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8.7: Más ejercicios

Última actualización

30 oct 2022
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- 8.6: Incenter
- 9: Ángulos inscritos

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Ejercicio $\PageIndex{1}$

Supongamos que una bisectriz angular de un triángulo no degenerado bisecta el lado opuesto. Mostrar que el triángulo es isósceles.

Sugerencia: Aplicar Lemma 8.4.1. Ver también la solución del Ejercicio 11.1.1.

Ejercicio $\PageIndex{2}$

Supongamos que en un vértice de un triángulo no degenerado la bisectriz coincide con la altitud. Mostrar que el triángulo es isósceles.

Sugerencia: Aplicar ASA a los dos triángulos que la bisectriz corta del triángulo original.

Ejercicio $\PageIndex{3}$

Supongamos que los lados $[BC]$ $[CA]$ ,, y $[AB]$ de $\triangle ABC$ son tangentes al círculo en $X$ $Y$ , y $Z$ respectivamente. Demostrar que

$AY = AZ = \dfrac{1}{2} \cdot (AB + AC - BC).$

$2021-02-18 10.46.30.png$

Por definición, los vértices del triángulo ortico son los puntos base de las altitudes del triángulo dado.

Sugerencia: $I$ Déjese ser el incenter. Por SAS, eso lo conseguimos $\triangle AIZ \cong \triangle AIY$ . Por lo tanto, $AY = AZ$ . De la misma manera que conseguimos eso $BX = BZ$ y $CX = CY$ . De ahí el resultado.

Ejercicio $\PageIndex{4}$

Demostrar que el ortocentro de un triángulo agudo coincide con el incentro de su triángulo ortico.

¿Qué debería ser un análogo de esta afirmación para un triángulo obtuso?

Sugerencia

Dejar $\triangle ABC$ ser el triángulo agudo dado y $\triangle A'B'C'$ ser su triángulo ortico. Tenga en cuenta que $\triangle AA'C \sim \triangle BB'C$ . Utilízalo para demostrarlo $\triangle A'B'C \sim \triangle ABC$ .

De la misma manera que lo conseguimos $\triangle AB'C' \sim \triangle ABC$ . De ello se deduce que $\measuredangle A'B'C = \measuredangle AB'C'$ . Concluir que $(BB')$ bisectas $\angle A'B'C'$ .

Si $\triangle ABC$ es obtuso, entonces su ortocentro coincide con uno de los excentros de $\triangle ABC$ ; es decir, el punto de intersección de dos bisectores externos y uno interno de $\triangle ABC$ .

Ejercicio $\PageIndex{5}$

Supongamos que la bisectriz en $A$ del triángulo $ABC$ intersecta el lado $[BC]$ en el punto $D$ ; la línea pasante $D$ y paralela a $(CA)$ intersecta $(AB)$ en el punto $E$ ; la línea pasante $E$ y paralela a $(BC)$ se cruza $(AC)$ en $F$ . $AE = FC$ Demuéstralo.

$2021-02-18 10.49.01.png$

Sugerencia: Aplicar Teorema 4.3.1, Teorema 7.3.1 y Lema 7.5.1.

Ejercicio8.7.1\PageIndex{1}

Ejercicio8.7.2\PageIndex{2}

Ejercicio8.7.3\PageIndex{3}

Ejercicio8.7.4\PageIndex{4}

Ejercicio8.7.5\PageIndex{5}

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Ejercicio $\PageIndex{1}$

Ejercicio $\PageIndex{2}$

Ejercicio $\PageIndex{3}$

Ejercicio $\PageIndex{4}$

Ejercicio $\PageIndex{5}$