ construidos en el siguiente diagrama se encuentran en el círculo Apolónico.