17.3: Construcción de Bolyai

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 114440

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Supongamos que necesitamos construir una línea$P$ asintóticamente paralela a la línea dada$\ell$ en el plano h.

Si$A$ y$B$ son puntos ideales de$\ell$ en el modelo proyectivo, entonces podríamos simplemente dibujar la línea euclidiana$(PA)$. Sin embargo, los puntos ideales no se encuentran en el plano h; por lo tanto, no hay forma de usarlos en la construcción.

En la siguiente construcción asumimos que conoce una construcción de brújulas y gobernantes de la línea perpendicular; ver Ejercicio 5.22.

Teorema$\PageIndex{1}$ Bolyai's construction

Dejar caer una perpendicular de$P$ a$\ell$; denotarlo por$m$. Deja$Q$ ser el punto del pie de$P$ on$\ell$.
Egir una perpendicular de$P$ a$m$; denotarlo por$n$.
Marcar por$R$ un punto en$\ell$ distinto de$Q$.
Dejar caer una perpendicular de$R$ a$n$; denotarlo por$k$.
Dibuja el círculo$\Gamma$ con el centro$P$ y el radio$QR$. Marcar por$T$ un punto de intersección de$\Gamma$ con$k$.
La línea$(PT)_h$ es asintóticamente paralela a$\ell$.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Explique qué pasa si uno realiza la construcción Bolyai en el plano euclidiano.

Contestar: Agrega textos aquí. No elimine primero este texto.

Para probar que la construcción de Bolyai da la línea asintóticamente paralela en el plano h, basta con mostrar lo siguiente:

Teorema$\PageIndex{1}$

Supongamos$P$$Q$,$R$,$S$,$T$ ser puntos en el plano h de tal manera que

$S\in (RT)_h$,
$(PQ)_h\perp (QR)_h$,
$(PS)_h\perp(PQ)_h$,
$(RT)_h\perp (PS)_h$y
$(PT)_h$y$(QR)_h$ son asintóticamente paralelos.

Entonces$QR_h=PT_h$.

Prueba

Utilizaremos el modelo proyectivo. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que$P$ es el centro de lo absoluto. Como se señaló en la página, en este caso las líneas euclidianas correspondientes también son perpendiculares; es decir,$(PQ)\perp (QR)$,$(PS)\perp(PQ)$, y$(RT) \perp (PS)$.

$A$Sea el punto ideal común de$(QR)_h$ y$(PT)_h$. Dejar$B$ y$C$ denotar los puntos ideales restantes de$(QR)_h$ y$(PT)_h$ respectivamente.

Tenga en cuenta que las líneas euclidianas$(PQ)$$(TR)$,, y$(CB)$ son paralelas.

$2021-03-01 2.14.28.png$

Por lo tanto,

En particular,

$\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AT}{AR}=\dfrac{AP}{AQ}.$

De ello se deduce que

En particular,$\dfrac{AT\cdot CP}{TC\cdot PA}=\dfrac{AR\cdot BQ}{RB\cdot QA}$. Aplicando la fórmula para h-distancia 17.2.1, lo conseguimos$QR_h=PT_h$.

Teorema\(\PageIndex{1}\) Bolyai's construction

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Teorema\(\PageIndex{1}\)