2.4: Expresiones Complejas
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En esta sección observamos algunas ecuaciones y desigualdades que surgirán a lo largo del texto.
La forma estándar para la ecuación de una línea en el\(xy\) plano -es\(ax + by + d = 0\text{.}\) Esta línea se puede expresar a través de la variable compleja\(z = x + yi\text{.}\) Para un número complejo arbitrario\(\beta = s + ti\text{,}\) tenga en cuenta que
\(\begin{align*} \beta z + \overline{\beta z} & = \big[(sx - ty)+(sy+tx)i\big] + \big[(sx - ty) - (sy+tx)i\big]\\ & = 2sx - 2ty\text{.} \end{align*}\)
De ello se deduce que la línea\(ax + by + d = 0\) puede ser representada por la ecuación
\(\begin{gather*} \alpha z + \overline{\alpha z} + d = 0 \tag{equation of a line} \end{gather*}\)
donde\(\alpha = \dfrac{1}{2}(a - bi)\) es una constante compleja y\(d\) es un número real.
Por el contrario, para cualquier número complejo\(\alpha\) y número real\(d\text{,}\) la ecuación
\[ \alpha z + \overline{\alpha z} + d = 0 \]
determina una línea en\(\mathbb{C}\text{.}\)
También podemos ver cualquier línea en\(\mathbb{C}\) como la colección de puntos equidistantes de dos puntos dados.
Cualquier línea en\(\mathbb{C}\) puede ser expresada por la ecuación\(\displaystyle |z - \gamma| = |z - \beta|\) para puntos adecuadamente elegidos\(\gamma\) y\(\beta\) en\(\mathbb{C}\text{,}\) y el conjunto de todos los puntos (euclides) equidistantes de distintos puntos\(\gamma\) y\(\beta\) forma una línea.
- Prueba
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Dados dos puntos\(\gamma\) e\(\beta\) in\(\mathbb{C}\text{,}\)\(z\) es equidistante de ambos si y solo si\(|z - \gamma|^2 = |z - \beta |^2\text{.}\) Ampliando esta ecuación, obtenemos
\(\begin{align*} (z - \gamma)(\overline{z - \gamma}) & = (z - \beta)(\overline{z - \beta})\\ |z|^2 - \overline{\gamma}z - \gamma\overline{z} + |\gamma|^2 & = |z|^2 - \overline{\beta}z - \beta\overline{z} + |\beta|^2\\ \overline{(\beta-\gamma)}z + (\beta-\gamma)\overline{z} + (|\gamma|^2 - |\beta|^2) & = 0\text{.} \end{align*}\)
Esta última ecuación tiene la forma de una línea, dejando\(\alpha = \overline{(\beta - \gamma)}\) y\(d = |\gamma|^2 - |\beta|^2\text{.}\)
Por el contrario, comenzando con una línea podemos encontrar números complejos\(\gamma\) y\(\beta\) que hacen el truco. En particular, si la línea dada es la bisectriz perpendicular del segmento\(\gamma\beta\text{,}\) entonces\(|z - \gamma| = |z - \beta|\) describe la línea. Dejamos los detalles al lector.
Supongamos que\(z_0\) es una constante compleja y considera la ecuación\(z^2 = z_0\text{.}\) Un número complejo\(z\) que satisface esta ecuación se llamará raíz cuadrada de\(z_0\), y se escribirá como\(\sqrt{z_0}\text{.}\)
Si vemos\(z_0 = r_0e^{i\theta_0}\) en forma polar con\(r_0 \geq 0\text{,}\) entonces un número complejo\(z = re^{i\theta}\) satisface la ecuación\(z^2 = z_0\) si y solo si
\[ re^{i\theta}\cdot re^{i\theta} =r_0e^{i\theta_0}\text{.} \]
Es decir,\(z\) satisface la ecuación si y sólo si\(r^2 = r_0\) y\(2\theta = \theta_0\) (módulo\(2\pi\)).
