2.3: Medida de División y Ángulo

La división del número complejo\(z\) por\(w \neq 0\text{,}\) denotado\(\dfrac{z}{w}\text{,}\) es el número complejo\(u\) que satisface la ecuación\(z = w \cdot u\text{.}\)

Por ejemplo,\(\dfrac{1}{i} = -i\) porque\(1 = i \cdot (-i)\text{.}\)

En la práctica, la división de números complejos no es un juego de adivinanzas, sino que se puede hacer multiplicando la parte superior e inferior del cociente por el conjugado de la expresión inferior.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Division in Cartesian Form

Convertimos el siguiente cociente a forma cartesiana:

\( \begin{array} z \dfrac{2+i}{3+2i} &= \dfrac{2+i}{3+2i}\cdot\dfrac{3-2i}{3-2i}\\ &= \dfrac{(6+2)+(-4+3)i}{9+4}\\ &= \dfrac{8-i}{13}\\ &= \dfrac{8}{13} - \dfrac{1}{13}i\text{.} \end{array} \)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Division in Polar Form

Supongamos que deseamos encontrar\(z/w\) dónde\(z = re^{i\theta}\) y\(w = se^{i\beta} \neq 0\text{.}\) El lector puede comprobarlo

\[ \dfrac{1}{w} = \dfrac{1}{s}e^{-i\beta}\text{.} \]

Entonces podremos aplicar el Teorema 2.2.1 para obtener el siguiente resultado:

\ begin {array} z\ dfrac {z} {w} &= z\ cdot\ dfrac {1} {w}\\ &= re^ {i\ theta}\ cdot\ dfrac {1} {s} e^ {-i\ beta}\\ &=\ dfrac {r} {s} e^ {i (\ theta-\ beta)}\ texto.} \ end {matriz}

Entonces,

\[ \arg\bigg(\frac{z}{w}\bigg)=\arg(z)-\arg(w) \]

donde se toma la igualdad modulo\(2\pi\text{.}\)

Así, al dividir por números complejos, primero podemos convertirnos a forma polar si es conveniente. Por ejemplo,

\[ \dfrac{1+i}{-3 + 3i} =\dfrac{\sqrt{2}e^{i\pi/4}}{\sqrt{18}e^{i3\pi/4}} = \dfrac{1}{3}e^{-i\pi/2} = -\dfrac{1}{3} i\text{.} \]

Medida del ángulo

Dados dos rayos\(L_1\) y\(L_2\) teniendo punto inicial común, dejamos\(\angle(L_1,L_2)\) denotar el ángulo entre los rayos\(L_1\) y\(L_2\), medido de\(L_1\) a\(L_2\text{.}\) Podemos rotar rayo\(L_1\) sobre rayo ya sea\(L_2\) en sentido antihorario o en sentido horario dirección. Adoptamos la convención de que los ángulos medidos en sentido antihorario son positivos, y los ángulos medidos en sentido horario son negativos, y admitimos que los ángulos solo están bien definidos hasta múltiplos de\(2\pi\text{.}\) Aviso que

\[ \angle(L_1,L_2) = - \angle(L_2,L_1)\text{.} \]

Para calcular\(\angle(L_1,L_2)\) dónde\(z_0\) está el punto inicial común de los rayos, dejar que\(z_1\) sea cualquier punto sobre\(L_1\text{,}\) y\(z_2\) cualquier punto en\(L_2\text{.}\) Entonces

\(\begin{array} \angle(L_1,L_2) & = \arg\bigg(\dfrac{z_2-z_0}{z_1-z_0}\bigg) \notag\\ &= \arg(z_2-z_0)-\arg(z_1-z_0)\text{.} \end{array}\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): The Angle Between Two Rays

Supongamos\(L_1\) y\(L_2\) son rayos que emanan de\(2+2i\text{.}\) Ray\(L_1\) procede a lo largo de la línea\(y=x\) y\(L_2\) procede\(y = 3-x/2\) como se muestra en la imagen

Para calcular el ángulo\(\theta\) en el diagrama, elegimos\(z_1 = 3+3i\) y\(z_2 = 4+i\text{.}\) Luego

\[ \angle(L_1,L_2) = \arg(2-i)-\arg(1+i) = -\tan^{-1}(1/2) - \pi/4 \approx -71.6^\circ\text{.} \]

Es decir, el ángulo de\(L_1\) a\(L_2\) es\(71.6^{\circ}\) en el sentido de las agujas del reloj.

Nota: El ángulo determinado por tres puntos

Si\(u,v,\) y\(w\) son tres números complejos, vamos a\(\angle uvw\) denotar el ángulo\(\theta\) de rayo\(\overrightarrow{vu}\) a\(\overrightarrow{vw}\text{.}\) En particular,

\[ \angle uvw = \theta = \arg\bigg(\dfrac{w-v}{u-v}\bigg)\text{.} \]

Por ejemplo, si\(u = 1\) en el eje real positivo,\(v= 0\) es el origen en\(\mathbb{C}\text{,}\) y\(z\) es cualquier punto en\(\mathbb{C}\text{,}\) entonces\(\angle uvz = \arg(z)\text{.}\)

Ejercicios

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

\(\frac{1}{x+yi}\)Exprese en la forma\(a + bi\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Expresar estas fracciones en forma cartesiana o polar, lo que le parezca más conveniente.

\[ \dfrac{1}{2i},\;\; \dfrac{1}{1+i},\;\; \dfrac{4+i}{1-2i},\;\; \dfrac{2}{3+i}\text{.} \]

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Demostrar eso\(\displaystyle|z/w| = |z|/|w|\text{,}\) y eso\(\displaystyle\overline{z/w} = \overline{z}/\overline{w}\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Supongamos\(z = re^{i\theta}\) y\(w = se^{i\alpha}\) son como se muestra a continuación. Vamos\(u = z\cdot w\text{.}\) Demostrar eso\(\Delta 01z\) y\(\Delta 0wu\) son triángulos similares.

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Determine el ángulo\(\angle uvw\) donde\(u = 2 + i\text{,}\)\(v = 1 + 2i\text{,}\) y\(w = -1 + i\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Supongamos que\(z\) es un punto con componente imaginario positivo en el círculo unitario que se muestra a continuación,\(a = 1\) y\(b = -1\text{.}\) Use la fórmula del ángulo para probar ese ángulo\(\angle b z a = \dfrac{\pi}{2} \text{.}\)