2.2: Forma polar de un número complejo

Un punto\((x,y)\) en el plano se puede representar en forma polar de\((r,\theta)\) acuerdo con las relaciones en la Figura\(\PageIndex{1}\).

Figura\(\PageIndex{1}\): Coordenadas polares de un punto en el plano. (Copyright; autor vía fuente)

Usando estas relaciones, podemos reescribir

\[\begin{align*} x+yi &= r\cos(\theta) + r\sin(\theta) i\\ &= r(\cos(\theta) + i \sin(\theta))\text{.} \end{align*}\]

Esto nos lleva a hacer la siguiente definición. Para cualquier número real\(\theta\text{,}\) que definamos

\[ e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)\text{.} \]

Por ejemplo,\(e^{i\pi/2} = \cos(\dfrac{\pi}{2}) + i\sin(\dfrac{\pi}{2}) = 0 + i\cdot 1 = i\text{.}\)

Del mismo modo,\(e^{i0} = \cos(0) + i\sin(0) = 1\text{,}\) y es una comprobación rápida para ver aquello\(e^{i\pi} = -1\text{,}\) que lleva a una ecuación simple que involucra a los números más famosos en matemáticas (excepto\(8\)), verdaderamente una ecuación de estrellas:

\[ e^{i \pi} + 1 = 0\text{.} \]

Si\(z = x+yi\) y\((x,y)\) tiene forma polar\((r,\theta)\) entonces\(z = re^{i\theta}\) se llama la forma polar de\(z\text{.}\) El escalar no negativo\(|r|\) es el módulo de\(z\text{,}\) y el ángulo\(\theta\) se llama el argumento de\(z\), denotado\(\arg(z\)).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Exploring the Polar Form

En el lado izquierdo del siguiente diagrama, trazamos los puntos

\(z = 2e^{i\pi/4}, w = 3e^{i\pi/2}, v = -2e^{i\pi/6}, u = 3e^{-i\pi/3}.\)

Para convertir\(z = -3 + 4i\) a forma polar, consulte el lado derecho del diagrama. Tomamos nota de eso\(r = \sqrt{9 + 16} = 5\text{,}\) y\(\tan(\alpha) =\dfrac{4}{3} \text{,}\) así\(\theta = \pi - \tan^{-1}(\dfrac{4}{3})\approx 2.21\) radianes. Por lo tanto,

\[ -3+4i = 5e^{i(\pi-\tan^{-1}(4/3))} \approx 5e^{2.21i}\text{.} \]

Teorema\(\PageIndex{1}\)

El producto de dos números complejos en forma polar viene dado por

\[ \displaystyle re^{i\theta}\cdot se^{i\beta} = (rs)e^{i(\theta+\beta)}\text{.} \]

Prueba

Utilizamos la definición de las identidades exponenciales complejas y algunas trigonométricas. \[\begin{array} d re^{i\theta}\cdot se^{i\beta} &= r(\cos\theta + i\sin\theta)\cdot s(\cos\beta+i\sin\beta)\\ &= (rs)(\cos\theta + i\sin\theta)\cdot (\cos\beta+i\sin\beta)\\ &= rs[\cos\theta\cos\beta - \sin\theta\sin\beta + (\cos\theta\sin\beta+\sin\theta\cos\beta)i]\\ &= rs[\cos(\theta+\beta) + \sin(\theta+\beta)i]\\ &=rs[e^{i(\theta+\beta)}]\text{.} \end{array}\]

Así, el producto de dos números complejos se obtiene multiplicando sus magnitudes y sumando sus argumentos, y

\[ \arg(zw) = \arg(z) + \arg(w)\text{,} \]

donde se toma la ecuación módulo Es\(2\pi\text{.}\) decir, dependiendo de nuestras elecciones para los argumentos, tenemos\(\arg(vw) = \arg(v)+ \arg(w) + 2\pi k\) para algún entero\(k\text{.}\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Polar Form with \(r \geq 0\)

Al representar un número complejo\(z\) en forma polar como\(z = re^{i\theta}\text{,}\) podemos suponer que no\(r\) es negativo. Si\(r \lt 0\text{,}\) entonces\[\begin{array}d re^{i\theta} &= - |r|e^{i\theta}\\ &= (e^{i\pi})\cdot |r| e^{i\theta} \;\; \text{since} \; -1 = e^{i\pi}\\ &= |r|e^{i(\theta+\pi)}, \;\; \text{by Theorem 2.2.1} \end{array}\] Así, al\(\pi\) sumar al ángulo si es necesario, siempre podemos suponer que\(z = re^{i\theta}\) donde\(r\) es no negativo.

Ejercicios

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Convertir los siguientes puntos a forma polar y trazarlos:\(3 + i\text{,}\)\(-1 - 2i\text{,}\)\(3 - 4i\text{,}\)\(7,002,001\text{,}\) y\(-4i\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Expresar los siguientes puntos en forma cartesiana y trazarlos:\(z = 2e^{i\pi/3}\text{,}\)\(w = -2e^{i\pi/4}\text{,}\)\(u = 4e^{i5\pi/3},\) y\(z\cdot u\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Modifique la ecuación all-star para involucrar\(8\). En particular, escribir una expresión que involucre\(e, i, \pi, 1,\) y\(8\), que sea igual\(0\). No puedes usar otros números, y desde luego no\(3\).

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Si\(z = re^{i\theta}\text{,}\) demostrar que\(\overline{z} = re^{-i\theta}\text{.}\)