Siempre y cuando\(r_0\) sea mayor que cero, tenemos dos soluciones a la ecuación, de manera que\(z_0\) tiene dos raíces cuadradas:
\[ \pm \sqrt{r_0}e^{i\theta_0/2}\text{.} \]
Por ejemplo,\(z^2 = i\) tiene dos soluciones. Dado que\(i =1 e^{i\pi/2}\text{,}\)\(\sqrt{i} = \pm e^{i\pi/4}\text{.}\) en forma cartesiana,\(\sqrt{i} = \pm (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i)\text{.}\)
De manera más general, la ecuación cuadrática compleja\(\alpha z^2 + \beta z + \gamma = 0\) donde\(\alpha\text{,}\)\(\beta\text{,}\) y\(\gamma\) son constantes complejas, tendrá una o dos soluciones. Esto marca una diferencia importante con respecto al caso real, donde una ecuación cuadrática podría no tener ninguna solución real. En ambos casos podemos usar la fórmula cuadrática para buscar raíces, y en el caso complejo tenemos soluciones
\[ z = \frac{-\beta \pm \sqrt{\beta^2 - 4\alpha\gamma}}{2\alpha}\text{.} \]
Por ejemplo,\(z^2 + 2z + 4 = 0\) tiene dos soluciones:
\[ z = \frac{-2 \pm \sqrt{-12}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}i \]
desde\(\sqrt{-1} = i\text{.}\)
Considera la ecuación\(z^2 - (3+3i)z = 2-3i\text{.}\) Para resolver esta ecuación para\(z\) primero la reescribimos como
\[ z^2-(3+3i)z-(2-3i)=0\text{.} \]
Utilizamos la fórmula cuadrática con\(\alpha = 1\text{,}\)\(\beta = -(3+3i)\text{,}\) y\(\gamma = -(2-3i)\text{,}\) para obtener la (s) solución (s)
\(\begin{align*} z & = \frac{3+3i \pm \sqrt{(3+3i)^2+4(2-3i)}}{2}\\ z & = \frac{3+3i\pm \sqrt{8+6i}}{2}\text{.} \end{align*}\)
Para determinar las soluciones en forma cartesiana, necesitamos evaluar\(\sqrt{8+6i}\text{.}\) Ofrecemos dos enfoques. El primer enfoque considera la siguiente tarea: Establecer\(x + yi = \sqrt{8+6i}\) y resolver para\(x\) y\(y\) directamente al cuadrar ambos lados para obtener un sistema de ecuaciones.
\(\begin{align*} x+yi & = \sqrt{8+6i}\\ (x+yi)^2 & = 8+6i\\ x^2-y^2+2xy i & = 8 + 6i\text{.} \end{align*}\)
Así, tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas:
\[x^2-y^2 = 8 \label{2.4.1}\]
\[2xy = 6 \text{.} \label{2.4.2}\]
De hecho, también sabemos que\(x^2+y^2 = |x+yi|^2 = |(x+yi)^2| =|8+6i| = 10\text{,}\) dándonos una tercera ecuación
\[x^2+y^2 = 10 \text{.} \label{2.4.3}\]
Sumando ecuaciones (\(\ref{2.4.1}\)) y (\(\ref{2.4.3}\)) rinde\(x^2 = 9\) así\(x = \pm 3\text{.}\) Sustituir\(x = 3\) en ecuación (\(\ref{2.4.2}\)) rendimientos\(y = 1\text{;}\) sustituyendo\(x = -3\) en (\(\ref{2.4.2}\)) rendimientos\(y = -1\text{.}\) Así tenemos dos soluciones:
\[ \sqrt{8+6i} = \pm (3+i)\text{.} \]
También podemos usar la forma polar para determinar\(\sqrt{8+6i}\text{.}\) Considerar el triángulo rectángulo determinado por el punto que se\(8+6i = 10e^{i\theta}\) muestra en el siguiente diagrama.
Sabemos\(\sqrt{8+6i} = \pm \sqrt{10}e^{i\theta/2}\text{,}\) así que queremos encontrar\(\dfrac{\theta}{2}\text{.}\) Bueno, podemos determinar\(\tan \left(\dfrac{\theta}{2} \right)\) con bastante facilidad usando la fórmula de medio ángulo
\[ \tan \left(\dfrac{\theta}{2} \right) = \dfrac{\sin(\theta)}{1+\cos(\theta)}\text{.} \]
El triángulo rectángulo en el diagrama nos muestra eso\(\sin(\theta) = \dfrac{3}{5}\) y\(\cos(\theta)=\dfrac{4}{5} \text{,}\) así\(\tan \left(\dfrac{\theta}{2} \right) = \dfrac{1}{3}\text{.}\) Esto significa que cualquier punto\(re^{iθ/2}\) vive en la línea a través del origen teniendo pendiente\(\dfrac{1}{3}\), y puede ser descrito por\(k(3+i)\) para algún escalar\(k\). Ya que\(\sqrt{8+6i}\) tiene esta forma, se deduce que\(\sqrt{8+6i} = k(3+i)\) para algunos\(k\). Ya que\(|\sqrt{8+6i}| = \sqrt{10}\text{,}\) se deduce que\(|k(3+i)| = \sqrt{10}\text{,}\) así\(k=±1\). En otras palabras,\(\sqrt{8+6i} = \pm (3+i)\text{.}\)
Ahora volvamos a la solución de la ecuación cuadrática original en este ejemplo:
\(\begin{align*} z & = \frac{3+3i\pm \sqrt{8+6i}}{2}\\ z & = \frac{3+3i\pm (3+i)}{2}\text{.} \end{align*}\)
Así,\(z = 3+2i\) o\(z = i\text{.}\)
Si dejamos\(z = x + yi\) y\(z_0 = h + ki\text{,}\) luego la compleja ecuación
\(\begin{gather*} |z - z_0| = r \tag{equation of a circle} \end{gather*}\)
describe el círculo en el plano centrado en\(z_0\) con radio\(r> 0\text{.}\)
Para ver esto, tenga en cuenta que
\(\begin{align*} |z - z_0| & = |(x-h)+(y-k)i|\\ & =\sqrt{(x-h)^2 + (y-k)^2}\text{.} \end{align*}\)
Así\(|z - z_0| = r\) es equivalente a la ecuación\((x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2\) del círculo centrado en\(z_0\) con radio\(r\text{.}\)
Por ejemplo,\(|z - 3-2i| = 3\) describe el conjunto de todos los puntos que están a\(3\) unidades de distancia de\(3+2i\text{.}\) Todos los tales\(z\) forman un círculo de radio\(3\) en el plano, centrado en el punto\((3,2)\text{.}\)
Describa cada expresión compleja a continuación como una región en el plano.
