3.3: El plano extendido

Considerar nuevamente la inversión sobre el círculo\(C\) dado por\(|z - z_0| = r\text{,}\) y observar que los puntos cercanos para ser mapeados\(z_0\) a puntos en el plano lejos de\(z_0\text{.}\) De hecho, una secuencia de puntos en\(\mathbb{C}\) cuyo límite es se\(z_0\) invertirá a una secuencia de puntos cuyas magnitudes van a\(\infty\text{.}\) Por el contrario, cualquier secuencia de puntos en\(\mathbb{C}\) tener magnitudes que marchan fuera a se\(\infty\) invertirá a una secuencia de puntos cuyo límite es\(z_0\text{.}\)

Con esto en mente, definimos un nuevo punto llamado el punto en el infinito, denotado\(\infty.\) Junto a este nuevo punto al plano para obtener el plano extendido, denotado como\({\mathbb{C}}^+\text{.}\) Entonces, uno puede extender la inversión en el círculo\(C\) para incluir los puntos\(z_0\) y\(\infty\text{.}\) En particular, la inversión de\(\mathbb{C}^+\) en el círculo\(C\) centrado en\(z_0\) con radio\(r\text{,}\)\(i_C: \mathbb{C}^+ \to \mathbb{C}^+\text{,}\) viene dada por

\[ i_C(z) = \begin{cases}\dfrac{r^2}{(\overline{z-z_0})} + z_0 & \text{ if \(z \neq z_0,\infty\); } \\ \infty & \text{ if \(z=z_0\); } \\ z_0 & \text{ if \(z = \infty\) } \end{cases}\text{.} \]

Viendo la inversión como una transformación del plano extendido, definimos\(z_0\) y\(\infty\) ser puntos simétricos con respecto al círculo de inversión.

El espacio\({\mathbb{C}}^+\) será el lienzo sobre el que hacemos toda nuestra geometría, y es importante comenzar a pensar en él\(\infty\) como “uno de la pandilla”, solo otro punto a considerar. Todas nuestras traducciones, dilataciones y rotaciones se pueden redefinir para incluir el punto\(\infty\text{.}\)

Entonces, ¿dónde está\(\infty\) en\({\mathbb{C}}^+\text{?}\) Te acercas a\(\infty\) medida que avanzas en cualquier dirección a lo largo de cualquier línea en el plano complejo. Más generalmente, si\(\{z_n\}\) es una secuencia de números complejos tal que\(|z_n| \to \infty\) como\(n \to \infty\text{,}\) entonces decimos\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} z_n = \infty\text{.}\) Por convención, asumimos que\(\infty\) está en cada línea en el plano extendido, y la reflexión a través de cualquier línea fija\(\infty\text{.}\)

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Cualquier transformación lineal general extendida a las\({\mathbb{C}}^+\) correcciones de dominio\(\infty\text{.}\)

Prueba

Si\(T(z) = a z + b\) donde\(a\) y\(b\) son constantes complejas con\(a \neq 0\text{,}\) entonces por métodos de límite de cálculo,\(|z_n| \to \infty\text{,}\)\(|a z_n + b| \to \infty\) también. Por lo tanto,\(T(\infty) = \infty\text{.}\)

Entonces, con nuevo dominio\({\mathbb{C}}^+\text{,}\) modificamos nuestro recuento de puntos fijos para las transformaciones básicas:

• La traducción\(T_b\) de\({\mathbb{C}}^+\) fija un punto (\(\infty\)).
• La rotación sobre el origen\(R_\theta\) de los\(2\) puntos\({\mathbb{C}}^+\) fijos (\(0\)y\(\infty\)).
• La dilatación\(T(z) = kz\) de los\(2\) puntos\({\mathbb{C}}^+\) fijos, (\(0\)y\(\infty\)).
• El reflejo\(r_L(z)\) de\({\mathbb{C}}^+\) aproximadamente la línea\(L\) fija todos los puntos en\(L\) (que ahora incluye\(\infty\)).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Some Transformations Not Fixing \(\infty\).

