8.7: Más ejercicios
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- Sugerencia
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Aplicar Lemma 8.4.1. Ver también la solución del Ejercicio 11.1.1.
Supongamos que en un vértice de un triángulo no degenerado la bisectriz coincide con la altitud. Mostrar que el triángulo es isósceles.
- Sugerencia
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Aplicar ASA a los dos triángulos que la bisectriz corta del triángulo original.
Supongamos que los lados\([BC]\)\([CA]\),, y\([AB]\) de\(\triangle ABC\) son tangentes al círculo en\(X\)\(Y\), y\(Z\) respectivamente. Demostrar que
\(AY = AZ = \dfrac{1}{2} \cdot (AB + AC - BC).\)
Por definición, los vértices del triángulo ortico son los puntos base de las altitudes del triángulo dado.
- Sugerencia
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\(I\)Déjese ser el incenter. Por SAS, eso lo conseguimos\(\triangle AIZ \cong \triangle AIY\). Por lo tanto,\(AY = AZ\). De la misma manera que conseguimos eso\(BX = BZ\) y\(CX = CY\). De ahí el resultado.
Demostrar que el ortocentro de un triángulo agudo coincide con el incentro de su triángulo ortico.
¿Qué debería ser un análogo de esta afirmación para un triángulo obtuso?
- Sugerencia
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Dejar\(\triangle ABC\) ser el triángulo agudo dado y\(\triangle A'B'C'\) ser su triángulo ortico. Tenga en cuenta que\(\triangle AA'C \sim \triangle BB'C\). Utilízalo para demostrarlo\(\triangle A'B'C \sim \triangle ABC\).
De la misma manera que lo conseguimos\(\triangle AB'C' \sim \triangle ABC\). De ello se deduce que\(\measuredangle A'B'C = \measuredangle AB'C'\). Concluir que\((BB')\) bisectas\(\angle A'B'C'\).
Si\(\triangle ABC\) es obtuso, entonces su ortocentro coincide con uno de los excentros de\(\triangle ABC\); es decir, el punto de intersección de dos bisectores externos y uno interno de\(\triangle ABC\).
Supongamos que la bisectriz en\(A\) del triángulo\(ABC\) intersecta el lado\([BC]\) en el punto\(D\); la línea pasante\(D\) y paralela a\((CA)\) intersecta\((AB)\) en el punto\(E\); la línea pasante\(E\) y paralela a\((BC)\) se cruza\((AC)\) en \(F\). \(AE = FC\)Demuéstralo.
- Sugerencia
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Aplicar Teorema 4.3.1, Teorema 7.3.1 y Lema 7.5.1.