8.3: Medianas y centroide
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Las tres medianas de cualquier triángulo no degenerado se cruzan en un solo punto. Además, el punto de intersección divide cada mediana en la relación 2:1.
El punto de intersección de las medianas se denomina centroide del tri- ángulo; generalmente se denota por M. En la prueba aplicaremos el Ejercicio 3.4.3 y Ejercicio7.3.1; sus soluciones completas se dan en los aciertos.
- Prueba
-
Considera un triángulo no degenerado\(ABC\). Dejen\([AA']\) y\([BB']\) sean sus medianas. De acuerdo con el Ejercicio 3.4.3,\([AA']\) y\([BB']\) tener un punto de intersección; denotarlo por\(M\).
Dibuja una\(\ell\) línea\(A'\) paralela a\((BB')\). Aplicando Ejercicise7.3.1 para\(\triangle BB'C\) y\(\ell\), obtenemos esa\(\ell\) cruz\([B'C]\) en algún momento\(X\) y
\(\dfrac{CX}{CB'} = \dfrac{CA'}{CB} = \dfrac{1}{2};\)
es decir,\(X\) es el punto medio de\([CB']\).
Dado que\(B'\) es el punto medio de\([AC]\) y\(X\) es el punto medio de\([B'C]\), obtenemos que
\(\dfrac{AB'}{AX} = \dfrac{2}{3}.\)
Aplicando el Ejercicio 7.3.1 para\(\triangle XA'A\) y la línea\((BB')\), obtenemos que
\[\dfrac{AM}{AA'} = \dfrac{AB'}{AX} = \dfrac{2}{3};\]
es decir,\(M\) divide\([AA']\) en la relación 2:1.
Tenga en cuenta que 8.3.1 define de manera única\(M\) en\([AA']\). Repitiendo el mismo argumento para\([AA']\) las medianas y\([CC']\), obtenemos que también\(M\) se cruzan en, de ahí el resultado.
Dejar\(\square ABCD\) ser un cuadriángulo no degenerado y\(X, Y, V, W\) ser los puntos medios de sus lados\([AB], [BC], [CD]\), y\([DA]\). Mostrar que\(\square XYVW\) es un paralelogramo.
- Pista
-
Usa la idea de la prueba del teorema\(\PageIndex{1}\) para demostrar que\((XY) \parallel (AC) \parallel (VW)\) y\((XV) \parallel (BD) \parallel (YW)\).