La siguiente función es una transformación de\({\mathbb{C}}^+\)

\[ T(z) = \dfrac{i+1}{z+2i}\text{,} \]

un hecho que probamos en la siguiente sección. Por ahora, preguntamos a dónde\(T\) envía\(\infty\text{,}\) y a qué punto se envía\(\infty\text{.}\)

Abordamos primero la segunda pregunta. La entrada a la que se envía\(\infty\) es el número complejo que hace que el denominador sea 0. Por lo tanto,\(T(-2i) = \infty.\)

Para responder a la primera pregunta, toma tu secuencia favorita que marche a por\(\infty\text{,}\) ejemplo,\(1, 2, 3,\ldots\text{.}\) La imagen de esta secuencia,\(T(1), T(2),\)\(T(3),\ldots\) consiste en fracciones complejas en las que el numerador es constante, pero el denominador crece sin límites en magnitud a lo largo de la línea horizontal \(\text{Im}(z) = 2\text{.}\)Así, el cociente tiende a\(0\), y\(T(\infty) = 0\text{.}\)

Como segundo ejemplo, puedes comprobarlo si

\[ T(z) = \dfrac{iz+(3i+1)}{2iz+1}, \]

entonces\(T(\dfrac{i}{2}) = \infty\) y\(T(\infty) = \dfrac{1}{2}\text{.}\)

Destacamos que los siguientes resultados clave del apartado anterior se extienden\(\mathbb{C}^+\) también a:

• Existe un cline único a través de tres puntos distintos en\(\mathbb{C}^+\text{.}\) (Si uno de los puntos dados en el teorema\(3.2.1\) es\(\infty\text{,}\) el cline único es la línea a través de los otros dos puntos.)
• Teorema\(3.2.3\) se aplica a todos los puntos\(z\) no sobre\(C\text{,}\) incluir\(z = z_0\) o\(\infty\text{.}\)
• La inversión sobre una clina conserva las magnitudes de ángulo en todos los puntos de\(\mathbb{C}^+\) (lo discutimos a continuación).
• La inversión conserva los puntos de simetría para todos los puntos en\(\mathbb{C}^+\) (El teorema\(3.2.5\) mantiene si\(p\) o\(q\) es\(\infty\)).
• El teorema\(3.2.7\) ahora se mantiene para todos los clinos que no se cruzan, incluidos los círculos concéntricos. Si los círculos son concéntricos, los puntos simétricos a ambos son\(\infty\) y el centro común.

Proyección Estereográfica

Cerramos esta sección con una mirada a la proyección estereográfica. Al identificar el plano extendido con una esfera, este mapa nos ofrece una manera muy útil de pensar en el punto\(\infty\text{.}\)

Definición: Unidad\(2\)-Sphere

La unidad\(2\) -esfera, denotada\(\mathbb{S}^2\text{,}\) consiste en todos los puntos en\(3\) -espacio que son una unidad del origen. Es decir,

\[ \mathbb{S}^2 = \{(a,b,c) \in \mathbb{R}^3 ~|~ a^2+b^2+c^2=1\}\text{.} \]

Normalmente nos referiremos a la unidad\(2\) -esfera como simplemente “la esfera”. La proyección estereográfica de la esfera sobre el plano extendido se define de la siguiente manera. Vamos a\(N = (0,0,1)\) denotar el polo norte en la esfera. Para cualquier punto\(P \neq N\) de la esfera,\(\phi(P)\) es el punto en el rayo\(\overrightarrow{NP}\) que vive en el\(xy\) plano. Ver Figura\(3.3.1\) para la imagen de un punto típico\(P\) de la esfera.

