2.1: Nociones básicas

El conjunto de números complejos se obtiene algebraicamente colindando el número\(i\) al conjunto\(\mathbb{R}\) de números reales, donde\(i\) se define por la propiedad que\(i^2=−1\). Tomaremos un enfoque geométrico y definiremos un número complejo para ser un par ordenado\((x,y)\) de números reales. Dejamos\(\mathbb{C}\) denotar el conjunto de todos los números complejos,

\[\mathbb{C} =\{(x,y) | x,y∈ \mathbb{R}\}.\]

Dado el número complejo\(z=(x,y)\),\(x\) se llama la parte real de\(z\), denota Re\((z)\); y\(y\) se llama la parte imaginaria de\(z\), denota Im\((z)\). El conjunto de números reales es un subconjunto de\(\mathbb{C}\) debajo de la identificación\(x↔(x,0)\), para cualquier número real\(x\).

La adición en\(\mathbb{C}\) es componentwise,

\[(x,y)+(s,t)=(x+s,y+t),\]

y si\(k\) es un número real, definimos la multiplicación escalar por

\[k⋅(x,y)=(kx,ky).\]

Dentro de este marco,\(i=(0,1)\), es decir, que cualquier número complejo\((x,y)\) puede expresarse\(x+yi\) como se sugiere aquí:

\[ \begin{array} (x,y) &= (x,0)+(0,y) \\ &= x(1,0)+y(0,1) \\ &= x + yi \end{array} \]

La expresión\(x+yi\) se llama la forma cartesiana del número complejo. Esta forma puede ser útil a la hora de hacer aritmética de números complejos, pero también puede ser un poco desgarrada. A menudo dejamos que una sola letra como\(z\) o\(w\) representemos un número complejo. Entonces,\(z=x+yi\) significa que el número complejo que estamos llamando\(z\) corresponde al punto\((x,y)\) en el plano.

A veces es útil ver un número complejo como un vector, y la suma compleja corresponde a la adición de vector en el plano. Lo mismo vale para la multiplicación escalar. Por ejemplo, en Figura\(\PageIndex{1}\) hemos representado\(z=2+i\)\(w=−1+1.5i\), así como\(z+w=1+2.5i\), como vectores desde el origen hasta estos puntos en\(\mathbb{C}\). El número complejo\(z−w\) puede ser representado por el vector de\(w\) a\(z\) en el plano.

Figura\(\PageIndex{1}\): Números complejos como vectores en el plano. (Copyright; autor vía fuente)

Definimos multiplicación compleja utilizando el hecho de que\(i^2=−1\).

\[ \begin{array} (x+yi)⋅(s+ti) &= xs+ysi+xti+yti^2 \\ &= (xs−yt)+(ys+xt)i \end{array} \]

El módulo de\(z=x+yi\), denotado\(|z|\), viene dado por

\[|z|= \sqrt{x^2+y^2}.\]

Tenga en cuenta que\(|z|\) da la distancia euclidiana de\(z\) al punto\((0,0)\).

El conjugado de\(z=x+yi\), denotado\(\overline{z}\), es

\[\overline{z} =x−yi\]

En los ejercicios, se pide al lector que demuestre diversas propiedades útiles del módulo y conjugado.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Arithmetic of Complex Numbers

Supongamos\(z=3−4i\) y\(w=2+7i\).

Entonces\(z+w=5+3i\), y

\[ \begin{equation} \begin{array} \cdot z \cdot w &= (3−4i)(2+7i) \\ &= 6+28−8i+21i \\ &= 34+13i \end{array} \end{equation} \]

Algunos otros cómputos:

\[ \begin{array} 4z &= 12−16i \\ |z| &= \sqrt{3^2 + (-4)^2} = 5 \\ \overline{zw} &= 34-13i \end{array} \]

Ejercicios

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

En cada caso, determinar\(z+w\),\(sz\),\(|z|\), y\(z⋅w\).

1. \(z=5+2i\),\(s=−4\),\(w=−1+2i\)
2. \(z=3i\),\(s= \dfrac{1}{2}\),\(w=−3+2i\)
3. \(z=1+i\),\(s=0.6\),\(w=1−i\)

Contestar

a.\(z+w=4+4i\),\(sz=−20−8i\),\(|z|=\sqrt{29}\), y\(zw=−9+8i\).

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Demostrar eso\(z⋅ \overline{z} =|z|^2\), donde\(\overline{z}\) esta el conjugado de\(z\).

Insinuación

Dejemos\(z=a+bi\), y demuestre que los dos lados de la ecuación están de acuerdo.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Supongamos\(z=x+yi\) y\(w=s+ti\) son dos números complejos. Demostrar las siguientes propiedades del conjugado y el módulo.

1. \(|w⋅z|=|w|⋅|z|\).
2. \(\overline{zw}= \overline{z} \cdot \overline{w}\)
3. \(\overline{z+w}= \overline{z} + \overline{w}\)
4. \(z+\overline{z}= 2 \text{ Re} (z).\)(De ahí,\(z+ \overline{z}\) es un número real.)
5. \(z- \overline{z}= 2 \text{ Im} (z)i.\)
6. \(|z|=|\overline{z}|.\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Un triple pitagórico consiste en tres enteros\((a,b,c)\) tales que\(a^2+b^2=c^2\). Podemos usar números complejos para generar triples pitagóricos. Supongamos\(z=x+yi\) dónde\(x\) y\(y\) son enteros positivos. Let

\(a= \text{ Re}(z^2) \;\;\;\;\; b= \text{ Im}(z^2) \;\;\;\;\; c=z \overline{z}.\)

1. \(a^2+b^2=c^2\)Demuéstralo.
2. Encuentra el número complejo\(z=x+yi\) que genera el famoso triple\((3,4,5)\).
3. Encuentra el número complejo que genera el triple\((5,12,13)\).
4. Encuentra otros cinco triples pitagóricos, generados usando números complejos de la forma\(z=x+yi\), donde\(x\) y\(y\) son enteros positivos sin divisores comunes.