8.3: Medianas y centroide
- Page ID
- 114477
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
Una mediana de un triángulo es el segmento que une un vértice al punto medio del lado opuesto.
Las tres medianas de cualquier triángulo no degenerado se cruzan en un solo punto. Además, el punto de intersección divide cada mediana en la relación 2:1.
El punto de intersección de las medianas se denomina centroide del tri- ángulo; generalmente se denota por M. En la prueba aplicaremos el Ejercicio 3.4.3 y Ejercicio7.3.1; sus soluciones completas se dan en los aciertos.
- Prueba
-
Considera un triángulo no degenerado\(ABC\). Dejen\([AA']\) y\([BB']\) sean sus medianas. De acuerdo con el Ejercicio 3.4.3,\([AA']\) y\([BB']\) tener un punto de intersección; denotarlo por\(M\).
Dibuja una\(\ell\) línea\(A'\) paralela a\((BB')\). Aplicando Ejercicise7.3.1 para\(\triangle BB'C\) y\(\ell\), obtenemos esa\(\ell\) cruz\([B'C]\) en algún momento\(X\) y
\(\dfrac{CX}{CB'} = \dfrac{CA'}{CB} = \dfrac{1}{2};\)
es decir,\(X\) es el punto medio de\([CB']\).
Dado que\(B'\) es el punto medio de\([AC]\) y\(X\) es el punto medio de\([B'C]\), obtenemos que
\(\dfrac{AB'}{AX} = \dfrac{2}{3}.\)
Aplicando el Ejercicio 7.3.1 para\(\triangle XA'A\) y la línea\((BB')\), obtenemos que
\[\dfrac{AM}{AA'} = \dfrac{AB'}{AX} = \dfrac{2}{3};\]
es decir,\(M\) divide\([AA']\) en la relación 2:1.
Tenga en cuenta que 8.3.1 define de manera única\(M\) en\([AA']\). Repitiendo el mismo argumento para\([AA']\) las medianas y\([CC']\), obtenemos que también\(M\) se cruzan en, de ahí el resultado.
Dejar\(\square ABCD\) ser un cuadriángulo no degenerado y\(X, Y, V, W\) ser los puntos medios de sus lados\([AB], [BC], [CD]\), y\([DA]\). Mostrar que\(\square XYVW\) es un paralelogramo.
- Pista
-
Usa la idea de la prueba del teorema\(\PageIndex{1}\) para demostrar que\((XY) \parallel (AC) \parallel (VW)\) y\((XV) \parallel (BD) \parallel (YW)\).