- \(\left|\dfrac{1}{z}\right| \gt 2\text{.}\)
Tomando el recíproco de ambos lados, tenemos\(|z| \lt \dfrac{1}{2}\text{,}\) que es el interior del círculo centrado en\(0\) con radio\( \dfrac{1}{2} \text{.}\)
- Im\((z)\lt\) Re\((z)\text{.}\)
Establecer\(z = x + yi\) en cuyo caso la desigualdad se convierte\(y \lt x\text{.}\) Esta desigualdad describe todos los puntos en el plano debajo de la línea\(y = x\text{,}\) como se muestra a continuación.
- Im\((z) = |z|\text{.}\)
Establecer\(z = x + yi\text{,}\) esta ecuación es equivalente a Al\(y = \sqrt{y^2 + x^2}\text{.}\) cuadrar ambos lados obtenemos de\(0 = x^2\text{,}\) manera que\(x = 0\text{.}\) se deduce que\(y = \sqrt{y^2} = |y|\) así la ecuación describe los puntos\((0,y)\) con\(y \geq 0\text{.}\) Estos puntos determinan un rayo sobre el eje imaginario positivo.
Avanzando, las líneas y los círculos serán objetos especialmente importantes para nosotros, por lo que terminamos la sección con un resumen de sus descripciones en el plano complejo.
Las líneas y círculos en el plano se pueden expresar con una variable compleja\(z = x + yi\text{.}\)
- La línea\(ax + by + d = 0\) en el plano puede ser representada por la ecuación
\[ \alpha z + \overline{\alpha z} + d = 0 \]
donde\(\alpha = \dfrac{1}{2}(a - bi)\) es una constante compleja y\(d\) es un número real.
- El círculo en el plano centrado en\(z_0\) con radio\(r \gt 0\) puede ser representado por la ecuación
\[ |z - z_0| = r\text{.} \]
Ejercicios
Utilizar una variable compleja para describir la ecuación de la línea\(y = mx + b\text{.}\) Supongamos\(m \neq 0\text{.}\) En particular, mostrar que esta línea es descrita por la ecuación
\[ (m+i)z + (m-i)\overline{z} + 2b = 0\text{.} \]
En cada caso, esboce el conjunto de números complejos que\(z\) satisfagan la condición dada.
- \(|z + i| = 3\text{.}\)
- \(|z+i|=|z-i|\text{.}\)
- Re\((z) = 1\text{.}\)
- \(|z/10 + 1 - i| \lt 5\text{.}\)
- Im\((z) >\) Re\((z)\text{.}\)
- Re\((z) = | z - 2 |\text{.}\)
- Pista
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Puede ser útil establecer\(z = x + yi\) y reescribir la expresión en términos de\(x\) y\(y\text{.}\)
Supongamos que\(u, v, w\) son tres números complejos no todos en la misma línea. Demostrar que cualquier punto\(z\) en\(\mathbb{C}\) está determinado de manera única por sus distancias desde estos tres puntos.
- Pista
-
Supongamos\(\beta\) y\(\gamma\) son números complejos tales que\(|u - \beta| = |u - \gamma|\text{,}\)\(|v - \beta| = |v - \gamma|\) y\(|w - \beta| = |w - \gamma|\text{.}\) Argumentan que\(\beta\) y\(\gamma\) deben de hecho ser iguales números complejos.
Encuentra todas las soluciones a la ecuación cuadrática\(z^2 + iz - (2+6i) = 0.\)