7.1: Líneas paralelas

En consecuencia del Axioma II, cualesquiera dos líneas distintas$\ell$ y$m$ tienen un punto en común o ninguno. En el primer caso se cruzan (brevemente$\ell \nparallel m$); en el segundo caso, se dice que l y m son paralelos (brevemente,$\ell \parallel m$); además, una línea siempre se considera paralela a sí misma.

Para enfatizar que dos líneas en un diagrama son paralelas las marcaremos con flechas del mismo tipo.

Proposición$\PageIndex{1}$

Dejar$\ell, m$, y$n$ ser tres líneas. Supongamos que$n \perp m$ y$m \perp \ell$. Entonces$\ell \parallel n$.

Prueba

Asumir lo contrario; es decir,$\ell \nparallel m$. Entonces hay un punto, digamos$Z$, de intersección de$\ell$ y$n$. Entonces por el Teorema 5.3.1,$\ell = n$. Como cualquier línea es paralela a sí misma, tenemos eso$\ell \parallel n$ —una contradicción.

Teorema$\PageIndex{1}$

Para cualquier punto$P$ y cualquier línea$\ell$ hay una línea única$m$ que pasa a través$P$ y es paralela a$\ell$.

El teorema anterior tiene dos partes, existencia y singularidad. En la prueba de singularidad utilizaremos el método de triángulos similares.

Prueba

Aplicar el Teorema 5.3.1 dos veces, primero para construir la línea a$n$ través$P$ que es perpendicular a$\ell$, y segundo para construir la línea a$n$ través$P$ que es perpendicular a$m$. A continuación aplicar Proposición$\PageIndex{1}$.

Singularidad. Si$P \in \ell$, entonces$m =\ell$ por la definición de líneas paralelas. Además asumimos$P \not\in \ell$.

Construyamos las líneas$n \ni P$ y$m \ni P$ como en la prueba de existencia, así$m \parallel \ell$.

Supongamos que hay otra línea$s \ni P$ paralela a$\ell$. Elija un punto$Q \in s$ con el que se encuentra$\ell$ en el mismo lado de$m$. Deja$R$ ser el punto del pie de$Q$ on$n$.

Dejar$D$ ser el punto de intersección de$n$ y$\ell$. De acuerdo con la Proposición$\PageIndex{1}$$(QR) \parallel m$. Por lo tanto$Q, R$,, y$\ell$ se encuentran en el mismo lado de$m$. En particular,$R \in [PD)$.

Elija$Z \in [PQ)$ tal que

$\dfrac{PZ}{PQ} = \dfrac{PD}{PR}.$

Por condición de similitud SAS (o equivalentemente por Axioma V) tenemos eso$\triangle RPQ \sim \triangle DPZ$; por lo tanto$(ZD) \perp (PD)$. De ello se deduce que$Z$ yace sobre$\ell$ y$s$ - una condición.

Corolario$\PageIndex{2}$

Asumir$\ell, m$, y$n$ son líneas tales que$\ell \parallel m$ y$m \parallel n$. Entonces$\ell \parallel n$.

Prueba

Asumir lo contrario; es decir,$\ell \nparallel n$. Entonces hay un punto$P \in \ell \cap n$. Por teorema$\PageIndex{1}$,$n = \ell$ — una contradicción.

Tenga en cuenta que a partir de la definición, tenemos eso$\ell \parallel m$ si y solo si$m \parallel \ell$. Por lo tanto, según el corolario anterior, "$\parallel$" es una relación de equivalencia. Es decir, para cualquier línea$\ell, m$, y$n$ se mantienen las siguientes condiciones:

(i)$\ell \parallel \ell$;
(ii) si$\ell \parallel m$, entonces$m \parallel \ell$;
(iii) si$\ell \parallel m$ y$m \parallel n$, entonces$\ell \parallel n$.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Dejar$k, \ell, m$, y$n$ ser líneas tales que$k \perp \ell$,$\ell \perp m$, y$m \perp n$. $k \nparallel n$Demuéstralo.

Pista

Aplicar Proposición$\PageIndex{1}$ para demostrarlo$k \parallel m$. Por Corolario$\PageIndex{2}$,$k \parallel n \Rightarrow m \parallel n$. Esto último contradice eso$m \perp n$.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Haga una construcción de regla y brújula de una línea a través de un punto dado que sea paralelo a una línea dada.

Pista

Repita la construcción en el Ejercicio 5.7.1 dos veces.