7.5: Paralelogramos

Un cuadrilátero$ABCD$ en el plano euclidiano se llama nondegenerate si no hay tres puntos de$A, B, C, D$ mentira en una línea.

Un cuadrilátero no degenerado se denomina paralelogramo si sus lados opuestos son paralelos.

Lema$\PageIndex{1}$

Cualquier paralelogramo es centralmente simétrico con respecto a un punto medio de una de sus diagolales.

En particular, si$\square ABCD$ es un paralelogramo, entonces

a) sus diagonales$[AC]$ y se$[BD]$ cruzan entre sí en sus puntos medios;

b)$\measuredangle ABC = \measuredangle CDA$;

c)$AB = CD$.

Prueba

Dejar$\square ABCD$ ser un paralelogramo. Denotar por$M$ el punto medio de$[AC]$.

Ya que$(AB)\parallel (CD)$, el Teorema 7.2.1 implica que$(CD)$ es un reflejo de$(AB)$ través$M$. De la misma manera$(BC)$ es un reflejo de$(DA)$ lo ancho$M$. Dado que no$\square ABCD$ es degenerado, se deduce que$D$ es un reflejo de$B$ través$M$; en otras palabras,$M$ es el punto medio de$[BD]$.

Las declaraciones restantes siguen ya que la reflexión a través$M$ es un movimiento directo del plano (ver Proposición 7.2.1).

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Asumir$ABCD$ es un cuadrilátero tal que

$AB = CD = BC = DA.$

Tal que$ABCD$ es un paralelogramo.

Sugerencia

Ya que$\triangle ABC$ es isósceles,$\measuredangle CAB = \measuredangle BCA$.

Por SSS,$\triangle ABC \cong \triangle CDA$. Por lo tanto,$\pm \measuredangle DCA = \measuredangle BCA = \measuredangle CAB$.

Ya que$D \ne C$, obtenemos “-” en la última fórmula. Utilice la propiedad transversal (Teorema 7.3.1) para demostrarlo$(AB) \parallel (CD)$. Repite el argumento para demostrarlo$(AD) \parallel (BC)$.

Un cuadrilátero como en el ejercicio anterior se llama rombo.

Un cuadrilátero ABCD se llama rectángulo si los ángulos ABC, BCD, CDA y DAB son correctos. Tenga en cuenta que de acuerdo con la propiedad transversal (Teorema 7.3.1), cualquier rectángulo es un paralelogramo.

Un rectángulo con lados iguales se llama cuadrado.

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Mostrar que el paralelogramo$ABCD$ es un rectángulo si y solo si$AC = BD$.

Sugerencia

Por Lemma$\PageIndex{1}$ y SSS,$AC = BD$ si y sólo si$\angle ABC = \pm \measuredangle BCD$. Por la propiedad transversal (Teorema 7.3.1),$\measuredangle ABC + \measuredangle BCD \equiv \pi$.

Por lo tanto,$AC = BD$ si y sólo si$\measuredangle ABC = \measuredangle BCD = \pm \dfrac{\pi}{2}$.

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Mostrar que el paralelogramo$ABCD$ es un rombo si y solo si$(AC) \perp (BD)$.

Sugerencia

Arreglar un paralelogramo$ABCD$. Por Lemma$\PageIndex{1}$, sus diagonales$[AC]$ y$[BD]$ tienen un punto medio común; denotarlo por$M$.

Usa SSS y Lemma$\PageIndex{1}$ para demostrar que

$AB = CD \Leftrightarrow \triangle AMB \cong \triangle AMD \Leftrightarrow \measuredangle AMB = \pm \dfrac{\pi}{2}.$

Asumir$\ell \parallel m$, y$X, Y \in m$. Dejar$X'$ y$Y'$ denotar los puntos del pie de$X$ y$Y$ seguir$\ell$. Tenga en cuenta que$\square XYY'X'$ es un rectángulo. Por Lemma$\PageIndex{1}$,$XX' = YY'$. Es decir, cualquier punto en$m$ se encuentra a la misma distancia de$\ell$. Esta distancia se llama la distancia entre$\ell$ y$m$.