8.7: Más ejercicios

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Ejercicio$\PageIndex{1}$

Supongamos que una bisectriz angular de un triángulo no degenerado bisecta el lado opuesto. Mostrar que el triángulo es isósceles.

Sugerencia: Aplicar Lemma 8.4.1. Ver también la solución del Ejercicio 11.1.1.

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Supongamos que en un vértice de un triángulo no degenerado la bisectriz coincide con la altitud. Mostrar que el triángulo es isósceles.

Sugerencia: Aplicar ASA a los dos triángulos que la bisectriz corta del triángulo original.

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Supongamos que los lados$[BC]$$[CA]$,, y$[AB]$ de$\triangle ABC$ son tangentes al círculo en$X$$Y$, y$Z$ respectivamente. Demostrar que

$AY = AZ = \dfrac{1}{2} \cdot (AB + AC - BC).$

$2021-02-18 10.46.30.png$

Por definición, los vértices del triángulo ortico son los puntos base de las altitudes del triángulo dado.

Sugerencia: $I$Déjese ser el incenter. Por SAS, eso lo conseguimos$\triangle AIZ \cong \triangle AIY$. Por lo tanto,$AY = AZ$. De la misma manera que conseguimos eso$BX = BZ$ y$CX = CY$. De ahí el resultado.

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Demostrar que el ortocentro de un triángulo agudo coincide con el incentro de su triángulo ortico.

¿Qué debería ser un análogo de esta afirmación para un triángulo obtuso?

Sugerencia

Dejar$\triangle ABC$ ser el triángulo agudo dado y$\triangle A'B'C'$ ser su triángulo ortico. Tenga en cuenta que$\triangle AA'C \sim \triangle BB'C$. Utilízalo para demostrarlo$\triangle A'B'C \sim \triangle ABC$.

De la misma manera que lo conseguimos$\triangle AB'C' \sim \triangle ABC$. De ello se deduce que$\measuredangle A'B'C = \measuredangle AB'C'$. Concluir que$(BB')$ bisectas$\angle A'B'C'$.

Si$\triangle ABC$ es obtuso, entonces su ortocentro coincide con uno de los excentros de$\triangle ABC$; es decir, el punto de intersección de dos bisectores externos y uno interno de$\triangle ABC$.

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Supongamos que la bisectriz en$A$ del triángulo$ABC$ intersecta el lado$[BC]$ en el punto$D$; la línea pasante$D$ y paralela a$(CA)$ intersecta$(AB)$ en el punto$E$; la línea pasante$E$ y paralela a$(BC)$ se cruza$(AC)$ en $F$. $AE = FC$Demuéstralo.

$2021-02-18 10.49.01.png$

Sugerencia: Aplicar Teorema 4.3.1, Teorema 7.3.1 y Lema 7.5.1.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)