Figura\(\PageIndex{1}\): Proyección estereográfica. (Copyright; autor vía fuente)

El mapa de proyección estereográfica se\(\phi\) puede describir algebraicamente. La línea a través\(N = (0,0,1)\) y\(P = (a,b,c)\) tiene vector direccional\(\overrightarrow{NP}=\langle a,b,c-1\rangle\text{,}\) por lo que la ecuación de línea se puede expresar como

\[ {\vec r}(t) = \langle 0,0,1\rangle + t\langle a,b,c-1\rangle\text{.} \]

Esta línea cruza el\(xy\) plano -cuando su\(z\) coordenada es cero. Esto ocurre cuando\(t = \dfrac{1}{1-c}\text{,}\) lo que corresponde al punto\((\dfrac{a}{1-c}, \dfrac{b}{1-c},0)\text{.}\)

Así, para un punto\((a,b,c)\) sobre la esfera con proyección\(c \neq 1\text{,}\) estereográfica\(\phi:\mathbb{S}^2 \to \mathbb{C}^+\) viene dado por

\[ \phi((a,b,c)) = \dfrac{a}{1-c}+\dfrac{b}{1-c}i\text{.} \]

¿A dónde\(\phi\) envía el polo norte? A por\(\infty\text{,}\) supuesto. Una secuencia de puntos sobre\(\mathbb{S}^2\) esos enfoques\(N\) tendrá puntos de imagen\(\mathbb{C}\) con magnitudes que se acercan\(\infty\text{.}\)

Ángulos en\(\infty\).

Si pensamos en\(\infty\) como solo otro punto en\(\mathbb{C}^+\text{,}\) tiene sentido preguntar por ángulos en este punto. Por ejemplo, dos líneas cualesquiera se cruzan\(\infty\text{,}\) y tiene sentido preguntar sobre el ángulo de intersección en\(\infty\text{.}\) Podemos guiarnos en responder a esta pregunta por proyección estereográfica, gracias al siguiente teorema.

Teorema\(\PageIndex{2}\)

La proyección estereográfica preserva los ángulos. Es decir, si dos curvas en la superficie de la esfera se cruzan en ángulo\(\theta\text{,}\), entonces sus curvas de imagen\(\mathbb{C}^+\) también se cruzan en ángulo\(\theta\text{.}\)

Así, si dos curvas se\(\mathbb{C}^+\) cruzan en\(\infty\) podemos definir el ángulo en el que se cruzan para igualar el ángulo en el que se cruzan sus curvas de pre-imagen bajo proyección estereográfica. El ángulo en el que se cruzan dos líneas paralelas\(\infty\) es 0. Además, si dos líneas se cruzan en un punto finito así\(p\) como en\(\infty\text{,}\) el ángulo en el que se cruzan en\(\infty\) igual al negativo del ángulo en el que se cruzan en\(p\text{.}\) Como consecuencia, podemos decir que la inversión alrededor de un círculo conserva magnitudes de ángulo en todos los puntos en\(\mathbb{C}^+\text{.}\)

Ejercicios

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

En cada caso encontrar\(T(\infty)\) y la entrada de\(z_0\) tal manera que\(T(z_0) = \infty\text{.}\)

1. \(T(z) = \dfrac{(3 - z)}{(2z + i)}\text{.}\)
2. \(T(z) = \dfrac{(z + 1)}{e^{i\pi/4}}\text{.}\)
3. \(T(z) = \dfrac{(az + b)}{(cz + d)}\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Supongamos que\(D\) es un círculo de Apolonio de\(p\) y\(q\text{.}\) Probar eso\(p\) y\(q\) son simétricos con respecto a\(D\text{.}\)

Pista

Recordemos el círculo\(C\) en la prueba del Teorema\(3.2.6\). Demostrar eso\(p\) y\(q\) ser enviado a puntos que son simétricos con respecto a\(i_C(D)\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Determinar la función de proyección estereográfica inversa\(\phi^{-1}:\mathbb{C}^+ \to \mathbb{S}^2\text{.}\) En particular, mostrar que para\(z = x + yi \neq \infty\text{,}\)

\[ \phi^{-1}(x,y) = \bigg(\dfrac{2x}{x^2+y^2+1},\dfrac{2y}{x^2+y^2+1},\dfrac{x^2+y^2-1}{x^2+y^2+1}\bigg). \]